第05讲 绝对值（4个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第第页第05讲有理数的乘方课程标准学习目标①有理数乘方的意义②有理数的乘方运算③有理数的混合运算掌握有理数的乘方的意义，理解幂，底数，指数的相关概念并能够熟练的指数幂中的底数和指数。掌握有理数的乘方的运算法则，能够熟练的进行乘方运算。掌握有理数的混合运算法则，能够熟练的对有理数进行混合运算。知识点01有理数的乘方的意义有理数的乘方的意义：求几个相同因数的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作：，读作：的次方。当把看做的次方的结果时，也可读作：的次幂，所以乘方的结果叫做幂，其中是底数，是指数。特别提示：当指数是1时，指数省略不写。即直接写成。当底数是负数或分数时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成；的四次方写成。（3）任何数都可以看做是它本身的1次方，一个数的2次方可以读作：平方，一个数3次方可以读作：立方。【即学即练1】1．（﹣3）4表示（）A．﹣3个4相乘 B．4个﹣3相乘 C．3个4相乘 D．4个3相乘【分析】根据乘方的定义得出正确选项．【解答】解：（﹣3）4表示4个﹣3相乘．故选：B．【即学即练2】2．下列对于式子（﹣3）2的说法，错误的是（）A．指数是2 B．底数是﹣3 C．幂为﹣9 D．表示2个﹣3相乘【分析】根据有理数乘方的定义判断．【解答】解：（﹣3）2，指数为2，底数为﹣3，表示2个﹣3相乘，幂为9，∴C选项错误．故选：C．知识点02有理数的乘方的计算有理数的乘方的计算：（个）。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为乘法运算，计算时先确定幂的符号，在计算幂的绝对值。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。特别提示：正数的任何次方都是正数。负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数。0的任何正整数次方（除0外）都得0。1的任何次方都得1，﹣1的奇次方得﹣1，﹣1的偶次方得1。【即学即练1】3．计算：（1）（﹣1）3；（2）（﹣1）2012；（3）（﹣0.1）3；（4）（）4；（5）（﹣2）3×（﹣2）2；（6）（﹣）3×（﹣）5；（7）103；（8）02012．【分析】分别根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．【解答】解：（1）（﹣1）3＝﹣1；（2）（﹣1）2012＝1；（3）（﹣0.1）3＝﹣0.001；（4）（）4＝；（5）（﹣2）3×（﹣2）2，＝﹣8×4，＝﹣32；（6）（﹣）3×（﹣）5，＝（﹣）×（﹣），＝；（7）103＝1000；（8）02012＝0．知识点03有理数的偶次方有理数的偶次方：由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都大于等于0，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是非负数，非负数具有非负性。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0。即，则0。【即学即练1】4．若|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，则ab的值为8．【分析】直接利用偶次方的性质以及结合绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：∵|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得：a＝2，b＝3，则ab的值为：23＝8．故答案为：8．【即学即练2】5．当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝2．【分析】根据非负数的性质可得a＝2时，式子7+（a﹣2）2有最小值．【解答】解：∵（a﹣2）2≥0，∴当a＝2时，（a﹣2）2有最小值，∴当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝2．故答案为：2．知识点04的区别与联系三者的意义（区别）：表示的意义是个相乘的积，即（个），底数是。表示的意义是个相乘的积的相反数，即，底数是。表示的意义是相乘的积，即，底数是。三者的联系当为奇数时，和相等，他们与互为相反数。当为偶数时，和相等，他们与互为相反数。【即学即练1】6．下列各对数中，数值相等的是（）A．﹣27与（﹣2）7 B．﹣32与（﹣3）2 C．﹣3×23与﹣32×2 D．﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）3【分析】根据有理数乘方的法则对个选项的值进行逐一判断，找出数值相同的项．【解答】解：A、根据有理数乘方的法则可知，（﹣2）7＝﹣27，故A选项符合题意；B、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故B选项不符合题意；C、﹣3×23＝﹣24，﹣32×2＝﹣18，故C选项不符合题意；D、﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣（﹣2）3＝8，故D选项不符合题意．