人教版高中数学必修4-3.2《简单的三角恒等变换(第1课时)》教学设计

3.2简单的三角恒等变换3.2.2简单的三角恒等变换（第1课时）（李蓉）一、教学目标（一）核心素养 这节课通过三角恒等变换在数学中应用的举例，进一步加深理解变换思想，提高学生的推理能力，通过数学实例的解决，促进学生对函数模型多样性的理解，提升学生数学建模的能力.（二）学习目标1．理解并掌握辅助角公式.2.会利用公式进行简单的恒等变形.3.体会三角恒等变形在数学中的应用.能通过数学建模解决实际问题.（三）学习重点 1通过三角恒等变换推导辅助角公式． 2．灵活利用公式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题.（四）学习难点 灵活运用三角公式解决一些实际问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）写一写：复习三角恒等变换的一系列公式及回忆相应公式的使用依据.；；；（降幂公式）（2）填一填：阅读教材140页例3.把下列式子化成一个角的三角函数2．预习自测（1）等于（）A．B．eq\r(2)sinC．eq\r(2)sinD．sin【知识点】辅助角公式【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】【思路点拨】一般地，先提公因式，再令，可得：最后利用两角和差的正余弦公式进行合角：．【答案】C．（2）函数的最小值等于________．【知识点】二倍角公式【解题过程】，故．【思路点拨】牢记二倍角公式的形式．【答案】（3）函数的最小正周期是________，最小值是________．【知识点】二倍角公式【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】，故最小正周期是，最小值是．【思路点拨】将函数化为的形式，牢记利用二倍角公式进行降次的三种形式：=1\*GB3①，=2\*GB3②,=3\*GB3③．【答案】最小正周期是，最小值是．（4）已知，则等于（）A．B．C． D．【知识点】二倍角公式【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由两边平方得，解得，所以．【思路点拨】由平方可得，牢记利用二倍角公式进行降次的三种形式：=1\*GB3①，=2\*GB3②,=3\*GB3③．【答案】B．(二)课堂设计1．知识回顾（1）两角和差的正余弦公式.（2）二倍角公式及变形.2．问题探究探究公式的变形过程.●活动1公式的理论基础.你能把函数化成的形式吗？引导学生操作如下三步：①②③若把看成一个角，你还能把函数化成别的一个角的三角函数形式吗？由，若令，那么此时表达式就变为：，使用两角差的余弦公式：在上述两种变换过程中使用了两角和差的正余弦公式【设计意图】连续两个问题的提出让学生动手进行简单的三角恒等变换，既让学生体会到变换结果的不唯一性，也让学生感受从特殊到一般的数学归纳推理方法．●活动2公式的推导满足“同角（均为），齐一次，正余全”这样三个特点，形如的式子，能否将其化为的形式?如果遇到了符合以上三个条件的式子，可以通过以下三步：①一提：提取系数：，表达式变为：②二找：由，故可看作同一个角的正余弦（称为辅助角），如，可得：③三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：常常称该公式为辅助角公式.【设计意图】通过公式的推导可以加深学生对公式的记忆与利用.在尝试之后对辅助角公式的特点有一个加深的认识.●活动3使用辅助角公式注意事项：①在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为辅助角公式理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角②此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如活动1中的那个例子：，可视为，那么此时表达式就变为：，使用两角差的余弦公式：所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式.当然，角寻找的不同，自然结果形式上也不一样，但与本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用）③通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的来代替，再在旁边标注的一个三角函数值.【设计意图】让学生掌握记忆公式的同时，归纳总结公式适用的条件，培养学生分析问题和解决问题的能力．活动4巩固基础，检查反馈例1：化简下列三角函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)+B的形式：(1)（2）【知识点】辅助角公式【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】（1）（2）其中【思路点拨】（1）将打开（2）用公式降幂【答案】（1）（2）同类训练把函数化成y＝Asin(ωx＋φ)+B的形式.【知识点】三角恒等变换.【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】y＝cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos4x－sin4x)－2sinxcosx＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－2sinxcosx＝cos2x－sin2x＝eq\r(2)＝eq\r(2)＝eq\r(2)sin.【思路点拨】使用降幂公式及两角和差的正余弦公式化简三角函数式．【答案】eq\r(2)sin．●活动5强化提升、灵活应用例2已知函数f(x)＝sin2x＋asinxcosx－cos2x，且.(1)求常数a的值及f(x)的最小值；(2)当时，求f(x)的单调增区间．【知识点】三角恒等变换及三角函数的性质.【数学思想】转化化归的数学思想．【解题过程】(1)∵，∴sin2eq\f(π,4)＋asineq\f(π,4)coseq\f(π,4)－cos2eq\f(π,4)＝1，解得a＝2.∴f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝eq\r(2)sin.