考研高等数学简单题讲义2

考研高等数学简单题讲义

第一章函数、极限、连续

§1.1函数

（乙）典型例题

一、定义域与值域

[1.1函数（乙）典型例题（1）（前）】例1.设/（x）的定义域为>0）求/（x2-l）

的定义域

解：要求一。4元2一PJ|J1-6!<X2<X2<1+6Z,

当。21时，v1-a<0,x2<14-tz,则忖《Jl+a

当0<a<1时，1一a>0,y/l-a<|x|<Jl+a

也即Jl-a<x<Jl+〃或-Jl+〃<x<-”-a

二、求复合函数有关表达式

例1.设/（%）=~r^==，求/[/（••-f（砌=fn（X）

Vl+x2

〃重复合

解：女）=上（刈=*为=后X

1+2/

若皿）』

X

则加(6=I7(、

71+AWJi+k+1*

根据数学归纳法可知，对正整数〃，fXx）=-r==^

A/1+nx2

例2.已知/'（"）=祀7,且/（1）=0,求/（X）

解：令e*=f,x=\nt,因此/'（"）=/'«）=?,

/（x）-刖=,乎必=gn2K"x

,.•/（l）=0,；./（x）=gln?x

三、有关四种性质

[1.1函数（乙）典型例题（2）（前）】表示：该例题在1.1函数（乙）典型例题（2）

前面的位置出现。

[1.1函数（乙）典型例题（2）（前”例1.设尸（x）=/（x）,则下列结论正确的是

（）

（A）若/（x）为奇函数，则F（x）为偶函数

（B）若/（x）为偶函数，则—（x）为奇函数

（C）若/（x）为周期函数，则,（x）为周期函数

（D）若〃x）为单调函数，则E（x）为单调函数

解：(B)的反例/(x)=3x\F(X)=X3+1；(C)的反例/(X)=COSX+1;

E(x)=sinx+x；(D)的反例(-8,+oo)内/(x)=2x；F(x)=/

(A)的证明：

F(x)-F(O)=[/(r)J/F(x)=F(O)+[fWtF(-x)=F(O)+「/(f)力

作变量替换u=-t

则F(-x)=F(0)+[/(-w)J(-u)

•••/为奇函数，

于是尸(—x)=F(0)+£/(“)力，=F(x)

.♦.F(x)为偶函数

例2.求/=fxx

解：力(x)=e“—6一'是奇函数，

・••力(-》)=广-e*=-7,(x)

/、2(X)=ln(x+J，+1)是奇函数,

,//2(-x)=In1x+Jx?+1)

X+1-X

X+yX~+1

In1—In(x+J厂+1

x

-72()

因此x(e*-er)ln(t+Jx2+1)是奇函数

于是/=卜dx+0=2卜6dx=5

【1.1函数(乙)典型例题(3)(前)】例3.设/(x),g(x)是恒大于零的可导函数，

且f,(x)g(x)-f(x)g,(x)<0,则当a<x<6时，下列结论成立的是

(A)/(x)g⑸>/(b)g(x)(B)f(x)g(a)>f(a)g(x)

(C)/(x)^(x)>f(b)g(b)(D)/(x)g(x)>/(a)g(a)

解：等价/区>/久，只需

(A)单调减少;

g(x)gS)

（B）等价/区＞£口,只需卜皿单调增加；

g（x）g（a）|_g（x）」

（C）只需［/（x）g（x）］单调减少

（D）只需［/（x）g（x）］单调增加

现在工区=''（x）g（x）「."x）g'（x）＜0,所以单调减少，故（A）成

_g（x）」g-（x）g（x）

\Lc

四、函数方程

【1.1函数（乙）典型例题（3）（后）】例1.设/（x）在［0,+8）上可导，/（0）=0,

反函数为g（x）,且，=de",求/（X）。

解：两边对x求导得g［/（x）］/'（x）=2x"+x2e，，于是解标）=乂2+娱，,故

r（x）=（x+2）e*,/（x）=（x+lp+C,由/（0）=0,得C=-l,则

/（x）=（x+l）e'-1»

