高中数学人教A版选择性必修第一册阶段检测试卷6

高中数学人教A版选择性必修第一册阶段检测试卷6

第I卷（选择题）

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一、单选题

1.过点尸作抛物线C：/=2y的切线4，切点分别为N,若APA/N的重心坐

标为（1,1）,且。在抛物线上，则。的焦点坐标为（）

2.已知点尸为抛物线丁=叔的焦点，”（-1,0）,点N为抛物线上一动点，当船[最

小时，点N恰好在以M,尸为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为

（）

A.3+275B.2+2夜C.D.2而'

24

3.在平面直线坐标系中，定义"（A,8）=0^{%-司,卜，1-必|}为两点

A&,yj、B&,%）的“切比雪夫距离”，乂设点P及/上任意一点Q,称。（尸，Q）的最

小值为点P到直线/的“切比雪夫距离"记作"（尸，/），给出下列四个命题：（）

①对任意三点A、B、C,都有d（C,A）+d（GB）Nd（A,B）：

4

②已知点P（3,l）和直线上2x-y-l=0,则d（P,/）=/

③到原点的“切比雪夫距离'’等于1的点的轨迹是正方形；

④定点耳（-c,0）、玛（c,0）,幼点P（x,y）满足W（F，K）-d（H5）卜2a（2c>2心0）,则

点P的轨迹与直线y=k[k为常数）有且仅有2个公共点.

其中真命题的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

4.已知点A是抛物线/=4〉，的对称轴与准线的交点，点尸为抛物线的焦点，点。在抛

物线上且满足|削=〃”尸目，若切取最大值时，点产恰好在以A尸为焦点的双曲线上，

则双曲线的离心率为

A.6+1B.五+1C.四D.克巴

22

2

5.已知点A是椭圆工+旷=1的上顶点，耳鸟分别是椭圆左右焦点，直线

2

，=双+"”>0）将三角形分割为面积相等两部分，则6的取值范围是（）

A.（0,1）B.[1一冬目

。&11口-

I23」[32）

6.如图，在圆锥SO中，A,8是O。上的动点，89是O。的直径，M,N是S3的

两个三等分点，NAO8=，（0"v乃），记二面角N-QA-8,M—4y-8的平面角分

别为。，P,若a<夕，则。的最大值是（）

二、多选题

7.已知双曲线C：'夕=1（">0/>0）与椭圆]+:=1有公共焦点，C的左、右焦

点分别为E，尸2,且经过点丁（亨1,则下列说法正确的是（）

A.双曲线C的标准方程为/-y2=[

B.若直线y=/U与双曲线c无交点，则囚>1

C.设4（&』），过点见0,1）的动直线与双曲线C交于尸，。两点（异于点A）,若直线

心与直线AQ的斜率存在，且分别记为匕，J则勺+匕=Q

D.若动直线/与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M,

N,则“MN（。为坐标原点）的面积为定值1

8.在棱长为1的正方体ABC。-A4GA中，尸为侧面8CG旦（不含边界）内的动点，

。为线段4。上的动点，若直线4尸与A片的夹角为45。，则下列说法正确的是（）

试卷第2页，共6页

A.线段AP的长度为近

B.*AQ+PQ的最小值为i

C.对任意点尸，总存在点Q,便得01Q_LCP

D.存在点P,使得直线AP与平面4OAA所成的角为60。

第II卷(非选择题)

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三、填空题

9.已知点P(2,0)和圆0：/+丁=36上两个不同的点M,N,满足/MAW=90。，。是

弦MN的中点，

给出下列四个结论：

①IMP|的最小值是4；

②点。的轨迹是一个圆；

③若点A(5,3),点8(5,5),则存在点Q,使得ZAQB=90。；

@AMPN面积的最大值是18+2/万.

其中所有正确结论的序号是.

10.参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上

方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他

自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想

是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的

焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单

位长度，在球的右上方有一个灯泡产(当成质点)，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，

灯泡垂直照射在平面的点为A,影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这

个影子椭圆的离心率e=.

11.抛物线/=除与双曲线上一点=工的有共同的焦点，制,两曲线在第一象

限的交点为斜(/“舞)，且导到焦点■的距离为5,则双曲线的离心率公=.

