版八年级上第12章《分式和分式方程》全章教学案（含答案）

本/章/整/体/说/课教学目标知识与技能知识与技能过程与方法过程与方法方程并进行检验教材分析本章主要内容是通过现实情境建立分式的概念，探索分式的基本性质，进行分式的加、减、乘、除运算，建立分式方程并解分式方程.分式的运算实质是转化为整式的运算来进行的，分式的通分与约分一般需要分解因式，因此，分式的运算是整式的运算及多项式因式分解的综合运用和进一步发展，也是学习分式方程、函数等内容的重要基础本章内容呈现方式及特点：(1)突出了模型的建立过程.教材通过用代数式表示现实问题中的数量关系，并对代数式进行分类、比较，建立起分式的概念；在与已学过的方程进行比较的过程中，抓住了知识的“生长点”,建立了分式方程的概念.本章突出了模型思想和建立模型的过程，降低了概念过分形式化的要求.用方法.本章让学生充分经历了与分数类比、提出猜想、获得分式的基本性质和运算法则的过程.(3)突出了“转化”过程，转化是解决问题常用的思想方法，教材在异分母分式的加减运算和解分式方程中都突出了转化的过程，进一步使学生感悟数学思想，积累解决问题的经验.教学重难点【重点】1.能用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的混合运算2.能解可化为一元一次方程的分式方程，3.能用分式方程解决一般的实际问题.【难点】1.对分式概念及其基本性质的理解.2.能进行分式的约分、通分，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.教学建议一些更具有现实性和挑战性的问题加繁难的计算题12.1分式课/时/教/学/详/案知职与技能知职与技能过程与方法过程与方法教学重难点整体设计2.明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.位程与方法位程与方法 教学过程买多少盒?怎样用代数式表示现在比原来可多买多少盒?盒.准确性.用了个月. 活动一：做一做——感知分式;[过渡语[过渡语]大家按照分母是否含有字母把这些式子分成两类，我们给这些分母中含有字母的式子下个定义吧!1.以上代数式中哪些是整式?哪些不是整式?思路二叫做分式的分母.活动三：例题讲解深化对分式的认识x2,,5x²,...[处理方式]学生交流、老师总结强调.(2)分式的值为0,既要分子等于0,也要分母分式分数整式区别分母中含有字母分子、分母中都不含有字母分母中不含有字母活动五：分式的基本性质【注意】因为0不能作除数，所以分式的分子、分母同乘(或除以)的这个整式不能等于0.学生举出具有同样特点的两个分式.知识总结知识方法要点关键总结注意事项分式的一般地，把形如的代数式叫做分式，其中分母含π的代数式容易判断错误有字母，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.分式有意义或无意义或分式值为0的条件(1)分式有意义：分母不为0;(2)分式无意义：分母为0;(3)分式值为0:分子为0且分母不为0.判断分式的值为0时，容易忽略分母不为0的条件分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.规律方法总结1.判断分式的依据是看分母中是否含有字母，分母中含有字母的代数式是分式.2.(1)分式的基本性质的作用：分式进行变形的依据.(2)在运用分式基本性质时，必须注意乘或除以的是同一个整式，且不为0.(3)分式基本性质的研究方法：从分数→分式；从特殊→一般2.若将分式(a,b均为正数)中的字母a,b的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值()A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的D.缩小为原来的②③④⑤.5.判断下列从左到右的变形是否正确. 第1课时分式定义例2,(M是不等于0的整式)布置作业1.教材第3页练习第1题.2.教材第4页习题第1,2题教材第4页习题第3题.7.某工厂计划a天生产60件产品，则平均每天生产该产品件.a,2x+y..,3a,5.请你发表一下自己的意见.【答案与解析】或2或8或2,所以x的最大整数值是8.)