高考导数练习题+统计与统计案例+函数

高考导数练习题+统计与统计案例+函数专题

导数高中数学组卷（附参考答案）

一.选择题（共22小题）

1.（2015•绵阳模拟）设函数f（x）=ax3+3bx（a,b为实数，a<0,b>0）,当x€[0,1]时,

有f（x）G[0,1],则b的最大值是（）

A.1B.V2C.V3D.V3+1

2424

2.（2015•红河州一模）若函数f：x）=&3+x2-2在区间ga+5）内存在最小值，则实数

33

a的取值范围是（）

A.[-5,0）B.（-5,0）C.[-3,0）D.（-3,0）

3.（2015・开封模拟）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取

值范围是（）

A.（-co,2]B.（・8,2）C.[0,+8）D.（2,+=）

4.（2015•泸州模拟）设函数f（x）=ax3+3x,其图象在点（1,f（1））处的切线1与直线x

-6y-7=0垂直，则直线1与坐标轴围成的三角形的面积为（）

A.1B.3C.9D.12

21

5.（2014•郑州一模）已知曲线尸工-31nx的一条切线的斜率为工，则切点的横坐标为

42

（）

A.3B.2C.1D.1

~2

6.（2014•郑州模拟）曲线尸工x.x在点（1，-）处的切线与坐标轴围成的三角形面积

33

为（）

A._1B.2C._1D.2

-9933

21

7.（2014•西藏一模）已知曲线尸工的一条切线的斜率为工则切点的横坐标为（）

y42

A.1B.2C.3D.4

8.（2014•广西）曲线y=xe、7在点（1,1）处切线的斜率等于（）

A.2eB.eC.2D.1

9.(2014•武汉模拟)若函数f(x)=x?+ax+工在(士+8)是增函数，则a的取值范围是

x2

()

A.[-h0]B.[-1,oo]C.[0,3]D.[3,+8]

10.(2014•包头-■模)已知函数yr，・3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=()

A.-2或2B.-9或3C.-1或1D.-3或1

II.(2014•郑州模拟)已知f(x)=X2+2X『(1),则仔(0)等于()

A.0B.-4C.-2D.2

12.(2014•江西二模)已知函数f(x)=x2+f(2)(lnx-x),则「(1)=()

A.1B.2C.3D.4

13.(2014•上海二模)已知f(x)=(2x+l)3-2+3a,若F(-1)=8,则f(-1)=()

x

A.4B.5C.-2D.-3

14.(2014•莉泽一模)已知函数f(x)=x2-cosx,则f(0.6),f(0),f(-0.5)的大小关

系是()

A.f(O)<f(-0.5)B.f(0)<f(0.6)C.f(0.6)<f(-D.f(-0.5)<f(0)

<f(0.6)<f(-0.5)0.5)<f(0)<f(0.6)

15.(2014•呼伦贝尔一模)若函数f(x)=Ax3-iix2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减

32

函数，在区间(6,+8)为增函数，则实数a的取值范围是()

A.(-8,2]B.[5,7]C.[4,6]D.(-5]U[7,

+oo)

16.(2014•福建模拟)函数f(x)=-X?+3X2-4的单调递增区间是()

A.(…，0)B.(-2,0)C.(0,2)D.(2,+“)

17.（2014•佛山二模）已知函数f（x）=x2-cosx,xeR,则（）

A,f(—)>f⑴氏f(i)>f(2£)c-f(-2£)>f(i)D-f(—)>f(-

3343

—）＞f（i）

4

22

18.（2014•江西模拟）已知m是区间［0,4］内任取的一个数，那么函数f（x）=&3-2x+mx+3

3

在XGR上是增函数的概率是（）

A._1B.1C._1D.2

43^3

19.(2014•宁德模拟)函数f(x)=x-sinx是()

A.奇函数且单调B.奇函数且单调

递增递减

C.偶函数且单调D.偶函数且单调

递增递减

20.(2014•梧州模拟)已知f(x)=-x3+ax在(--1]上单调递减，则a的取值范围是

()

A.(-8,1]B.[1,+°°)C.(-8,3]D.[3,+8)

21.(2014•揭阳模拟)关于函数f(x)=X3-3X+1,下列说法正确的是()

A.f(x)是奇函数

且x=-1处取得

极小值

B.f(x)是奇函数

且x=l处取得极

小值

C.f(x)是非奇非

偶函数且x=-1

处取得极小值

D.f(x)是非奇非

偶函数且x=l处

取得极小值

22.(2014•贵州模拟)函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和”则()

A.a-2b=0B.2a-b=0C.2a+b=0D.a+2b=0

二.填空题(共2小题)

23.(2015•广东模拟)函数f(x)=xlnx在点(e,f(e))处的切线方程为.