12.已知圆P:(x—5『+(y-2)2=2,直线/:y=如，点M(5,2+VI),点A(s』).给出下

列4个结论：

①当。=0时，直线/与圆尸相离；

2

②若直线/是圆P的一条对称轴，则，=(;

③若直线/上存在点A,圆尸上存在点N,使得NM4N=90。，则"的最大值为不；

④N为圆尸上的一动点，若NMW=90。，则f的最大值为+K

4

其中所有正确结论的序号是.

四、解答题

13.平面直角坐标系直为中，0为坐标原点，抛物线。：^=2〃彳5>0)的焦点为尸，

点W在抛物线C上，且|/卬|=2|。*,|0卬|=6.「关于原点的对称点为尸'，圆尸的半

径等于4，以Z为圆心的动圆过/且与圆〃相切.

(1)求动点Z的轨迹曲线£的标准方程；

(2)四边形A5CD内接于曲线E,点A8分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，设直线

4(7,8。的斜率分别是4£,且伏=；.

(i)记直线4c,8。的交点为G,证明：点G在定直线上；

(ii)证明：AB//CD.

14.如图，在直角AABC中，A=],角A,B,C所对的边长分别为。，b,c.

AC边的中线BO所在直线方程为x+7y+2=0；45边的中线CE所在直线方程为

13x+16y+1=0.

试卷第4页，共6页

y

(1)若A点坐标为(1,Y),求“3C外接圆的方程;

(2)若a=10君,求的面积S.

15.己知椭圆?+/1,过动点M(0,〃z)(m>0)的直线/交工轴于点N,交椭圆于点A,

尸(点尸在第一象限)，且M是线段PN的中点，过点尸作x轴的垂线交椭圆于另一点Q,

延长。历交椭圆于点8.点丁瓜号在椭圆上.

(1)求椭圆的焦距；

k’

(2)设直线PM的斜率为A，直线QM的斜率为A，证明：7为定值；

k

(3)求直线A8倾斜角的最小值.

16.已知抛物线C：y2=2〃x(p>0)的焦点为尸，过点尸的直线，交抛物线C于A,B两

点，当/_Lx轴时，|4q=2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线/交y轴于点。，过点。且垂直于)，轴的直线交抛物线。于点P,直线PF

交抛物线C于另一点Q.

①是否存在定点M,使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；

若不存在，请说明理由.

②求证：S&QAF,S4QBF为定值.

试卷第6页，共6页

参考答案

1.A

【分析】

由已知设切点坐标为羡)，"卜苧)利用导数写出切线4,,的方程，联立求出交

点尸坐标X=土产，y=竽，代入重心坐标公式利用已知条件可求出产的坐标为(LT),

再代入抛物线。：丁2=〃a方程，求出机，进而求o的焦点坐标.

【详解】

设切点坐标为MX,i,N,

<2)\2)

2

由f一2y,得),=5,所以V=1，

故直线乙的方程为y-£=K(XTj,即5=中-1~，

同理直线12的方程为y=x2x-^,

联立4,4的方程可得“=土产，丁=竽，

X

r1rI.+8I2.

设AMW的重心坐标为(/,%),则丫_122_1，、，_2,22_1，

%=5=,%=3=]

X+x,=2[x=2/、

即22_人所以:，则尸的坐标为(LT)，

将月点坐标代入抛物线力：/=〃吟得到(T)2=z"xl,解得加=1,

故O的焦点坐标为(go).

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查

了推理能力与计算能力，属于难题.

2.B

【分析】

作出图形，可知与抛物线相切时，踹取得最小值，求出点N的坐标，利用双曲线定

答案第1页，共24页

义求出2m结合c=l,可求得工，再利用《-1求得结果.

aa~\a)

【详解】

由抛物线的对称性，设N为抛物线第••象限内点，如图所示：

故点N作NB垂直于抛物线的准线于点&由抛物线的定义知IN尸|二|NB|,易知N8//X轴,

可得ZNMF=NBNM

\NB\

J一J一L=cosNBNM=cosZNMF

|W|\NM\

当NNM厂取得最大值时，踹取得最小值，此时NM与抛物线V=4x相切，

设直线NM方程为：y=k(x+\),

联立八，整理得标丁+(2公一4卜十二=0,

)，二火(3+1)'

其中△=-16父+16=0,解得：4=±1,由N为抛物线第一象限内点，则攵=1

2

贝ijx+(2-4)%+1=0,解得：x=\,此时丁=4,卬y=2或〉，=一2

所以点N的坐标且N(l,2)

由题意知，双曲线的左焦点为"(T,0),右焦点为F(LO)

设双曲线的实轴长为2m则2a=||NM|—|N尸||=2血一2,.”=近7,

又c=l则£==x/2+l

a

故渐近线斜率的平方为「=4^=仔)-1=(应+1)2-1=2+2应

故选：B

【点睛】

答案第2页，共24页

方法点睛：本题考查求双曲线的渐近线斜率，方法如下：

①直接求出从而求出2；②构造出〃的齐次式，求出2；③采用渐近线的定义以及圆

aa

锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解.