口诀（6）：正反函数连续用；最后只留原变量。

§1.2极限

（甲）典型例题

补充题型（关于无穷小）

3/2

［1.2极限（乙）典型例题（1）（前）】例1：lim+1sinyln2+n+l=0（无穷小

3n+1

量乘有界变量仍是无穷小量）

【1.2极限（乙）典型例题（1）（前）】例2：:设当Xf0时，（1一85元）111（1+12）是比心皿/'

高阶无穷小；而xsinx"又是比一1）高阶的无穷小，则n=（）

(A)1(B)2(C)3(D)4

解：当尤—0时，（1一cosx）ln（l+，）~•1/xsinx〃〜工向ex~-X-x2

2

由4>〃+l>2可知〃+l=3,故〃=2选（B）

一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限

o?i+ln

例3.求lim：-----

“T82n+l+3"

解：

分子、分母用3"除之，

V

原式=lim一以二=3

w->co（

2-+1

।一1（2）”

或分子分母用3向除之，原式=lim.33=3

‘飞严+；

（注：主要用当旧<1时，limr"=0）

二、用两个重要公式

【1.2极限（乙）典型例题（2）（后）】例2.求lim

解一:

lim恒半一

lim—

X+io[(x+l)/x

解二:

例3.lim(cosx)c()l

x->0

=limfl+(-sin2J-siMj(一2)

x->0L、/J

,1

e2

四、用定积分定义求数列的极限

【1.2极限（乙）典型例题⑶（中）】例1.求lim汽2〃2

+左

分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑

n9+n2—//n~2+k，2'-n2+112

n~1..n-

而lim-------=—，lim------=1

n+n2+T

由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑

解：

n1〃1

=lim—V——

崎n2+k2nfrf

1+

17T

=arctanx=—

04

五、用洛必达法则求极限

“0““00”

1.二-型和——型

000

【1.2极限（乙）典型例题（4）（前）】例1.求lim且——4

sin-

n

解：高散型不能直接用洛必达法则，故考虑

lim七平等价无穷小代换lim上普

xf。sin'xIx

..1-cosx..sinx1

=hm----------=lim------=—

1。3x6x6

原式=L

6

2.“8—8“型和“0・8”型

（1cos2X

【1.2极限（乙）典型例题（5）（中）】例1.求lim——

xfsinxX2

x7-si.n7x-cos2x

解:原式=1盘

―x2~si~n2-x

1.2

x2——sin20x

=lim—4

0x4

4

2x——sin2xcos2x

lim-----------------------

34x3

1.)

x-sin4x

=lim4

2x3

1-COS4X

lim

XTO6x2

4sin4x

=lim---------

D12x

4

3

3.T"型,"0。“型和"8。"型

这类都是形式可化为e,ims（v）ln[/w]

而limg（x）ln[/（x）]都是"0・8”型，按2的情形处理

【1.2极限（乙）典型例题（5）（后限例1.求lim//

解：令），=第所）]n>usi/xlnx

limIny=limsin2xlnx=limx2\nx=lim=号=。

xf0+x->0+.2(/XTO*1

/.limy=e0=1

XTO+

七、用导数定义求极限

【1.2极限（乙）典型例题（6）（后）】例1设/(%)=2,求

lim+3词―/（x0-2&）

ArfOA%

[/(/+3A%)-/(4)]-[/(.%-2Ar)-/(.%)]

解：原式=妈

Ax

=3lim//+3-)-/(X。)+2lim-2Ax)-/9)

AD3ArA、—。(-2Ax)

=3/(无。)+2/(无。)

=5/'(Xo)

=10

九、求极限的反问题

丫2-4-/7V+卜

【1.2极限(乙)典型例题(8)(中)】例1.设lim士1展\=3,求。和万

7sin(x2-1)

解：由题设可知15(一+办+/?)=0,

.•・1+。+。=0,再由洛必达法则得

+

limx2t=lim-一2+、(用等价无穷小替换把——1换sin(/一1)

Isin(x-1)—2xcos(x-1J

可以更简单)