教学反思解答过程示范不够到位.2.让部分因式分解不熟练的学生没有积极投入到分式基本性质的学习中来.的变形是否正确这一类例题. 口教材习题解答练习(教材第3页)习题(教材第4页)得到的.(4)是分子、分母同时除以x2得到的备课资源教学建议经典例题例1程.故填<2.使每个学生在探究中有所收获.例2下列各式中，哪些是整式?哪些是分式?[方法提示]只要分式中的分母不等于0,分式就有意义，整体设计情感态度与情感态度与值观【教师准备】课件1~11. 教学过程 导入二：课题)活动一：分式的约分和最简分式bd+cd=教师根据学生化简的过程进行讲解.(1)分式约分的依据是根据分式的基本性质生讨论回答后总结：约分的步骤：①先找分子与分母中的公因式.②分子与分母同时除以公因式.公因式的确定方法：①当分子与分母都是单项式时，所分离出的公因式的系数应是分子系数与分母系数的最大公约数，字母因式是分子、分母相同字母的最低次幂的乘积.②当分子与分母都是多项式时，应先分别进行因式分解，再找出它们的公因式.进一步理解以上几句话【课件6】找出下列分式中分子与分母的公因式(口答):2.最简分式生交流讨论后回答：不能再约分了.即分子和分母(除1以外)没有公因式的分式叫做最简分式.【课件7】在化简分式时，小颖和小明的做法出现了分歧：思路二【课件8】我们观察：因式.【课件9】是最简分式.这种说法对吗?为什么?活动二：例题讲解[过渡语[过渡语]掌握了分式约分和最简分式的概念，明确了分式约分的目的就是把分式化成最简分式或整式.下面我们来做几道例题，共同来巩固一下约分的方法.【课件10】教师引导学生发现：①确定分子与分母的最大公因式：各项系数的最大公约数和相同因式的最低次幂的积；②分式约分的最后结果应为最简分式或整式，即分子、分母(除1以外)没有公因式[方法归纳](1)如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子与分母的公因式；(2)如果分式的分外)不能再有公因式【课件11】教材第6页“做一做”指导学生分别用直接代入求值和化简后代入求值这两种方法解答，并比较哪种方法简单分母的公因式是什么?师：因为分式的分子与分母都是单项式，所以取分子、分母中相同因式的最低次幕和分子、分母的系数的最大公约数，把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式.母的公因式.子、分母中的某些项单独约分.3.分式进行约分的目的是要把这个分式化为1.化简的结果是()解析：.故选A.2.下列约分正确的是()3.下列分式是最简分式的是()进行化简运算第2课时布置作业一、教材作业2.教材第6页习题第1题.二、课后作业教学反思再教设计 口教材习题解答练习(教材第6页)习题(教材第6页) 备课资源解：(1)原式=.(2)原式=.[解题策略]本题考查了分式的约分的应用，解此题的关键是找出分式中分子和分母的公因式.解法1:=xy解法2:=你认为这两种解法都正确吗?谈谈你的想法.〔解析〕解法1正确，解法2不正确，当xy=0时，使分式没有意义.过程与方法过程与方法在分式乘除法中的作用.情芯态度与价值观情芯态度与价值观整体设计知识与技能知识与技能情感态度与价值观【教师准备】课件1-8,教学过程 导入二：于多少呢?师：同学们还有没有不同的答案?(让学生讨论)[设计意图]导入一和导入二运用类比的方法，让学生发现分式的乘法法则，体现知识迁移的过程.【课件2】受节约能源宣传的影响，一向满不在乎的小刚也开始节约用水了，他想知道自己过去到底用半天也没有弄明白每天实际有效利用多少水.你能告诉他吗?(1)这个式子是分式的哪种运算?(2)又应该怎样计算呢?[设计意图]通过情境引入，使学生会列分式的乘法算式，从而引出本节课的课题，为下面的学习设下悬 [过渡语][过渡语]根据刚才导入的问题，我们不难得出：你能根据分数与分数相乘的法则，总结出分式与分式相乘的法则吗?活动二：例题讲解思路一【课件3】【课件4】3.教材第8页做一做【课件5】计算下列各式：思路二【课件6】方法.【课件7】例4例4计算：:(分子、分母都是多项式).或整式. 字母表述： 第1课时9.计算.A.3xx布置作业1.教材第8页练习第1,2题2.教材第8~9页习题A组第1,2题教材第9页习题B组第1,2题.1.化简(a2)的结果是()10.