24.(2015•赤峰模拟)已知f(x)=x3-3x2+2x+a,若f(x)在R上的极值点分别为m,n,

则m+n=.

三.解答题(共6小题)

25.(2015•路南区二模)已知函数f(x)=ax2-ex(aWR)

(I)当a=l时，判断函数f(x)的单调区间并给予证明；

(II)若f(X)有两个极值点XpX2(X]<X2),证明：--<f(Xj)<-1.

26.(2015•汕尾模拟)已知函数f(x)=x3+bx?+cx的极值点为x=-尧x=l

(1)求b,c的值与f(x)的单调区间

(2)当xW[-l,2]时，不等式f(x)Vm恒成立，求实数m的取值范围.

27.(2015•南昌模拟)函数f(x)=x・alnx-2.

(I)求f(x)的单调区间；

(IDa=l时，不等式f(x)+(b+1)f(x)Vx-1对x>l恒成立，求正整数b的取值集

合.

28.(2015•安徽一模)已知函数f(x)=b+(1-2a)x+x2-x3.

(I)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

(II)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x-1,求函数f(x)在定义域

上的极小值.

29.(2015•重庆一模)已知函数f(x)=-ax2+2x-lnx

2

(1)当a=0时，求f(x)的极值：

(2)若f(x)在区间2］上是增函数，求实数a的取值范围.

30.(2014•广西)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a*0).

(I)讨论f(x)的单调性；

(H)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围.

导数高中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共22小题)

1.(2015•绵阳模拟)设函数f(x)=ax3+3bx(a,b为实数，a<0,b>0)»当x6[0,1]时,

有f(x)e[0,1],则b的最大值是()

A.1B.亚C.近D.

2424

考点：利用导数求闭区间上函数的最值.

专题：计算题.

分析：求导数，利用函数的单调性，结合x€[0,1]时，有f(x)G[0,1],即可b

的最大值.

解答：解：*.*f(x)-ax3+3bx»f(x)-3ax2+3b

令f(x)=0,可得x=一且

Ab的最大值是立.

2

故选：C.

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中

档题.

2.(2015•红河州一模)若函数f&3+X2.N在区间@，a+5)内存在最小值，则实数

33

a的取值范围是()

A.[-5,0)B.(-5,0)C.1-3,0)

D.(-3,0)

考点：利用导数求闭区间上函数的最值.

专题：计算题；作图题；导数的综合应用.

分析：由题意，求导？(x)=X2+2X=X(x+2)确定函数的单调性，从而作出函数的

简图，由图象求实数a的取值范围.

解答：解：由题意，f(x)=X2+2X=X(X+2),

故f(x)在(-8,-2),(0,+->)上是增函数，

在(・2,0)上是减函数，

作其图象如右图，

令-2-%,

333

x=0或x=-3；

则结合图象可知，

-3<a<0

<a+5>0

解得，aG[-3,0)；

故选C.

点评：本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题.

3.(2015•开封模拟)函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取

值范围是()

A.(…，2]B.(…，2)C.10,+8)

D.(2,+8)

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.

专题：导数的概念及应用.

分析：问题等价于F(x)=2在(0,+8)上有解，分离出参数a,转化为求函数

值域问题即可.

解答：解：函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，即f(x)=2在

(0,+8)上有解，

而F(x)=-i+a,即-i+a=2在(0,+«>)上有解，a=2--,因为x>0,所以2-2<2,

XXXX

所以a的取值范围是(-8,2).

故选B.

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程问题，注意体会转化思想在本题

中的应用.

4.(2015•泸州模拟)设函数f(x)=ax3+3x,其图象在点(1,f(1))处的切线1与直线x

-6y-7=0垂直，则直线1与坐标轴围成的三角形的面积为()

A.1B.3C.9D.12

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.