2+ac

=---=5

2

a=4,b=-5

§1.3连续

（乙）典型例题

一、讨论函数的连续性

由于初等函数在它的定义区间内总是连续的，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数

在分段点处的连续性。对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同

时，需根据函数在•点连续的充要条件进行讨论。

【1.3连续（乙）典型例题（1）（前）】例1.讨论函数

<0

/(x)=,0,x=0

xsi・n—1,x>M0

x

在点x=0处的连续性。

解：因/(o-o)=lim/(x)=hme，=0

X->(TXT。-

/(0+0)=lim/(x)=limxsin—=0

A->0+A->0+X

/(O)=O

即有f(o-o)=/(o+o)=/(o),故f(x)在点x=0连续。

二、间断点问题

【1.3连续(乙)典型例题⑴(前)】例1.设/(X),g(x)在(一8,+8)内有定义，/(X)

为连续，且/(X)HO,g(x)有间断点，则下列函数中必有间断点的为()

g(x)

(A)g[/(x)](B)[g(x)f(C)〃g(x)](D)

/\［1,x>0

解：(A),(B),(C)的反例：取/(x)三l,g(x)=《，

-1,x<0

(D)成立的证明：用反证法

假如不然

史D=/z(x)连续，则g(x)=〃(x)/(x)连续与条件矛盾，故必有间断点。

/(x)/⑴

三、用介值定理讨论方程的根

【1.3连续(乙)典型例题(2)(后)】例1.证明五次代数方程——5x-1=0在区间(1,2)

内至少有一个根。

证：由于函数/(x)=x5-5x-l是初等函数，因而它在闭区间［1,2］上连续，而

/(l)=l5-5xl-l=-5<0

/(2)=25-5x2-l=21>0

由于/⑴与/⑵异号,故在(1,2)中至少有一点%,使

/(*0)=。

就是说，五次代数方程/-5x-1=0在区间(1,2)内至少有一个根。

口诀(17)：函数为零要论证，介值定理定乾坤。

【1.3连续(乙)典型例题(2)(后)】例2.设/(x)在卜,“上连续，且/(a)<a,f(b)>b,

证明：/3=%在(。力)内至少有一个根。

证：令g(x)=/(x)—x,可知g(x)在［a,b］上连续。

g(a)=/(a)-a<0

g(b)=f(b)-b>0

由介值定理的推论，可知g(x)在(a,b)内至少有一个零点，即/(x)=x在(4,6)内至少

有一个根。

第二章一元函数微分学

§2.1导数与微分

(乙)典型例题

一、用导数定义求导数

［2.1导数与微分(乙)典型例题(1)(前)】例.设/(x)=(x-a)g(x),其中g(x)在

x=a处连续，求/'(a)

解：/，(«)=lim'(—'(-=11rn~~—g(。)

—2ax-aXT"x-a

二、分段函数在分段点处的可导性

例1.设函数

x2,x<1

/(x)=<

ax+b,x>1

试确定。、〃的值，使/(x)在点x=l处可导。

解：・・•可导一定连续，

.・・/Q)在元=1处也是连续的。

由/(1-0)=lim/(x)=limx2=1

x->\~x->\~

f(l+0)=lim/(x)=lim(ax+/?)=〃+/?

x->rx->r

要使/(x)在点x=1处连续，必须有a+b=l或匕=1一。

又尸(l)=lim正上^=1而三二^=lim(x+l)=2

ax+b-1..a(x-l)

r(l)=hm''"八’=lim-----------=lim—------L=a

+'，i*x-1x-1i*x-1

要使/(x)在点x=l处可导，必须£(1)=力⑴，即2=a。

故当a=2,A=l—a=l—2=—1时，/(x)在点x=1处可导。

三、运用各种运算法则求导数或微分

【2.1导数与微分(乙)典型例题(2)(前)】例1.设/(x)可微，y=/(lnx)-e/(*),

求dy

解：

dy=/(in⑴+/⑴力(inx)