计算1.B(解析：原式==a+2.)3.B(解析：原式===6xy.)4.B(解析：)5.C(解析：原式==12x.)教学反思 口教材习题解答练习(教材第8页)习题(教材第8页)A组B组 备课资源(2)若正方形的面积为1,每次剪去它的(a>b),则第1次余下的面积为；第2次余下的面积为；第3次余下例题计算.解：(1).整体设计知识与知识与【教师准备】课件1-5.教学过程 导入一： 活动一：观察与思考——探究分式的除法法则【课件3】思路二你能用语言来叙述分式的除法运算法则吗?活动二：例题讲解——应用新知即可.[过渡语][过渡语]下面来看一个分式的除法应用问题.【课件4】【课件5】(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?因为a>1,所以(a1)²>0,a1>0.结、归纳出进行分式除法计算的具体步骤. 字母表示：形式. 1.化简的结果是()3.计算的结果为()4.化简的结果是()6.计算的结果是()7.a÷bcd等于()9.由甲地到乙地的一条铁路全程为vkm,火车全程运行时间为ah;由甲地到乙地的公路全程为这条铁路第2课时例2例3布置作业2.教材第11页习题A组第1,2题教材第11页习题B组第1,2题1.化简结果为()A.5.下列运算正确的是()不同的结果.9.化简.10.计算.【拓展探究】【答案与解析】=15a2=5ab,故D选项错误.) 口教学反思得较为轻松.再教设计教材习题解答练习(教材第10页)习题(教材第11页)A组的高是原来的.B组 备课资源例1计算.(3)(9x²).(2)原式=.=.所以小明的说法是正确的.使用的天数是原来的几倍?过程与方法【重点】同分母的分式加减法及异分母的分式的加减法【难点】分式的分母是多项式的分式的加减法，整体设计知识与技能知识与技能过程与方法过程与方法情感态度与价值观情感态度与价值观【教师准备】课件1~8. 教学过程作一天完成这项工程的几分之几?并提问个别学生.(1)什么叫通分?通分的作用是什么? 活动一：一起探究——同分母分式加减法答案：(1)(2)(3)(4)思路二【课件5】=.教师在解题时强调分式计算的结果必须化为最简分式或整式.可以向学生简单介绍最简分式的有关知果应化成最简分式或整式.[设计意图]通过例题，进一步提高学生对同分母分式加减法的认识，为熟练进行异分母分式加减打下基活动三：异分母分式相加减[过渡语[过渡语]刚才我们研究了同分母分式的加减法，现在来看一下异分母分式的加减法.【课件6】观察与思考：(1)异分母两个分数相加减，是将其化为同分母分数的加减(3)试计算：【课件7】4几个分式的公分母.字母表示为：活动四：例题讲解【课件8】引导学生独立完成.学的快乐.B.ab2·3ab³=3ab⁵6.分式的计算结果是()7.计算=8.按要求化简.解答过程解答步骤说明解题依据(用文字或字母填写知识的名称和具体内容，每空一个)示例：通分值不变(或异分母分式加(减)法法则：)去括号合并同类项此处不填号都要改变③约分④分式的基本性质：分式分子、分母同时除以公因式，分式的值不变9.计算.(3)x1.法，然后根据同分母分式减法法则进行计算即可因为A×B=≠1, 第1课时布置作业1.教材第14页练习第1,2,3题2.教材第14页习题第1,2题.教材第15页习题第3,4题.【能力提升】8.计算.10.计算+a+2.11.已知m>0,n>0,m≠n,试比较分式与分式的大小.【拓展探究】老师进行了深入浅出的讲解：观察算式中每个分母中减【答案与解析】.因为12<12,所以A的整数部分是24.教学反思 口教材习题解答练习(教材第14页)习题(教材第14页)2.解：(1).(2).(3).(4).(第课时整体设计情感态度与价值观情感态度与价值观【教师准备】课件1~7.教学过程 导入一：留给你们的全部宝物 活动一：复习异分母分式的加减法【课件1】二=二=..活动二：分式的混合运算思路一【课件2】教材第15页“试着做做”【课件3】二二二=能力.【课件5】例3计算：解：原式==.方法二：将除法变为乘法，运用乘法分配律计算.【课件6】教师引导学生用笔标出运算的先后顺序，再由学生完成练习，教师适机讲解，并板书解题过程.二二=.【课件7】例5计算=.…=2m6.学生先确定运算顺序，教师给予分析.对于分式中重点分析将(m+2)化成.