当2x－eq\f(π,4)＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，即x＝kπ－eq\f(π,8)(k∈Z)时，sin有最小值－1，则f(x)的最小值为－eq\r(2).(2)令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，整理得kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)(k∈Z)；又，则0≤x≤eq\f(3π,8).∴f(x)的单调增区间是【思路点拨】利用相应三角公式进行三角恒等变换，在对函数的性质进行研究【答案】(1)a＝2(2).同类训练已知函数求函数在区间的值域【知识点】三角恒等变换及三角函数的性质.【数学思想】转化化归的数学思想．【解题过程】【思路点拨】将视为一个整体，先根据的范围求出的范围，再判断其正弦值的范围【答案】例3如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，问当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.OOABPCDQ【知识点】三角恒等变换及三角函数性质.【数学思想】数学建模与转化化归的数学思想.【思路点拨】（1）找出S与之间的函数关系，（2）由得出的函数关系，求S的最大值【解题过程】【答案】同类训练如图所示，已知矩形中，，试求其外接矩形面积的最大值【知识点】三角恒等变换及三角函数最值.【数学思想】数学建模与转化化归的数学思想.【思路点拨】以角为变量建立矩形面积的的函数关系，从而求相应的最大值【解题过程】∴=由，知时，取得最大值为【答案】3.课堂总结知识梳理（1）通过三角恒等变换推导辅助角公式并应用到三角函数中，对函数的性质进一步研究.(2)通过用角为自变量建立函数模型，从而求解相应最值，既促进学生对函数模型多样性的理解，也使学生感受到以角为自变量的优点，体现了化归思想.重难点归纳（1）进一步学习三角变换的内容，思想和方法，体会三角变换的特点，提高推理，运算能力.（2）进一步认识三角变换的特点，并熟练运用数学思想方法指导变换过程的设计，提高从整体上把握变换过程的能力.（三）课后作业基础型自主突破1．3sinx－eq\r(3)cosx＝（）A．sinB．3sinC.eq\r(3)sin D．2eq\r(3)sin【知识点】辅助角公式．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】3sinx－eq\r(3)cosx＝2eq\r(3)＝2eq\r(3)＝2eq\r(3)sin.【思路点拨】直接使用公式【答案】D．2．函数f(x)＝sinx－cos(x＋eq\f(π,6))的值域为（）A．[－2,2] B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C．[－1,1] D．[－eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(3),2)]【知识点】三角恒等变换及三角函数值域．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由f(x)＝sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx)＝eq\r(3)cos(x－eq\f(π,6))【思路点拨】将打开，整理后再运用辅助角公式．【答案】B3．函数y＝2cos2(x－eq\f(π,4))－1是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为eq\f(π,2)的奇函数D．最小正周期为eq\f(π,2)的偶函数【知识点】三角恒等变换及三角函数性质．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由y＝2cos2(x－eq\f(π,4))－1＝cos2(x－eq\f(π,4))＝cos(2x－eq\f(π,2))＝cos(eq\f(π,2)－2x)＝sin2x，而y＝sin2x为奇函数，其最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π【思路点拨】使用公式及诱导公式变形．【答案】A.4．函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分别为（）A．－3,1B．－2,2C．－3，eq\f(3,2) D．－2，eq\f(3,2)【知识点】三角函数与二次函数有关的最值．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由f(x)＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1，令sinx＝t，t∈[－1,1]，则y＝－2t2＋2t＋1＝－2(t－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,2)，当t＝eq\f(1,2)时，ymax＝eq\f(3,2)，当t＝－1时，ymin＝－3．【思路点拨】统一函数解析式中的角及函数名，再通过换元法把函数转化为二次函数求解．【答案】C.5．设α、β都是锐角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，则cosβ等于（）A．eq\f(2\r(5),25)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),25)或eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)或eq\f(\r(5),25)【知识点】两角和与差的三角函数．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】依题意得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，cos(α＋β)＝±eq\r(1－sin2α＋β)＝±eq\f(4,5).又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)．因为eq\f(4,5)>eq\f(\r(5),5)>－eq\f(4,5)，所以cos(α＋β)＝－eq\f(4,5).于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2\r(5),25)．【思路点拨】角的范围一定要确定准确，以免导致开方时符号错误．