=尸x)dx+—/z(lnx)ef^dx

x

=efM/,(x)/(lnx)+-/,(lnx)dx

x

五、高阶导数

1.求二阶导数

【2.1导数与微分（乙）典型例题（4）（后）】例1.设y=ln%+J/2+a2）,求了

解：

y'=------/1[x+\lx2+a2）

x+ylx2+a2V'

x+y]x2+a2IVx2+a2J

【2.1导数与微分（乙）典型例题（5）（前）】例3.设y=y（x）由方程/+V=1

所确定，求y"

x

解：2x+2yy'=0,yf=——

y

x2

yH—

〃i-y-xy''y

y=-----2-=——

yy

y2+%2_1

3―3

yy

【2.1导数与微分（乙）典型例题（5）（前）】例1.设y=—（%正整数），求y（"）Cn

正整数）

解：严=卜_1).«-〃+1)产“，〃行,

0,n>k

§2.2微分中值定理

（乙）典型例题

一、用罗尔定理的有关方法

【2.2微分中值定理（乙）典型例题（2）（中）】例2.设/（x）在［0,1］上连续，（0,1）内可导,

且3，/（x）公=/（0）

3

求证：存在Je（0,1）使广仔）=0

~2"

证：由积分中值定理可知，存在一,1,使得

_3_

|/（x依=/（«1一9

得到/（c）=3p（x>/x=/（O）

3

对/（x）在［o,c］匕用罗尔定理，（三个条件都满足）

故存在Je（0,c）u（0,l）,使/位）=0

【2.2微分中值定理（乙）典型例题⑸（中）】例5.设/（x）在［0,1］上连续，（0,1）内可导,

/（0）=0,%为正整数。

求证：存在JG（0,1）使得/仔）+//⑹=/⑶

证：令g（x）=（x—l）&,4=0,b=1,则f（O）=O,g（l）=0,用模型n,存在J€（0,1）

使得

产（■-叶+府-1）1/侈）=0

故尸团（LL）=o

则我）+行仔）=:仔）

§2.3导数的应用

（乙）典型例题

一、证明不等式

【2.3导数的应用（乙）典型例题（1）（前）】例2.设6>。>0,求证：1/>2（士）

ab-\-a

证：令f（x）=（lnx-lna）（x+Q）-2（x-〃），（x>a）

则/（1）二—（x+6z）+（lnx-lna）-2

x

/^）=-^+-=^-^>0（x〉。）

XXX

于是可知r（x）在x>a时单调增加，又r（a）=0,/.x〉。时/'（x）〉0,这样/（x）

单调增加。因此，6>。〉0时/伍）〉/（4）=0,得证。

二、有关函数的极值

[2.3导数的应用（乙）典型例题（2）（后）一（乙）典型例题（3）（前）】例2.设/（x）

的导数在x=a处连续，又=—1,则（）

fx-a

（A）x=a是/（x）的极小值点

(B)x=a是/(x)的极大值点

(C)(aj(a))是曲线y=f(x)的拐点

<D)x=a不是极值点，(aj(a))也不是曲线y=/(x)的拐点

解一：vlim(x-a)=0

x->a

lim/'(x)=O

x-^a

又由a点导数连续性/'(tz)=lim/'(x)=O

x—>«

于是.'⑷=]im/叱…)=7<0

Xiax-a

则x=a是/(x)的极大值点

解二：由极限可知，当a—b<x<a+b时，一1一£<£^<一1+£<0

x-a

当a<x<a+5,x-a<0,f\x)>0

当x-a>0,/.f\x)<0

于是时是f(x)的极大值点

第三章一元函数积分学

§3.1不定积分

（乙）典型例题

[3.1不定积分（乙）典型例题（1）（前）】例1.求下列不定积分（测试题，限15分

钟）

dx

（1）

x2e^

--1--

解：(1)原式=\rexd(——)=ex+C

Jx

(2)j(xlnx)2(lnx+

(Inx+\)dx=J(xlnx)