引导学生及时纠正练习中的错(1)数的运算顺序及运算规律对分式运算同样适用(2)分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“”号提到分式本身的前边.(4)分式运算与数的运算一样，结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.[设计意图]通过由简到繁，循序渐进的练习，考查学生对基础知识的掌握程度，培养和提高学生的运算能力.课堂小结本节课通过大量例题的练习，弄清了分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先成最简分式或整式，恰当地使用运算律会使运算简便.[设计意图]学习结果让学生自我反馈，让他们体验到学习数学的快乐.检测反馈C.D.=3.化简的结果为()4.下列各式的运算结果中，正确的是()A.5.计算的结果为()6.计算1-(m1)的结果是()C.m²2mD.m²+2m+2C.xD.以上答案都不是8.化简的结果为解析：先确定运算顺序：先算小括号内的，再将除法运算转化为乘法运算，在计算时要把分子或分母中的多项式进行因式分解，最后约分化简即可.原式=··=x1.故填x1.解析：对括号里面的式子进行通分的同时，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再根据运算顺序进行化简，最后代入求值.解：原式=,由a2=0,得a=2,所以原式=3.第2课时1.教材第16页练习第1,2题.2.教材第17页习题A组第1,2题教材第17页习题B组第1,2题1.下列计算正确的是()所以x的值是0,1,3,4,共4个.)就可以得出结果.原9.解：因为a+1=3a,所以a+=3,所以两10.解析：(1)因为，,所以；因为，,所以；因为，,所以.解：(1)<<<(2)由(1)猜想(3)因为，np1且n为整数，所以>0,所以.教学反思新课程教学中经常会出现的问题. 口教材习题解答练习(教材第16页)1.解：(1)原式=.(2)原式==.(3)原式=.(4)原式==x1.习题(教材第17页)1.解：(1)原式=(2)原式=.(3)原式=.(4)原式=.(5)原式=·=B组1.解：(1)原式==0.(2)原式==0.生进入分式混合运算的探讨和学习.在课内探讨过程中，以自学和小组合作的形式呈现给学生例题，让学生去习完成之后让学生去总结一下在解题过程中的收获，在此基础上引导学生发现解题技巧，把学生的认知提升例题先化简：再任选一个你喜欢的数x代入求值.整体设计过程与方法过程与方法【难点】理解解分式方程时可能无解的原因【教师准备】课件1~9.教学过程 导入二：准备. 探究一：分式方程及其解法【课件3】一艘轮船在静水中的最大航速为30千米时，它【课件4】例1如何解分式方程=9和=1呢?程的解.=9,=1有什么特点?【课件5】判断下列各式哪个是分式方程.(1)x+y=5;(2);(3);(4);(5)+2x=5.【课件6】例2解方程.x=3.【课件7】如何解课件3中所列出的分式方程?特点说明举例整式方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是3x+=x是一元一次方程；方程常数而没有未知法2x+y=3是二元一次方程探究二：分式方程的增根【课件8】解分式方程+1.【课件9】 2.解这个整式方程. 2.分式方程1=的解是()3.方程=3的解是x=解.故填7即3m=14x7.板书设计例2例3一、教材作业1.教材第20页练习第1,2题.2.教材第20~21页习题A组第1,2题教材第21页习题B组.二、课后作业3.关于x的方程=1的解是()8.解方程.9.已知方程x+=2+的解是x₁=2,x2=;x+=3+的解是x₁=3,x2=;x+=4+的解是x₁=4,x2=;.去分母得2=x1,解得x=3,经检验x=3是原分式方程的解.)教学反思成功之处等都用多媒体形式给学生展示出来.在解分式方程的过程中容易出现的问题都给学生做出强调不足之处教材习题解答练习(教材第20页)习题(教材第20页)x=0是原方程的根.原方程的根且符合题意，所以550x=250.答：一车间和二车间平均每天分别生产300件和250件B组以x=是原方程的根.