3.A

【分析】

①讨论4,8,C三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；

②设点Q是直线y=2x—l上一点，且Qx,2x-1),可得d(P，O)=/Mx{|x-3|,|2-2x|},讨论

Ix-3|,|2-2洲的大小,可得距离d,再由函数的性质，可得最小值；

③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；

④讨论尸在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断.

【详解】

解：①对任意三点A、B、C,若它们共线，设4%,%)、B(x2fy2)t

C(&，H)，如右图，结合三角形的相似可得d(C,A),d(C,B),或A8)

为AN,CM,AK,或CN,BM,BK,则d(C,A)+d(C,B)=d(A,B)；

若B,C或A,C对调，可得d(C,A)+J(C,3)>d(A,B).

若A，B,。不共线，且三角形中C为锐角或钝角，由矩形CMVK或矩形BMVK,

d(CtA)+d(CfB)；

则对任意的三点A,B,C,都有d(C,A)+d(C,8)..d(A,B).故①正确；

设点。是直线y=2x—l上一点，且。(儿标-1),

可得d(HO=/nax{|x-3|,|2-2,r|),

答案第3页，共24页

由|4-3|…|2-2幻，解得-1瓢即有或P.。)#-3|,

当X5时，取得最小值(4；

由IX—3142—2x1,解得x>|或X<T,即有d(P©=2x—2|,

44

"(P，Q)的范围是(3,+oo)U(§,+oo)=(-,+QO).无最值，

综上可得，P,。两点的“切比雪夫距离”的最小值为;.

故②正确；

③由题意，到原点的“切比雪夫距离”等于1的点设为(xy),则〃的{凡3}=1，

若1训.」川,Mlyhi；若3V」I,则1*1=1,故所求轨迹是正方形,则③正确:

④定点式(-c,0)、乃9,0),动点P(x,y)

满足|d(P，FJ-d(P,F2)\=2a(2c>2a>O)t

可得尸不了轴上，尸在线段斗鸟叵成立，

可得x+c_(c7)=2a,解得x=a,

由对称性可得'=-堞也成立，即有两点产满足条件；

若尸在第一象限内，满足MP,G-d(P，5)l=2a,

即为x+c-y=2a,为射线，

由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线,

则点尸的轨迹与直线)=&(攵为常数)有且仅有2个公共点.

故④正确；

综上可得，真命题的个数为4个，

故选:A.

答案第4页，共24页

【点睛】

本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难

题.

4.B

【详解】

过P作准线的垂线，垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|二|PB|,

1\PN\

V|PA|=m|PB|,J|PA|二m|PN|:.-=,

in|PA\

设PA的倾斜角为。，则sina='，

m

当m取得最大值时，sina最小，此时直线PA与抛物线相切，

设直线PA的方程为y=kx-1,代入x?=4y,可得x?=4(kx-1),x2-4kx+4=0,

.,.△=16k2-16=0,Ak=±l,AP(2,1),

2

・•・双曲线的实轴长为PA-PB=2(V2-1),・•・双曲线的离心率为弓正_])=夜+1

故选B.

点睛：本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化|刑=〃伊用得到

答案第5页，共24页

—=T^7T=sina,m取得最大值时，sina最小，此时直线PA与抛物线相切，得到△=0,

得到k的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用.

5.B

【分析】

由题意，A(0,l),£(-1,0),6(1,0),先求出直线尸妆+从々>0)与工轴的交点为“,，0}

由-2<o,可得点M在射线。片上.再求出直线y=ar+b(a>0)和A居的交点N的坐标,

a

分三种情况讨论：①若点M和点E重合，求得b=；；②若点”在点。和点耳之间，求得

③若点M在点片的左则，求得1—立</,<!•.求并集即可得力的取值范围.