专题：导数的综合应用.

分析：求出原函数的导函数，得到F(l)=3a+3,由3a+3=-6求得a的值，代入

原函数解析式，求出f(l),由直线方程的点斜式得到1的方程，求出其在两坐标轴上的截

距，由三角形的面积公式得答案.

解答：解：由f(x)=ax'+3x,得

f(x)=3ax2+3,f(1)=3a+3.

•・•函数f(x)=ax3+3x在点(1,f(D)处的切线1与直线x・6y-7=0垂直，

3a+3=-6,解得a=-3.

f(x)--3x3+3x>

贝jif⑴=-3+3=0.

工切线方程为y=-6(x-1),

即6x+y-6=0.

取x=0,得y=6,取y=0,得x=l.

，直线1与坐标轴围成的三角形的面积为2x6X1二3.

2

故选：B.

点评：本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线

的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题.

21

5.(2014•郑州一模)已知曲线厂工-31nx的一条切线的斜率为工，则切点的横坐标为

」42

()

A.3B.2C.1D.1

2

考点：导数的儿何意义.

分析：根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间.

解答：解：设切点的横坐标为(xo,yo)

・・•曲线厂2-31nx的一条切线的斜率为工，

,42

・・・y=冬一旦=」，解得xo=3或xo=-2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3

2x02

故选A.

点评：考查导数的儿何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的

定义域.比如，该题的定义域为{x>0}.

6.（2014•郑州模拟）曲线产］乂3+乂在点（1，-）处的切线与坐标轴围成的三角形面积

33

为（）

A.1B.2c.1D.2

9933

考点：导数的几何意义.

专题：压轴题.

分析：（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P（xo,yo）处的切线斜率，进

而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求

出面积.

解答：解：若丫寺+X,则y1x*2,即曲线y=*+x在点（1，-|）处的切线方

程是y-工2（x-1），它与坐标轴的交点是（工，0）,（0,-2）,围成的三角形面积为

3339

故选A.

点评：函数y=f（x）在x=xo处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（xo,

yo）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y-yo=r（xo）（x-xo）

2i

7.（2014•西藏一模）已知曲线尸，的一条切线的斜率为工，则切点的横坐标为（）

y42

A.1B.2C.3D.4

考点：导数的几何意义.

分析：利用导数的几何意义，列出关于斜率的等式，进而得到切点横坐标.

解：已知曲线尸《的一条切线的斜率为工，・・・y，，•，

解答：

y42y22

・・・x=l,则切点的横坐标为1,

故选A.

点评：函数y=f<x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（xg»

yo）处的切线的斜率.应熟练掌握斜率与导数的关系.

8.（2014•广西）曲线y=xeX」在点（1,1）处切线的斜率等于（）

A.2eB.eC.2D.1

考点：导数的几何意义.

专题：导数的概念及应用.

分析：求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率.

解答：解:函数的导数为F（x）=exl+xex'l=（1+x）exI,

当x=l时,f（1）=2,

即曲线y=xe*7在点（1,1）处切线的斜率k=r（1）=2,

故选：C.

点评:本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较

基础.

9.(2014•武汉模拟)若函数f(x)=x?+ax+1在(1,+8)是增函数，则a的取值范围是

x2

()

A.[-1,0]B.[-1,oo]c.[0,3]D.

[3,+8]

考点：利用导数研究函数的单调性.

专题：导数的综合应用.

分析：由函数f（X）=x2+ax+工在（］，+8）上是增函数，可得

x2

F（x）=2x+a-」N。在（工+8）上恒成立，进而可转化为a23-2x在（［+«>）

x22J2

上恒成立，构造函数求出上-2x在（工，+8）上的最值，可得a的取值范围.

29

X乙

解答：解：•・•£（X）=x2+ax+稣（工，+8）上是增函数

x2

故f'（x）=2x+a-」尹在弓，+8）上恒成立

即Q±-2X在（2,+8）上恒成立

29

X乙

令h（x）=j^-2x,

2

X

则h，（x）=-2-2

3

X

当xW（―,+8）时，h*（x）<0,则h（x）为减函数

2

.*.h（x）<h（―）=3

2

Aa>3

故选D

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综

合应用，难度中档.