【答案】A．6．已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋eq\f(π,6))－1.则f(x)在区间[－eq\f(π,6)，eq\f(π,4)]上的最大值和最小值为（）A．2，-2B．2，1C．1，-2 D．2，-1【知识点】三角恒等变换及三角函数的最值.【数学思想】转化化归的数学思想.【解题过程】f(x)＝4cosxsin(x＋eq\f(π,6))－1＝4cosx(eq\f(\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx)－1＝eq\r(3)sin2x＋2cos2x－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))，因为－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,4)，所以－eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(2π,3).于是，当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,6)时，f(x)取得最大值2；当2x＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝－eq\f(π,6)时，f(x)取得最小值－1.【思路点拨】打开sin(x＋eq\f(π,6))，降幂再利用辅助角公式变换成y＝Asin(ωx＋φ)+B的形式，再求该函数的区间最值．【答案】D．能力型师生共研7．已知0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜π，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)，则cos(α＋β)的值为________．【知识点】两角和与差的三角函数【数学思想】转化化归的数学思想.【解题过程】∵0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜π，∴－eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)－β＜eq\f(π,2)，eq\f(π,4)＜α－eq\f(β,2)＜π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\f(\r(5),3)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\f(4\r(5),9)，∴coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))×eq\f(\r(5),3)＋eq\f(4\r(5),9)×eq\f(2,3)＝eq\f(7\r(5),27)，∴cos(α＋β)＝2cos2eq\f(α＋β,2)－1＝2×eq\f(49×5,729)－1＝－eq\f(239,729)．【思路点拨】角eq\f(α,2)－β、α－eq\f(β,2)的范围一定要确定准确，以免导致开方时符号错误．【答案】－eq\f(239,729)．8．已知向量m＝(cosθ，sinθ)，n＝(eq\r(2)－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝eq\f(8\r(2),5)，求cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))的值．【知识点】三角恒等变换及三角函数与向量.【数学思想】转化化归的数学思想.【解题过程】m＋n＝(cosθ－sinθ＋eq\r(2)，cosθ＋sinθ)，|m＋n|＝eq\r((cosθ－sinθ＋\r(2))2＋(cosθ＋sinθ)2)＝eq\r(4＋2\r(2)(cosθ－sinθ))＝eq\r(4＋4cos(θ＋\f(π,4)))＝2eq\r(1＋cos(θ＋\f(π,4)))，由已知|m＋n|＝eq\f(8\r(2),5)，得cos(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(7,25).又cos(θ＋eq\f(π,4))＝2cos2(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))－1，∴cos2(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))＝eq\f(16,25).∵π<θ<2π，∴eq\f(5π,8)<eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8)<eq\f(9π,8).∴cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))<0.∴cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))＝－eq\f(4,5).方法二：|m＋n|2＝(m＋n)2＝m2＋2m·n＋n2＝|m|2＋|n|2＋2m·n＝(eq\r(cos2θ＋sin2θ))2＋[eq\r((\r(2)－sinθ)2＋cos2θ)]2＋2[cosθ(eq\r(2)－sinθ)＋sinθcosθ]＝4＋2eq\r(2)(cosθ－sinθ)＝4[1＋cos(θ＋eq\f(π,4))]＝8cos2(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))．由已知|m＋n|＝eq\f(8\r(2),5)，得|cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))|＝eq\f(4,5).又π<θ<2π，∴eq\f(5π,8)<eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8)<eq\f(9π,8)∴cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))<0.∴cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))＝－eq\f(4,5).【思路点拨】思路一：先进行向量坐标运算再三角恒等变换.思路二：先应用向量的模长运算在利用模长公式结合三角恒等变换.