3223

【详解】

解：因为点A是椭圆］+丁=1的上顶点，0尸2分别是椭圆左右焦点，

所以02=2，从=1,从而有/==1,

所以A(0,l),£(T0),玛(LO),

由题意，三角形A匕尸2的面积为:•月6.04=1,

设直线产”+。(a>0)与x轴的交点为加'3,。)，由直线y=or+b(cr>0)将三角形至人

分割为面积相等的两部分，可得6>0,所以-gcO,故点M在射线上.

1蓝可得点N的坐标为l-ba+b

设直线y=or+力和"2的交点为N,则由

a+1'a+1

①若点M和点"重合，如图:

答案第6页，共24页

把1、N两点的坐标代入直线y=ar+b,求得a=b=g.

②若点M在点0和点-之间，如图：

此时点N在点尸2和点A之间，

由题意可得三角形NMF】的面积等于;，即2."鸟.％=：,

即1x[l+2]•巴号=1,可得4=—>0,求得b<；,

2\a)a+\2l-2b2

故有:vb<g.

③若点M在点耳的左侧，

则人<:，由点M的横坐标-2<-i,求得〃〉公

3a

y=ax+b(1-ba-b

设直线y=ax+b和AF的交点为P.则由，求得点P的坐标为

｝y=x+l\a-la-I

此时，由题意可得，三角形APN的面积等于s即ga-3扁-小i=g,

即g(l-b)：怖一W=：,化简可得2(1-bp=|a2-1|.

由于此时g>b>a>0,所以2(1-32=,2一"=]_〃2

两边开方可得应(l-b)=jr^<l,所以1-方〈丧化简可得b>l-立,

2

故有1--</><-.

23

答案第7页，共24页

综上，人的取值范围应是（1-4，.

V.7

故选：B.

【点睹】

关键点点睛：本题的解题关键是，由题意分析得直线y=or+A（。＞0）与x轴的交点M在射

线。后上，然后分三种情况进行讨沦:①若点M和点「重合;②若点M在点0和点耳之间；

③若点M在点耳的左侧.

6.B

【分析】

设底面圆的半径为，"OS=a,以夕8所在直线为x轴，以垂直于夕8所在直线为轴，以QS所

在直线为z轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N-Q4-3与

M-A9-8夹角的余弦值.结合。三尸即可求得。的取值范围，即可得6的最大值.

【详解】

设底面圆的半径为JOS=〃,以£8所在直线为x轴，以垂直于所在直线为了轴，以0s所

在直线为z轴建立空间直角坐标系,如下图所示：

则由乙408=。（0〈。〈万）

可得。（0,0,0）,B（r,0,0）,S（0,0M）,A（rcose,rsine0）,81-r,0,0）

M,N是SB的两个三等分点

所以次二(rcose,rsine,0),两二|一,0:

、33

答案第8页，共24页

设平面NOA的法向量为加=(x，y,zj

叱：两—品八代入可得卜"唁cos,0。,,扑rsin。,0)=0

Xj/-cos6+yrsin。=0

化简可得

2色=o

33

cos02r

令玉=1,解得M=—------,Zi=

sin。------a

cos<92r\

所以I,

sin。

平面。4B的法向量为■二(0,0,1)

由图可知，二面角N-O4-B的平面角。为锐二面角，所以二面角N-O4-8的平面角。满

足

设二面角M—A2—3的法向量为1=(X2，y2，Z2)

B'A=(r+rcos0,rsin0,0),AM=1—~rcos0,-rsin0,—

(x2,y2,z2)-(r+rcos6,rsin6,0)=0

则h丽=0代入可得

⑸为，々〉0

A^/,+x>rcos^+y2rsin^=0

化简可得，xr2az,

—2——xrcos6*-yrsma+-----=0

3223

人iAnzH-l_cos®2r

令占=।，解得九二——^—>z2=-----

sin"a

口-I、IZ八T-cos。2八

所以&=1，-r-7—»-----

\sinaa)

平面AB'B的法向量为万=(0,0,1)

由图可知，二面角M-A8-3的正面角£为锐二面角，所以二面角M-A8-3的平面角£

满足

答案第9页，共24页

由二面角的范围可知0«a4工

结合余弦函数的图像与性质可知8saNcos/

所以。＜”§

所以。的最大值是1

故选:B

【点睛】

本题考杳了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用，根据题意建立合适的空间直角坐标系,

求得平面的法向量，即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂，属于难题.