10.（2014•包头一模）已知函数尸乂^-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）

A.-2或2B.-9或3c.-1或1D.-3

或1

考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系.

专题：计算题.

分析：求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3-3x+c

的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0,由此可求c的值.

解答：解：求导函数可得y'=3(x+1)(x-1)

令y，>0,可得x>l或xV-1；令y，VO,可得・1VXV1；

工函数在(-8,-J),(J,+OO)上单调增，(-1,1)上单调减

・•・函数在X=-1处取得极大值，在X=1处取得极小值

•・•函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点

・•・极大值等于0或极小值等于0

:.1-3+c=0或-1+3+c=0

Ac=-2或2

故选A.

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极

大值等于0或极小值等于0.

11.(2014•郑州模拟)已知f(x)=x2+2xf(1),则f(0)等于()

A.0B.-4C.-2D.2

考点：导数的运算.

专题：导数的概念及应用.

分析：把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=i可求2r(1)的值.

解答：解：由f(x)=x2+-2xf(1),

得:P(x)=2x+2f(1),

取x=l得:f(1)=2x1+2f(1),

所以，f(1)=-2.

(0)=2f(1)=-4,

故答案为：B.

点评：本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的F(1),在

这里F(1)只是一个常数，此题是基础题.

12.(2014•江西二模)已知函数f(x)=x2+f(2)(lnx-x),则「(1)=()

A.IB.2C.3D.4

考点：导数的运算.

专题：导数的概念及应用.

分析：f(2)是一个常数，对函数f(x)求导，能直接求出F(1)的值.

解答：解：Vf(x)=x2+f(2)(Inx-x),

Af(x)=2x+f(2)(1-1)；

x

・•・「(1)=2x1+f(2)x(1-1)=2.

故选：B.

点评：本题考查了利用求导法则求函数的导函数问题，解题时应知F(2)是一个

常数，根据求导法则进行计算即可，是基础题.

13.(2014•上海二模)已知f(x)=(2x+l)3-&+3a,若F(-1)=8,则f(-1)=()

x

A.4B.5C.-2D.-3

考点：导数的加法与减法法则.

专题：计算题.

分析：先求出函数的导数，再把X=-1代入r(X)的解析式得到F(・1),再由

f(-1)=8,求得a的值，即可得到函数f(x)的解析式，从而求得f(-1)的值.

3

解答：解：已知f(x)二(2x+l)-&+3a，

x

Af(x)=3(2x+l)2x2+2

2

X

Vf(-1)=8,

:.3x2+2a=8，故有a=1,

(x)=(2x+l)3-—+3a=(2x+l)3--+3*

XX

Af(-1)=-l+2+3=4,

故选A.

点评：本题主要考查函数在某一点的导数的定义，求一个函数的导数的方法，属于

基础题.

14.(2014•莉泽一模)已知函数f(x)f2-cosx,则f(0.6),f(0),f(-0.5)的大小关

系是()

A.f(0)<f(-0.5)<f(0.6)B.f(0)<f(0.6)<f

(-0.5)C.f(0.6)<f(-0.5)<f(0)D.f(-0.5)<

f(0)<f(0.6)

考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合.

专题：导数的综合应用.

分析：由f(x)=x?-cosx为偶函数，得f(-0.5)=f(0.5),只须比较f(0.6),f

(0),f(-0.5)的大小关系即可.

解答:解:*.*f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cosx=f(x),

Af(x)是偶函数；

：.f(-0.5)=f(0.5)；

又(x)=2x+sinx,

当xW(0,1)时，f(x)>0,

Af(x)在(0,1)上是增函数，

Af(0)<f(0.5)<f(0.6)；

即f(0)<f(-0.5)<f(0.6).

故选：A.

点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性并比较函数值的大小问题，是基础

题.

15.(2014•呼伦贝尔一模)若函数f(x)=lx3--kx2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减

32

函数，在区间(6,+8)为增函数，则实数a的取值范围是()

A.一0°,2]B.[5,7]C.[4,6]D.

(-g,5]U[7,+8)

考点：利用导数研究函数的单调性.

专题：导数的综合应用.

分析：求出原函数的导函数，求得导函数的零点1,a-1,然后分1与a-1的大小

分析导函数在不同区间内的符号，从而得到原函数在不同区间内的单调性，最后借助于已知

条件得到a-1与4和6的关系，则答案可求.