(2)方程两边同乘x(x1)(x+1)得5(x1)(x+1)=0,解这个整式方程得x=.检验：当x=备课资源本节的教学重点是探索分式方程概念、会解可化为一元一次方程的分式方程、明确分式方程与整式方例1关于x的分式方程+3=有增根，则增根为()[解题策略]本题考查了分式方程的增根，关于增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增例2讨论.下面是甲、乙两位学生的对话.(2)乙的说法正确吗?12.5分式方程的应用教学目标知识与技能知识与技能整体设计情感态度与价值观情感态度与价值观教学重难点【难点】题目中等量关系的确定.教学准备【教师准备】课件1-8.【学生准备】复习列方程解应用题的相关知识. 教学过程 导入二： 活动一：一起探究【课件3】小红和小丽分别将9000【课件5】活动二：例题讲解【课件4】解得x=6.【课件6】速前列车的平均速度为多少?〔解析〕这里的字母v,s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为xkm/h,那么提速前列车行驶skmh.根据行驶时间的等量关系可以列出方程.解：设提速前该列车的平均速度为xkm/h,则提速方程两边乘x(x+v),得s(x+v=x(s+50).解得x=方程进行求解决实际问题的一般步骤有哪些异同?课堂小结【课件8】列分式方程解应用题按下列步骤进行：(2)设未知数(6)写出答案 方程正确的是()泉水多20瓶，列分式方程=20.故选B.5.轮船在顺水中航行30km所用时间与在逆水中航行20km所用时间相等.已知水流速度为2km/h,设轮船在静水中的速度为xkm/h,则下列方程不正确的是()电费为27元.已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.电动车耗费27元的电费能够行驶的路程.根据等量关系，设未知数、列方程解答即可解得x=0.18,由题意得=2,解得x=100,板书设计第1课时1.教材第23页练习.2.教材第23页习题A组第1,2题教材第23页习题B组第1,2题.二、课后作业A.1=B.+1=A.B.+2=x+x=500=m电线解且符合题意，所以原计划完成这项工程需28个月. 教学反思用分式方程解决实际问题是培养学生应用意识的重要内容.教师在教学中让学生亲身经历从实际问题借助表格法寻找相等的数量关系来降低解题难度.练习(教材第23页)习题(教材第23页)时修整20盆花.方程的根且符合题意.答：采用新技术完成这项工程用了39天. 备课资源〔解析〕根据实际每天加工的件数是原计划的1.5倍，设该服装厂原计划每答：该服装厂原计划每天加工100件服装. 教学目标知职与知职与1.进一步掌握分式方程在实际生活中的应用.过程与方法2.进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.【教师准备】课件1-8.教学过程 导入一：【课件2】(1)这个问题涉及哪个公式?(s=vt)新知构建活动一：一起探究【课件3】今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年后父亲的年龄与儿子的年龄的比是22:9.求父亲和儿子今年的年龄各是多少.如果设今年儿子的年龄是x岁那么今年父亲的年龄是解得x=13,3x=39.活动二：例题讲解【课件4】例1(八五折指的就是原价的85%)得=20,【课件5】各是多少.路程(千米)速度(千米时)时间(时)自行车公交车4.怎样列方程?根据哪个关系?【课件6】种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元，该种纪念品4月份的销售价格为多少元?〔解析〕设该种纪念品4月份的销售价为x元件，则4月份的销售量为件，5月份的售价为0.9x元/分式方程.20,解得x=50.答：该种纪念品4月份的销售价格是50元/件.【课件7】张师傅卖月饼，现在每天卖的斤数是原来的2倍，1000斤月饼比原来少卖5天.原来、现在每天各卖多少斤?日销售量(斤)天数(天)【课件8】张师傅用5000元购进若干斤月饼，以每斤7元的价格出售，很快售完，又用9000元购傅这笔生意盈利多少元?(4)根据哪个相等关系列方程? 2.列方程解应用题的关键是分析题意找出相等关系. 