故选：A．【即学即练2】7．计算下列各题，并说说它们的区别．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据有理数的乘方运算法则进行计算；（2）根据有理数的乘方运算法则进行计算；（3）根据有理数的乘方运算法则进行计算．【解答】解：（1）；（2）；（3）．区别：有理数的乘方运算，底数不同，第（1）题进行有理数的乘方运算，其底数是，第（2）题分子部分进行有理数的乘方运算，其底数是3，第（3）题分母部分进行有理数的乘方运算，其底数是5．知识点05有理数的混合运算有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。【即学即练1】8．计算：（1）﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]；（2）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣2）2]；（3）（﹣2）2﹣22﹣|﹣|×（﹣1）2；（4）（﹣2）×（﹣0.5）3×（﹣2）2×（﹣8）．【分析】分别根据有理数的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的进行计算即可得解．【解答】解：（1）﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]，＝﹣1﹣×（2﹣9），＝﹣1+，＝；（2）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣2）2]，＝1﹣××（2﹣4），＝1+，＝；（3）（﹣2）2﹣22﹣|﹣|×（﹣1）2，＝4﹣4﹣×1，＝﹣；（4）（﹣2）×（﹣0.5）3×（﹣2）2×（﹣8），＝﹣×（﹣）×4×（﹣8），＝﹣××4×8，＝﹣10．题型01幂的概念的理解【典例1】118表示（）A．11个8连乘 B．11乘以8 C．8个11连乘 D．8个别1相加【分析】原式利用乘方的意义判断即可．【解答】解：118表示8个11连乘．故选：C．【变式1】计算＝（）A． B． C． D．【分析】根据幂的意义和乘法是相同加数的和的简便运算即可得出答案．【解答】解：原式＝，故选：B．【变式2】﹣25表示的意义是（）A．5个﹣2相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个﹣5相乘 D．2个5相乘的相反数【分析】原式利用乘方的意义判断即可．【解答】解：﹣25表示的意义是5个2相乘的相反数，故选：B．【变式3】下列对于﹣34，叙述正确的是（）A．读作﹣3的4次幂 B．底数是﹣3，指数是4 C．表示4个3相乘的积的相反数 D．表示4个﹣3相乘的积【分析】根据有理数的乘方的含义，以及各部分的名称，逐一判断即可．【解答】解：∵﹣34读作：负的3的4次幂，∴选项A不正确；∵﹣34的底数是3，指数是4，∴选项B不正确；∵﹣34表示4个3相乘的积的相反数，∴选项C正确；∵﹣34表示4个3相乘的积的相反数，∴选项D不正确．故选：C．【变式4】比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（）A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C．它们底数不同，运算结果也不同 D．它们所表示的意义不相同，但运算结果相同【分析】在an中，a叫做底数，n叫做指数．【解答】解：（﹣4）3表示3个﹣4相乘，底数为﹣4，指数为3；﹣43表示43的相反数，底数为4，指数为3．故选：D．题型02有理数的乘方的运算【典例1】计算：（1）（﹣）2；（2）（）4．【分析】根据乘方的意义，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．【解答】解：（1）（一）2＝＝．【变式1】计算：（1）23；（2）﹣54；（3）﹣；（4）﹣（）3．【分析】可根据乘方的意义，先把乘方装化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算，或者先用符号法则来确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值．【解答】解：（1）23＝8；（2）﹣54＝﹣625；（3）﹣＝﹣；（4）﹣（）3＝﹣．【变式2】计算：（1）（﹣）3（2）﹣32×23（3）（﹣3）2×（﹣2）3（4）﹣2×32（5）（﹣2×3）2（6）（﹣2）14×（﹣）15（7）﹣（﹣2）4（8）（﹣1）2001（9）﹣23+（﹣3）2【分析】根据有理数乘方的法则和积的乘方、幂的乘方及乘方的混合运算解答．【解答】解：（1）（﹣）3＝（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣；（2）﹣32×23＝﹣9×8＝﹣72；（3）（﹣3）2×（﹣2）3＝9×（﹣8）＝﹣72；（4）﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18；（5）（﹣2×3）2＝（﹣6）2＝36；（6）（﹣2）14×（﹣）15＝（﹣2）14×（﹣）14×（﹣）＝[（﹣2）×（﹣）]14×（﹣）＝﹣；（7）﹣（﹣2）4＝﹣（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝﹣16；（8）（﹣1）2001＝﹣1；（9）﹣23+（﹣3）2＝﹣8+9＝1；【典例1】下列各组数中，相等的一组是（）A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2【分析】根据有理数的乘方的定义，绝对值的性质对各选项分别计算，然后利用排除法求解．