22*

解：(2)原式二J(xlnx)3d(xlnx)=1(xinx)'+C

例2.求下列不定积分

【3・1不定积分（乙）典型例题（3）（后）】例6.设/（%）的一个原函数

F（x）=ln2（34x+Vx2+lj,求/如

解：/=^xdf[x}=xf（x）-=xF'（x）-F（x）+C

/2x"ln(x+7x2+1)-In2(x+^x2+1)+C

y/x2+1

§3.2定积分和广义积分的概念与计算方法

（乙）典型例题

一、一般方法

【3・2定积分和广义积分的概念与计算（乙）典型例题（1）（前）】例1.计算下列定

积分

(1)J|ln=f(-Inx)dx+Inxdx=(-xlnx+x)1+(xlnx-xj=

(2)Jmin(l,x1}dx=Jx+^x1dx+jdx=不

(3)£max{x,x2^dx=^x2dx+^xdx+jx2dx=；

(4)fV1-sin2xdx=(J(sinx-cosx『公二j|sinx-cosx|rfx

=2口sin光-cosx\dx=2F(cosx-sinx)dx+，(sinx-cosxMx=4痣

4

二、用特殊方法计算定积分

【3.2定积分和广义积分的概念与计算（乙）典型例题（1）（后）】例2.设连续函数/'（X）

满足/(x)=Inx-ff{x}dx,求[f{x)dx

解：令］/（》卜》=4，则/（x）=lnx-A,

两边从1至进行积分，得

|/(x)c/x=|\nxdx-]Adx=(xlnx_"：-A(eT)

于是A=e—(e—1)—A(e—1),M=l,A=-,贝ij=，

〃Jp

四、广义积分

§3.3有关变上（下）限积分和积分证明题

一、有关变上（下）限积分

【3.3有关变上（下）限积分和积分证明题（乙）典型例题（1）（后）】例4.设/（x）

在［o,+8）上连续,且y（x）>o,证明g（x）=在（0,+8）内单调增加

门⑺力

证：当x>0时，因为

/(x)f

VW工/⑺力一/（X）

>0

［门呵

g（X）在（0,+8）内单调增加

二、积分证明题

【网络课程无】例2.设/（x）在［0,1］上有连续的一阶导数，且/（（））="1）=0,试

证：1|/(x)|jx<,其中M=y

证：用拉格朗日中值定理

fM=/(x)-/(0)=/&)x，其中。e(0,x)

y(x)=/(x)-/(l)=/^2)(x—1),其中幺e(x,l)

,

由题设可知|/W|<|/(^I)\x<Mx-,又\f(x)\<\f'^2)|(l-x)<M(l-x)

因此l|/(x)|dx=p|/(x)|Jx+||/(x)|Jx<M^xdx+J(1-x)dx

2L2_

Jl11M

_88j4

例3.设/(x),g(x)在卜力]上连续，证明

[j/(x)g(x)dx<f/2(x)dxfg2(x)3x

证一：(引入参数法)

设，为实参数，则f[/(x)+fg(x)『dxNO

[fg2(x)dx〃+21/(x)g(x)dxt+^f2(x)dx>Q

作为，的一元二次不等式Ab+2W+C20,则台2—ACWO

即炉<AC,因此[f/(x)g(x)dx'<^f\x)dx^g2(x)dx

证二：(引入变上限积分)

令尸(“)=[]/(x)g(x)dx-£/2(x)Jxfg2(x)dx

于是

尸(〃)=2/(〃)g(〃)f/(x)g(x)dx-/2(M)£g2(x)dx-g2(u)^f2(x)dx

[/(M)g(x)-g(M)/(x)]2i/x<0(M>a)

则夕(〃)在［a,“上单调不增故62a时，F(/?)<F(a)=0,

即[j/(x)g(x)dx

<0

证三：(化为二重积分处理)

令/=f/2(x)dx，g2(x)dx,

则/=f/2(x)dxfg2(y)dy=JJ/2(x)g2(y)dxdy,

D

,a<x<b

其中区域,•,同理/=0/2(),)g2(x)dxdy

a<y<b

21=JjV2(x)g2(y)+/2(y)g2(x)加力

D

va2+b2>lab，故2/NJj[2f(x)g(y)f(y)g(x)]dxdy

D

因此，

I=f/々(xMxfg2(x)QxNf/(x)g(x)dxf/(y)g(y)dy=[//(x)g(x)dx

口诀(34)：定积分化重积分；广阔天地有作为。

【3.3有关变上(下)限积分和积分证明题(乙)典型例题(4)(后)】例4.设/(x)在

[a,可上连续，证明[1/(x)dx<f2(x)dx

证：在例3中，令g(x)=l,则jg2(x)dx=b-a

于是

=[f/(x)g(x)dx<f/2(x)dx『g2(x)dx=(b—a)f/2(x)dx

§3.4定积分的应用

(乙)典型例题

一、在几何方面的应用

【3.4定积分的应用(乙)典型例题(2)(前)】例2.设/(x)在卜,同上连续，在(。力)