良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为()设骑车学生的速度为xkm/h,则所列方程正确的是()需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半.如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为x=35.故选D.4.某商店销售一种玩具，每件售价90元，依题意列方程正确的是()A.乙校教师比甲校教师人均多捐20元，且甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%B.甲校教师比乙校教师人均多捐20元，且乙校教师的人数比甲校教师的人数多20%C.甲校教师比乙校教师人均多捐20元，且甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%D.乙校教师比甲校教师人均多捐20元，且乙校教师的人数比甲校教师的人数多20%出方程求解即可解得x=150,故第二批鲜花每盒的进价是150元.第2课时例2例31.教材第24页练习第1,2题，2.教材第24页习题A组第1,2题.教材第25页习题B组第1,2题【拓展探究】快平均时速的2.5倍.(2)某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14:00召开的会议，如果他买到当日8:40从烟台至该之前到达吗?所用的时间乙走30千米所用的时间=40分钟，由等量关系列出方程.)=26.)格为3元/个.教学反思再教设计1.在教学过程中要强调用分式方程解应用 教材习题解答练习(教材第24页)习题(教材第24页)A组所希望学校有17个教学班，B组16元.2.解：(1)原式=.(2)原式=.(3)原式=.(4)原式=.(5)原式=.(6)原式=3.解：(1)原式=.(2)原式=xy.(3)原式=.(4)原式=0.(5)原式=.(6)原式=.是原方程的根.个零件.B组卡共有11名战士.共盈利90260元.C组样做能达到目的.备课资源筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元.已知桂花树比樱花树的单价高50%,求樱花树的单价及棵树.棵列方程解答即可解得x=200,则(1+50%)x=300,价少30元.解得x=40所以1.5x=60.16030=130(元件),答：售完这批T恤衫商店共获利5960元.用品共1000件.已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同.(2)若购买这批学习用品的费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件?〔解析〕(1)设A型学习用品的单价为x元，利用“用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买件，根据这批学习用品的钱数不超过28000元建立不等式求出其解即可.解得x=20所以x+10=20+10=30.10元.式解答.解得x=120,解得y≥150.和不等式是解题的关键.解决实际问题.能力.【重点】分式乘除法、加减法的混合运算、解分式方程和列分式方程解决简单的实际问题2.解分式方程和列分式方程解决简单的实际问题式方程专题一分式有无意义及分式的值为0的条件【专题分析】分式有无意义及分式的值为0取决于它的分子与分母.根据分式的分母是否为0,可以确定分式有无意义.因为分式可以看成是两个整式相除，所以当分式的值为0时，分子为0,而分母不为0.B.3C.±3D.任意实数【针对训练1】当x取何值时，分式的值为0?分式有意义?〔解析〕若使分式的值为0,则分子为0,分母不为0;若使分式有意义，则分母不为0.所以当x=2时，分式的值为0.[方法归纳]对于分式，由于除式B不能为零，所以B中的字母取值若使B=0,则分式无意义；若使B≠0,【专题分析】分式的混合运算包括加、减、乘、除四种运算，其运算顺序与数的运算顺序相同，先乘除，后加减，有括号的先算括号内的，同一级运算按从左到右的顺序进行，〔解析〕本题可将分式的除法转化为乘法，再利用乘法分配律，约分可避免复杂的通分.二解法2:二=【