7.ACD

【分析】

对A,根据椭圆与双曲线共焦点及双曲线过点下建立方程组解出内儿进而得到答案；

对B,结合双曲线的渐近线即可判断B：

对C,设出动直线方程并代入双曲线方程，进而结合根与系数的关系求得答案；

对D,考虑动直线斜率存在和不存在两种情况，若斜率存在，设出直线的斜截式

），="+“（加工0）,并代入双曲线方程，根据判别式为0得到太小间的关系，然后解出点M

的坐标，求出|MN|和。到直线的距离，最后求出面积.

【详解】

5,

对于A选项，由题意02+从=4-2=2,且a_W=|，联立解得。=〃=1，所以双曲线C的

标准方程为f-y2=[,故A正确；

答案第10页，共24页

对于B选项，因为双曲线C的渐近线方程为），=枚，所以直线y=〃与双曲线。无交点，则

UI>1,故B错误;

对于C选项，过点8的动直线斜率存在且不为0,故设该动直线为尸戊+1。00）.设P（x,,y）,

。仇,必），联立『一厂”得（J/*1-『工（），

—21—2=0,所以解得/<2且

△=4/2+8（l-r2）>0,

2t-2

『工1且20,%+/=--,XyX=--7,则

I—，21-t

-4t262

tx+tx_2为再一"（百+一）_

y.-it21一厂1一1

—

%-夜y/o,X2~x/2x^2~x/2+x2）+2—22+2

1一〃\-t

-4t-2y/2t2

=x/2,故C正确;

-2y/2t-2t2

对于选项D,由于动直线/与双曲线。恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交

于点N,当直线/的斜率不存在时，/：x=±l,|MN|=2,SA^=lxlx2=l；当动

直线/的斜率存在时，且斜率女工±1时，不妨设直线八'=依+〃?（m=0）,故由

｛：二；二=（-2及一2〃心-/7.0,从而△=（一2〃次）2-4（1—A2）（T„2_]）=O,

化简

2\m\\lk2+\

=-1-.1,,,又因为原点。到直线/：依-y+〃?=0的距离d=*=,所以

//ylk2+\

S.OMY=万|"时"=仁国，又由炉=〃+],所以=不不|=1,故AOMN的面积为定

值1,故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题的选项D比较狂杂，对于此类问题要注意两个方面：①设直线方程（斜截式结构简单）

答案第II页，共24页

时一定要考虑直线的斜率是否存在；②思路一定要直接，既然求三角形的面积，那么最直接

的方法就是求出三角形的底和高.

8.ABC

【分析】

对选项A,直接通过建立空间直角坐标系，表示出线段AP,即可求得;

对选项B,转化*A。为是关键，然后通过坐标表示出。尸-0我+1即可求得

+的最小值为1；

对选项c,通过A。，“关系建立方程，结合点尸的坐标满足a-i）'+（z「i）2=i,得到关

-^■+1z；+92

于马的一元二次方程lu-n-J1T—^-24+1=0,再通过判别式即可判断出对任

IMF

意点产，总存在点。，便得RQ_LCP；

对选项D，通过先求平面A。。A的法向量，然后根据直线AP与平面4。"A所成的角为60。

,故选项D错误.

建立如上图所示的空间直角坐标系。-个z,根据题意，可得：。（0,0,0）,A（l,0,0）,

c(o,i,o),A(0,0,1),a。，。/)，4(LLi)，G(oji)

设点P（x/zJ,Q（孙%Z2），庄直线A?与的夹角为45,则有:

而=丽=(0,1,0)

答案第12页，共24页

7V

故有:cos—=

4I丽同I

解得：6-1)2+(z「1)2=1

Q为线段AC上的动点，则有.：4。=%而(0W2W1)

解得：。(1一4,41-2)

对选项A,则有：|平卜JaT)?+(z「l)2+l=0,故选项A正确；

对选项B,过点。作平面A8CQ的垂线，垂足为R

易知：与QA、="QR(由于sin/AGA,=第=*)

故坐4。十为2的最小值等价于求QPQR+1

研=T

22

[Q4=^(1-A-X1)+(A-1)*+(l-A-z1)

222222

故有：|^|=(1-2-^)+(2-1)+(1-2-21)>(2-1)=|^|

当且仅当N=4=l-2时成立，结合(x「l)2+(z「l)2=l,可得此时/=#

故选项B正确；

对选项C,若RQ_LCP,则有：而=。-44々)，方=(5,0,zJ

丽衣=内(1-；1)-4/1=0,又(&_1)2+包_1)2=]

点。，便得AQ_LCP,故选项C正确:

对选项D,易知平面AQRA的法向量为7=(0,1,0),若直线AP与平面4。。必所成的角为

答案第13页，共24页

A

60°,即直线AP与平面ADRA的法向量成即，则有:

lAPIkl

解得：更=」=,矛盾，故选项D错误.