【答案】cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,8))＝－eq\f(4,5).探究型多维突破9.如图，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使长方形截面面积最大？最大面积为（）A．B．C． D．【知识点】三角恒等变换及三角函数性质.【数学思想】数学建模与转化化归的数学思想.【解题过程】设圆心为O，长方形截面面积为S，∠AOB＝α，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，S＝(Rsinα)·2(Rcosα)＝2R2sinαcosα＝R2sin2α.当sin2α＝1时，即α＝eq\f(π,4)时，长方形截面面积最大，最大截面面积等于R2.【思路点拨】（1）设长方形截面面积为S，∠AOB＝α找出与之间的函数关系，（2）由得出的函数关系，求的最大值【答案】B．10.已知函数f(x)＝sinx，x∈R.(1)函数g(x)＝2sinx·(sinx＋cosx)－1的图像可由f(x)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到；(2)设h(x)＝f＋4λf(x－eq\f(π,2))，是否存在实数λ，使得函数h(x)在R上的最小值是－eq\f(3,2)？若存在，求出对应的λ值；若不存在，说明理由．【知识点】三角恒等变换及三角函数的最值的逆向问题.【数学思想】转化化归与分类讨论的数学思想.【解题过程】(1)g(x)＝2sin2x＋sin2x－1＝sin2x－cos2x＝eq\r(2)sin，先将f(x)的图像向右平移eq\f(π,4)个单位长度得到y＝sin的图像；再将y＝sin(x－eq\f(π,4))图像上各点的横坐标变为原来的eq\f(1,2)倍，得到函数y＝sin的图像；最后将曲线上各点的纵坐标变为原来的eq\r(2)倍得到函数g(x)的图像．(2)h(x)＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－4λcosx－1＝2(cosx－λ)2－2λ2－1，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ<－1，,1＋4λ＝－\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤λ≤1，,－2λ2－1＝－\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ>1，,1－4λ＝－\f(3,2).))∴λ＝±eq\f(1,2).【思路点拨】（1）降幂再利用辅助角公式变换成y＝Asin(ωx＋φ)+B的形式，（2）转化为二次函数的最值.【答案】(1)见解题过程.(2)λ＝±eq\f(1,2).自助餐1.下列各值中，函数不能取得的是（）A.3 B.3.5 C.4 D.4.5【知识点】三角恒等变换及三角函数的值域.【数学思想】转化化归数学思想.【解题过程】因为，所以函数不能取得的是4.5.【思路点拨】利用辅助角公式变换成y＝Asin(ωx＋φ)+B的形式再根据三角函数范围求解.【答案】D.2．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为eq\f(π,2)的奇函数D．最小正周期为eq\f(π,2)的偶函数【知识点】三角恒等变换及三角函数性质．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝(1＋cos2x)·eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(1,2)(1－cos22x)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1＋cos4x,2))，可知f(x)的最小正周期为eq\f(π,2)的偶函数．【思路点拨】使用公式与进行三角恒等变换【答案】D3．若0＜α＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)＜β＜0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))等于（）A．eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．eq\f(5\r(3),9) D．－eq\f(\r(6),9)【知识点】两角和与差的三角函数．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))，∵0＜α＜eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)＋α＜eq\f(3π,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2\r(2),3).又－eq\f(π,2)＜β＜0，则eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)－eq\f(β,2)＜eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(6),3).故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(5\r(3),9)．【思路点拨】角的范围一定要确定准确，以免导致开方时符号错误．【答案】C．4．已知cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，则sin(α＋eq\f(7π,6))的值是________．【知识点】两角和与差的三角函数．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】∵cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，∴eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(3,2)sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，eq\r(3)(eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα)＝eq\f(4,5)eq\r(3)，eq