解答：解：由函数f(x)=-^x3_4ax2+(a-1)x+1»

得F(x)=x2-ax+a-1.

令F(x)=0,解得x=l或x=a-1.

当a-141,即a42时，f(x)在(1,+8)上大于0,函数f(x)在(1,+8)上为增函数,

不合题意；

当a-即a>2时，F(x)在(-8,1)上大于0,函数f(x)在(-〜1)上为增

函数，

f(x)在(1,a-I)内小于0,函数f(x)在(1,a-1)内为减函数，f(x)在(a-1,

+°°)内大于0,

函数f(x)在(a-1,+8)上为增函数.

依题意应有：

当x£(1,4)时，f(x)<0,

当xG(6,+8)时，r(x)>0.

A4Sa-1^6,解得5Sa<7.

，a的取值范围是[5,7].

故选：B.

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，

采用了逆向思维方法，解答的关键是对端点值的取舍，是中档题.

16.(2014•福建模拟)函数f(x)=・X?+3X2-4的单调递增区间是()

A.(-叼0)B.(-2,0)C.(0,2)

D.(2,+—)

考点：利用导数研究函数的单调性.

专题：导数的概念及应用.

分析：利用导数求解，由F(x)>0得，0<x<2.

解答:解:Vf(x)=-3X2+6X=-3X(X-2)

,由F(x)>0得，0<x<2.

...f(x)的递增区间是(0,2).

故选C.

点评：本题主要考查利用导数求函数的单调区间的方法，属基础题.

17.(2014•佛山二模)已知函数f(x)=x2-cosx,xGR,则()

A.f(2L)>f(i)>f(-2L)B.f(i)>f(2L)>f

343

()c.f(-—)>f(i)>f(2E)D.f(—)>f

4433

(-—)>f(i)

4

考点：利用导数研究函数的单调性.

专题：导数的概念及应用.

分析：由f(x)=*2-8W得，£(乂)为偶函数且在(0,—)上是增函数，利用

2

函数单调性及奇偶性的性质得出结论.

解答：解：Vf(x)=2x+sinx,

•••当xW(0,—)时，f(x)=2x+sinx>0,

2

••・函数f(x)=x2・cosx在(0,—)上是增函数，

2

又函数f(x)=x2-cosx,在R上是偶函数，故f(-2L)=f(工)，

44

v2£>i>2L,

34

・・.f(2L)>f(1)>f(-2L)

34

故选A.

点评：考查学生利用函数的奇偶性、单调性比较大小的方法，关键是转化到同一单

调区间上，利用单调性比较大小，属基础题.

18.(2014•江西模拟)己知m是区间［0,4］内任取的一个数，那么函数f(x)=1?-2x2+m2x+3

3

在xWR上是增函数的概率是()

A..1B.1C.1D.

4323

考点：利用导数研究函数的单调性；几何概型.

专题：导数的综合应用.

分析：根据f(x)在xWR上是增函数，得至IJF(x)=x2-4x+m2x)恒成立，求出a

的范围，利用几何概型的概率公式即可的得到结论.

解答：解：Vf(x)=x2-4x+m2,

f(x)=lx3-2x2+m2x+3在xeR上是增函数

3

.*.f(x)=x2-4x+m%0恒成立

/.△=16-4m2<0

解得m>2或mW-2

又・・・m是区间［0,4］内任取的一个数

/.2<m<4

由几何概型概率公式得

函数f(x)=工？_2x2+m2x+3在x€R上是增函数的概率P二且二二

342

故选C

点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用导数求出函数递增时对应a的取

值范围是解决本题的关键.

19.(2014•宁德模拟)函数f(x)=x-sinx是()

A.奇函数且单调递增B.奇函数且单调递减

C.偶函数且单调递增D.偶函数且单调递减

考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的判断.

专题：函数的性质及应用.

分析：由定义域关于原点对称，且f(-x)=-f(x)得奇函数，通过求导数大于

0得单调性.

解答：解：•・•函数的定义域为R,

f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sinx)=-f(x),

，函数f(x)是奇函数.

又『(x)=1-cosx>0,

••・函数f(x)=x-sinx在R上是单调递增函数.