241

故选：ABC

【点睛】

解决立体几何问题通常有两种方法：

是建立空间直角坐标系，运用空间向量的运算与性质解决立体几何的问题，将问题转化为代

数运算，解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需

向量；

二是通过传统的几何方法，需要较高的空间想象力.

9.①②④

【分析】

①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出（x,y）,找到等量美系，建立方程，求出

点。的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点Q；④当PM,PN

斜率分别为1和-1时，且点P,朋在y轴左侧，此时面积最大，求出最大值.

【详解】

点M在圆O：'+y2=36上,设“（6cos®,6sine）,则

|MP\=J（6cos®-2）2+（6sine）2=J40-24cos。,当cos。=1时，IA/PI取得最小值，最小值

为4,①正确；

设点。（x,y）,则由题意得：PQ2=QM2=OM2-OQ2,则（工一2）2+），2=36—任+/），整

理得：（x-l）2+丁=17,所以点。的轨迹是一个圆，②正确；

为以AB为直径的圆，圆心为（5,4）,半径为1,方程为：（“—5）2+（丁-4）2=1,下面判断此

圆与点。的轨迹方程"-1）2+丁=17是否有交点，由于J（5-1），+42=4&>如+1,两圆

相离，故不存在点。，使得443=90。，③错误；

当尸M,PN斜率分别为1和/时，且点p,M在y轴左侧，此时△MPN为等腰直角三角形，

2

面积最大，此时尸Q=QM=QN=1+J17,（5mv）max=1x2x（l+Vi7）=18+2>/i7,④正

答案第14页，共24页

确.

故答案为：①②④

【点睛】

轨迹方程问题，i般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征

选择合适的方法进行求解.

【分析】

建立平面直角坐标系，解得图中必。的横坐标，列方程组即可求得椭圆的。、C,进而求

得椭圆的离心率.

【详解】

4

以A为原点建立平面直角坐标系，则P(0,4),直线PR的方程为,二1］十4

7,

由M到直线PR的距离为1,得解之得〃=-］或〃=T（舍）

77

则M（-牙1）,6（--,0）

又设直线PN的方程为y=去+4

4+4-145

由M到直线PN的距离为1,得2整理得「公-2k+8=0

则攵#2=；|，又L=g，故**

Q1C

则直线PN的方程为y=^x+4,N（-学0）

^NQ=-—+-=4=a+c,RQ=-3+—=—=a-c

2222

答案第15页，共24页

a+c=4a=——

由1，解得:，故椭圆的离心率6=£=等）

a-c——9c=-7a-"9

iI44

故答案为：三

【点睛】

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、

生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形

结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

11.2

【详解】

试题分析：抛物线面忸酝阳=%+勺/+2=5,「.%=3,「.%2=24,

_9__24=1

・・{/h2~672=1,

a2+h2=4

力2=3,/.e=£=2.

a

考点：1.抛物线与双曲线的位置关系；2.双曲线离心率.

【思路点晴】抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用.利用抛物线

定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关.实现由

点到点的距离与点到直线的距离的转化.（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦

点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.（2）将抛物线上的点到焦点的距离

转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短''原理解决.

12.®®®

【分析】

对于①：a=0,/：y=0,圆心（5,2）,半径直线/与圆P相离；对于②：若直线/圆P

的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即可得到；对于③：由垂径定理，NMQP=90。,设

=a.得到2NR4N2,但两处等号无法同时取到，矛盾；对于④：N为圆。上的一个

动点.若NM4N=90。，设。（N，No），42MP=a,利用参数方程解决即可.

【详解】

对于①：当。=0时，直线/：y=0,圆心（5,2）,半径0,直线/与圆P相离，故表述①正

答案第16页，共24页

确;

0.09

对于②：若直线/圆尸的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故"=曰=彳，故表述②正确:

5—05

本题的难点主要聚焦于③、④，如图所示:

设MN的中点为Q,以MN为直径作圆Q,连接P0QAPAPM.则

/M4N=90。=A在圆。上=QA=QM

对于③：由垂径定理，NMQP=90。，设NQMP=a.