内/'(x)>0,证明办且唯一,使得y=/(x),y=砥,x=a,所围面积就

是y=/(x)，>=/(»，x=b所围面积S2的三倍。

证：令H，)=S«)—3s2(f)=][/(f)—/(x)kx—3,[/(x)—%)也

VF(a)=-3—/[)的<()

尸⑸=1[/仅)-/(x)Bx>0

由连续函数介值定理的推论可知至e(a,为使产体)=0再山:⑴>0,可知/(x)的

单调增加性，则右唯一

【3.4定积分的应用(乙)典型例题(2)(后)】例4.求由曲线y=x2-2x和直线y=0,

x=1,x=3所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。

解一：：y=X?-2x解出x=1±,/.

平面图形A1绕y轴旋转,周所得旋转体体积

匕=%

平面图形A2绕y轴旋转一周所得旋转体体积

匕=27兀—%/（1+J1+Jdy=

所求体积匕=匕+匕=9%

2

解二：Vv=2〃fx|x-2xpx

第四章常微分方程

§4.1基本概念和一阶微分方程

（乙）典型例题

[4.1基本概念和一阶微分方程（乙）典型例题（1）（前）】例2.求微分方程

生=」丁的通解

dx、一y〜4

解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程

—=士厂即坐_X=y3是一阶线性方程P（y）=-1,Q（y）=y3

dyydyy

[4.1基本概念和一阶微分方程（乙）典型例题（1）（后）】例3.设y="是孙'+p（x）y=x

的一个解，求此微分方程满足y=0的特解

x=m2

解：将y="代入微分方程求出P（x）=xeT—x,方程化为虫+（e-*-1b=1

ax

先求出对应齐次方程包+（*'-1&=0的通解y=ce"「根据解的结构立刻可得非

ax

齐次方程通解y=e“+ce"「

2._1

再由），=0得2+2e5c=0,c=_”

x=ln2

x+e-x-

故所求解y=1—e2

§4.2特殊的高阶微分方程

（乙）典型例题

[4.2特殊的高阶微分方程（乙）典型例题（2）（前）】例4.求方程y"+y'-2y=2cos2x

的通解

特征根为4=-2,2,=1,因此齐次方程的通解为

2xx

Y=C}e-+C2e

设非齐次方程的特解为了，由于题目中a=0,万=2,a+i£=2i不是特征根，因

此设了=Acos2x+8sin2x,代入原方程可得

（-2A+2B-4A）cos2x+（-2B-2A-4B）sin2x=2cos2x

j-6A+28=2

1-66-24=0

31

解联立方程得A=——，B=—,因此

1010

y=---cos2xH---sin2x

1010

故原方程的通解为

_231

y=C€~x+---cos2无4---sin2x

1x21010

§4.3微分方程的应用

第六章多元函数微分学

§6.2偏导数与全微分

（乙）典型例题

（X丫

【6.2偏导数与全微分（乙）典型例题（1）（前）】例1.求〃=-的偏导数

【6.2偏导数与全微分（乙）典型例题（1）（中）】例2.设〃=/（x,y,z）有连续的一阶

偏导数，又函数y=y（x）及z=z（x）分别由下列两式确定

pysinf,tdu

e"_孙=2和/=求一

I「dx

解:*£*小隽

由e冲一肛=2两边对x求导,

解出@=一2（分子和分母消除公因子（e肛-1））

dxx

由1>,=r;'U出两边对x求导，得e，=s,（x_：）

小，（x-z）dx

解出虫=]_江夕一,

dxsin(x-

dudfydfFex(x-z)~\df

dxdxxdy[_sin(x-z)」我

【6.2偏导数与全微分（乙）典型例题（2）（前）】例4.设〃=/（x,y,z）有连续偏导数,

z=z(x,y)由方程

xex-yey-zez所确定，求

解一：令尸卜丁㈤二%?'一y"-z"，得F；=(x+l)e'，F：=-(y+l)e'',

F；=-(z+,则用隐函数求导公式得

dzF'xx+1Idzy+1

dxF；z+1dyz+1

x+xz

f'+/包=f'+f,^e~

dxxzdxxzz+1

今"+蟾=空产

dydyz+]