故答案选：A.

点评：本题考察了函数的单调性，奇偶性，是一道基础题.

20.(2014•梧州模拟)已知f(x)=-x?+ax在(--1]上单调递减，则a的取值范围是

()

A.(-8,I]B.[I,+8)C.(-8,3]

D.[3,+8)

考点：利用导数研究函数的单调性.

专题：导数的综合应用.

分析：利用导数与函数单调性的关系，即可求得结论.

解答：解：■(x)=-x3+ax在(上单调递减，

.*.f(x)=-3x2+a<0,aW3x2在(-8,-1]上恒成立，

a43.

故选：C.

点评：本题主要考查学生利用导数判断函数单调性的方法，属基础题.

21.(2014•揭阳模拟)关于函数f(x)=X3-3X+1,下列说法正确的是()

A.f(x)是奇函数且x=-1处取得极小值

B.f(x)是奇函数且x=l处取得极小值

C.f(x)是非奇非偶函数且x=-1处取得极小值

D.f(x)是非奇非偶函数且x=l处取得极小值

考点：函数在某点取得极值的条件.

专题：导数的综合应用.

分析：根据函数的奇偶性和导数和极值之间的关系即可得到结论.

解答：解：Vf(x)=x3-3x+l,

.\f(-x)=-x3+3x+l*f(x),且f(-x)w-f(x),

即f(x)是非奇非偶函数，

f(x)=3x2-3=3(x2-1),

由f(x)=3(x2-1)>0,解得x>l或xV-1,

f(x)=3(x2-1)<0,解得-l<x<l,

即函数在x=l处取得极小值，在x=-1处取得极大值，

故选：D.

点评：本题主要考查函数奇偶性的判定，以及利用导数判定函数的极值问题，考查

学生的计算能力.

22.(20l4•贵州模拟)函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1则()

A,a-2b=0B.2a-b=0C.2a+b=0D.

a+2b=0

考点：函数在某点取得极值的条件.

专题：导数的综合应用.

分析：由函数极值的性质可知，极值点处的导数为零，且左右两侧导数异号，据此

可以列出关于a,b的方程(组)，再进行判断.

解答：解：设f(x)=ax3+bx2(a*0),

贝I」F(x)=3ax2+2bx,

(0)=0

由已知得Ra>0,即3a(《)2+2b(5)=0

t\—}-y33

Lo

化简得a+2b=0.

故选D

点评；可导函数在其极值点处的导数为零，旦左右两侧的导数值异号，有些学生会

忽视导数异号这一条件.在解答题中，在利用导数为零列方程求出待定字母的值后，一般会

对极值点异侧的导数异号这一条件进行验证.

二.填空题(共2小题)

23.(2015•广东模拟)函数f(x)=xlnx在点(e,f(e))处的切线方程为2x-y-e=O.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.

专题：导数的综合应用.

分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=e时的导数值，然后由直线方程的点斜

式得答案.

解答：解：由f(x)=xlnx,得？(x)=Inx+l,

贝ijf(e)=lne+l=2,

又f(e)=e»

，函数f(x)=xlnx在点(e,f(e))处的切线方程为y-e=2(x-e),

即2x-y-e=0.

故答案为：2x-y-e=0.

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点的切线的

斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题.

24.(2015•赤峰模拟)已知f(x)=x3-3x2+2x+a,若f(x)在R上的极值点分别为m,n,

则m+n=2.

考点：利用导数研究函数的极值.

专题：计算题；导数的综合应用.

分析：求出函数的导数，由极值的定义，结合韦达定理，即可得到m+n.

解答：解：f(x)=x3-3x2+2x+a的导数为

f(x)=3x2-6x+2,

由f(x)在R上的极值点分别为m,n,

则有m,n是方程3x2-6x+2=0的两个根，

由韦达定理，可得，m+n=-—5=2.

3

故答案为：2.

点评：本题考查导数的运用：求极值，考查韦达定理的运用，考查运算能力，属于

基础题.

三.解答题(共6小题)

25.(2015•路南区二模)已知函数f(x)=ax2-ex(aeR)

(I)当a=l时，判断函数f(x)的单调区间并给予证明；

(II)若f(X)有两个极值点X],X2(X1<X2)，证明：--<f(Xj)<-1.