一方面，若ZM4/V=90。，则尸A4PQ+Q4=PQ+QM=V5sina+&cosaW2.

当且仅当a=45。，且P,Q,A三点共线时，等号成立，此时直线R4的斜率为T.

另一方面，当。=王■时，直线/:20x—21y=0.

|20x5-21x2|

故点尸到直线/的距离4==2.此日寸E4N〃=2.

72024-212

当且仅当A为点P在直线/上的射影时等号成立，此时直线PA的斜率为-三.

对比发现，2NQ4N2,但两处等号无法同时取到，矛盾.故表述③错误.

对于④：N为圆尸上的一个动点.若NM4N=90。，设Q（%,%）,NQMP二a,

则rW%+04=jo+V^cosa.

注意到%=2+PQsina=2+J5sii?a,

cosa-^8+5垃<8+5虚

itez<2+V2sin2a+\/2cos<z=-A/2j।

44

当且仅当a=60。且点A在点。正上方时，等号成立.故表述④正确.

故答案为：①②④.

答案第17页，共24页

【点睛】

木题考查直线与圆的位置关系变形，以及圆更深层次的定义，难度较大，能够正确画出示意

图是解决问题的关键.

22

13.(1)—+^-=1:(2)⑴证明见解析；(ii)证明见解析.

43

【分析】

(1)由抛物线定义表示出I尸卬1,即可求出点卬的坐标，由此求出。的值，进而求出抛物线

的方程，然后求出点尸，尸的坐标，利用椭圆的定义即可求出动点Z的轨迹方程；(2)(i)

设出点G的坐标，然后分别设出直线AC,的方程，求出左，质的关系式，利用已知

建立等式关系，再由48co为四边形，即可证明；(ii)求出A,8的坐标，即可求出直线A8

的斜率，设出直线C。的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及斜率公式表示出占&，

并令该关系式等于二，化简求出直线8的斜率，由此即可证明.

【详解】

解：(1)由题知：|尸卬|=^+%=〃，所以%=],%=〃，

所以|OW|=¥〃=75,解得〃=2,

所以抛物线O的标准方程为丁=4x,F(1,O),

设动圆Z的半径为「，由题意知,产|二乙|ZF|二4-乙

所以|ZF|+|ZF[=4>|"1=2,

所以Z点的轨迹是以尸，尸为焦点的椭圆，其长轴长2。=4,焦距为2c=2,6=7?二

所以曲线E的标准方程为：《+£=1.

43

(2)(i)设点G(x,y),因为y=&(x-2),所以仁二-2二，

x-2

因为y=&r+V5,所以右二2二回，

x

因为女的=]，所以—•上二叵=3，整理得(2)，一任)(2)，+逐一2、回)=0，

4x-2x4

因为A8CO为四边形，所以2y+、取一2百工0,

所以点G在定直线JIr-2〉=0上；

答案第18页，共24页

（ii）由题知A（2,0）,6（0,1）,直线A8:.y=-^x+6,

设。（内,y）,0（/，必），直线8：）'=履+加，

将y="+/〃代入匕+2_=1得(3+4/+8^nx+4/n2-12=0,

43

g、i4"『-12

所以内+“一二记

22

y二月一6%以一也必kx1x2+5(N+x2)+m-5/5(3+ni)

所以堆2=

%1-2马（石一2）X2xix2-2X2

,2/4〃h一12、./8km、2R/8km、R

k(――—j-)+bn(--——y)+/n—y/3k(--——J-X)-5/3/M

3+4-3+4-3+4—2______

4m2-12△

-------2x,

3+4公2

期3」/-12&2+46>2加-3石〃2十月(3&+4F)苍_3

4〃?2-12-2(3+4炉)."4

所以(16VJX+24公+]2辰+18)&+4>/5M4公一3)+36-48公=0,

146鬲屈('4+入24^3)++1326显.4八+18=。0‘解得』G当

所以

所以45//CQ.

（2）100

【分析】

（1）设点5坐标为（一7%-2,%）,则E坐标为（三岁，当代入13x+16y+l=0可得点

〃的坐标，同理可得点C的坐标，求出BC的中点坐标即为外接圆圆心，计算「=；忸。|,即

可得外接圆的方程；

22

（2）利用重心的性质得到86=38。，CG=-CEtS_8c=3Sg「用平面向量的数量积

得到：BG.CG=-^t用到角公式求出lan/BGC=-，进而得到sin/BGC=F