,du.du.Y4-1

/.du——dxH---dy—了;+/士产

dxdyA2z+1

解二：在xe、一ye'=ze‘两边求微分得

(1+x)exdx—(1+y)eydy=(1+z)ezdz

解出dz=(""产一卜外汕

(1+zp

代入du=f'dx+f'dy+f'dz

二f'xdx+f；dy+#1+」”+』”

'[(1+zp

合并化简也得加=（《+/；含）dx+（f；-詈el

§6.3多元函数的极值和最值

（乙）典型例题

一、普通极值

[6.3多元函数的极值和最值（乙）典型例题（1）（全）】例1.求函数

Z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值

解：

a7a?

—=4x3-2x-2y,—=4y3-2x-2y

dxdy

要求，=」=0,得x+y=2%3=2y3

dxdy

故知冗二y,由此解得三个驻点

x=0(x=1[x=-1

y=0[y=1[y=-1

又与I：'-2,△=—2,0=12/一2

dx2dxdydy2

在点(1,1)处

4一六-inB-d"Z--2C-d"Z

a?0,而(1,1)一，

A=AC-B2=96>0

又4=10>0,

(1,1)是极小值点

极小值Z=-2在点（―1,—1）处

(zU)x

A=、=10，8=-2,C=萼/、=10

dx2（-1,-1）dxdy（-1,-1）dy2（-1,-1）

△=AC-炉=96>0

A=10>0,

.♦.（一1,一1）也是极小值点

极小值Z（］］）=—2在点（0,0）处

A=、=-2,B=-^,、=—2,C=^1=—2

dx2（0,0）dxdy（0,0）dy2

A=AC-fi2=0不能判定

这时取x=£,y=-£（其中£为充分小的正数）则z=2->0

而取X=?=£时z=2s4-4£2<0由此可见（0,0）不是极值点

第七章多元函数积分学

§7.1二重积分

（乙）典型例题

一、二重积分的计算

【7.1二重积分（乙）典型例题（1）（前）】例1.计算］卜与必力），，其中。由y=x,

D

y=1和y轴所围区域

解：如果jje-）dxdy=j公］。-'解

D

那么先对求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。

Jje-vdxdy=工dy£e-产dx

D

这时先对X积分，6一产当作常数处理就可以了。

原式=[ye->2dy=~

二、交换积分的顺序

【7.1二重积分（乙）典型例题⑶（前）】例1.交换「公.:/（匕），协的积分顺

序

解：原式=JJ/(x,y)dxdy

其中D由y=yllax-x2和y=12ax以及x=2a所围的区域

D=。畋畋

_____2

।y—J2ax解出x=——

由________2〃

y=^2ax-x2解出x=a±^a2-y2

因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得

原式=fdy^^7f（x,y油+fdy仁二/（元）以+「力^f（x,y）dx

2a2a

例2.设/'（y）连续，证明

/=j呵7一W—『办=力⑷-/（。）】

y

证明：交换积分次序

/=]>"（），）dx

人o+ya-y.,a-y.

令％-------=-----sint,则nildx=-------costdt,

222

a-y

兀----COSf

/=(/()必—力==万[/(。)一〃0)]

2--COS/

2

例3.计算/=J'er'dx

解：/2=「e-，x『e-『dy=「

r2

=^de[\-rdr=^一苜=£

.」=近

2

第八章无穷级数（数学一和数学三）

§8.1常数项级数

（甲）内容要点

（乙）典型例题

一、主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性

例1.判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。

S1

“=i+,祈+J”+1)

00

2)Z2n-]

/l=l2"

81

1)解：z的

〃=1

S='y_________]

«=iJ氏(k+1)(V^+JA+1)

n

S.二

k=l

i1)

I*=114k\lk+1?

=1T=

J"+1

vlimS„=1