2

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极，直.

专题：导数的综合应用.

分析：(I)a=l时，f(x)=x2-cx,f(x)=2x-cx»f(x)=2-cx»利用导数

研究其单调性可得当x=ln2时，函数F(x)取得最大值，f(ln2)=21n2-2<0,即可得出.

(H)f(x)有两个极值点xi，X2(xi<X2),可得F(x)=2ax-e'：。有两个实根xi，X2(xi

<X2)»由f(x)=2a-ex=0,得x=ln2a.f(ln2a)=2aln2a-2a>0,得In2a>1,解得2a

>e.又r(0)=-l<0,r(1)=2a-e>0,可得0<xi<l<ln2a,进而得出.

解答：(I)解：a=l时，f(x)=x2-ex»

f(x)=2x-ex,f(x)=2-ex»

令f”(x)>0,解得xVln2,此时函数F(x)单调递增；令f"(x)<0,解得x>ln2,此

时函数「(x)单调递减.

・••当x=ln2时，函数F(x)取得最大值，f(ln2)=21n2-2<0,

・・・函数f(x)在R上单调递减.

(II)证明：f(x)有两个极值点xi，x2(xi〈X2),・•・「(x)=2ax-e'=0有两个实根X”

X2(X)<X2)»

由f(x)=2a-ex=0>得x=l112a.

f(ln2a)=2aln2a-2a>0,得1112a>1,解得2a>e.

又F(0)=・IVO,f(1)=2a-e>0,

.*.0<xi<l<ln2a»

由F(xi)=2axi-可得ax1二今-，

X1X1

e=e(-J--1)(0<xi<l).

J

・•・可知：XI是f(x)的极小值点，

/.-E=f(1)<f(xi)Vf(0)=-1.

2

点评：本题考查了利用导数(两次求导)研究函数的单调性极值与最值，考查了推

理能力与计算能力，属于难题.

26.(2015•汕尾模拟)已知函数f(x)=x?+bx2+cx的极值点为x=-2和x=l

3

(1)求b,C的值与f(X)的单调区间

(2)当xW［-l,2］时，不等式f(x)Vm恒成立，求实数m的取值范围.

考点：利用导数研究函数的单调性：利用导数研究函数的极宜.

专题：导数的综合应用.

分析：(1)对函数进行求导，令F(1)=0,f(--?)=0可求出b,c的值，再利

3

用导数求出函数单调区间即可.

(2)根据函数的单调性求出f(x)在［-1,2］上的最大值，继而求出m的范围

解答：解：(1)Vf(x)=x3+bx2+cx,

/.f(x)=3x2+2bx+c,

Vf(x)的极值点为x=-"x=l

3

Af(1)=3+2b+c=0,f(-Z)=£■•殳+c=0,

333

解得，b=--,c=-3

2

Af(x)=(3x+2)(x-1),

当f(x)>0时，解得xV-2,或x>l,

3

当f(x)VO时，解得-NvxVl,

3

故函数f(X)的单调递增区间为(-8,-2)和(1,+8),单调减区间为(-2,1),

33

(2)有(1)知f(x)=x3-it2-2x,xG[-1,

2]，

2

故函数在Li,-2)和(1,2］单调递增增，在(-2,1)单调递减，

33

当x=-Z,函数有极大值，f(一Z)=&,f(2)=2,

3327

所以函数的最大值为2,

所以不等式f(x)Vm在xR-L2］时恒成立，

故m>2

故实数m的取值范围为(2,+8；

点评：本题主要考查函数的单调性、极值与导函数之间的关系.属中档题

27.(2015•南昌模拟)函数f(x)=x・alnx-2.

(I)求f(x)的单调区间；

(II)a=l时，不等式f(x)+(b+1)f(x)Vx-1对x>l恒成立，求正整数b的取值集

合.

考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题.

专题：函数的性质及应用.

分析：(I)求出「(x)=1-——_xG(0>+8),再讨论a的取值范围，从

XX

而求出其单调区间；

(II)a=l时，原不等式=(x・lnx-2)+(b+1)•三工Vx-lobV也打更，构造函数g

XX-1

(x)-1+xlnx(X>1),则g，(x)1四,一f(X)_

x-l