【解答】解：A、﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，﹣（﹣1）≠﹣|﹣1|，故本选项错误；B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误；C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣43，故本选项正确；D、＝，＝，≠，故本选项错误．故选：C．【变式1】下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（）A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣|﹣2|和|﹣2|【分析】根据有理数的乘方，绝对值的意义分别计算，然后作出判断．【解答】解：A．23＝8，32＝9，∴23≠32，故此选项不符合题意；B．﹣33＝﹣27，（﹣3）3＝﹣27，∴﹣33＝（﹣3）3，故此选项符合题意；C．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，∴﹣22≠（﹣2）2，故此选项不符合题意；D．﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣2|＝2，∴﹣|﹣2|≠|﹣2|，故此选项不符合题意；故选：B．【变式2】下列各组数中：①﹣52和（﹣5）2；②（﹣3）3和﹣33；③﹣（﹣0.3）5和0.35；④0100和0200；⑤（﹣1）3和﹣（﹣1）2．相等的共有（）A．2组 B．3组 C．4组 D．5组【分析】首先计算出各组数的值，然后作出判断．【解答】解：①﹣52＝﹣25，（﹣5）2＝25；②（﹣3）3＝﹣27和﹣33＝﹣27；③﹣（﹣0.3）5＝0.00729，0.35＝0.00729；④0100＝0200＝0；⑤（﹣1）3＝﹣1，﹣（﹣1）2＝﹣1．故②③④⑤组相等．故选：C．题型03偶次方与绝对值的非负性【典例1】若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝9．【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入yx中求解即可．【解答】解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；则yx＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．【变式1】若（m+3）2+|n﹣2|＝0，则﹣mn＝﹣9【分析】直接利用非负数的性质进而得出m，n的值，即可得出答案．【解答】解：∵（m+3）2+|n﹣2|＝0，∴m+3＝0，n﹣2＝0，解得：m＝﹣3，n＝2，则﹣mn＝﹣（﹣3）2＝﹣9．故答案为：﹣9．【变式2】已知|3m﹣12|+＝0，则2m﹣n＝10．【分析】根据非负数的性质，可求出m、n的值，然后将其代入代数式计算即可．【解答】解：∵|3m﹣12|+＝0，∴|3m﹣12|＝0，（+1）2＝0，∴m＝4，n＝﹣2，∴2m﹣n＝8﹣（﹣2）＝10，故答案为：10．【变式3】如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021【分析】首先根据非负数的性质求出a、b的值，然后再代值求解．【解答】解：由题意，得：a+2＝0，b﹣1＝0，即a＝﹣2，b＝1；所以（a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故选：B．题型04有理数的混合运算【典例1】计算：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据乘法分配律计算即可；（2）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可；（3）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可．【解答】解：（1）＝×（﹣78）﹣×（﹣78）﹣×（﹣78）＝﹣12+26+13＝27；（2）＝16÷8﹣＝2﹣＝；（3）＝﹣1﹣（﹣）×+（﹣8）÷|﹣9+1|＝﹣1+2+（﹣8）÷8＝﹣1+2+（﹣1）＝0．【变式1】计算：（1）；（2）．【分析】（1）根据有理数的四则混合运算法则进行计算即可；（2）根据有理数的四则混合运算法则进行计算即可．【解答】解：（1）＝＝＝5；（2）＝1+（﹣10）×2×2﹣（﹣27﹣2）＝1﹣40+29＝﹣10．【变式2】如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数x＝﹣1，则输出的结果为（）A．15 B．13 C．11 D．﹣5【分析】把x＝﹣1代入数值转换机中计算即可求出所求．【解答】解：当x＝﹣1时，（﹣1）×（﹣2）+1＝2+1＝3＜10，当x＝3时，3×（﹣2）+1＝﹣6+1＝﹣5＜10，当x＝﹣5时，（﹣5）×（﹣2）+1＝10+1＝11＞10，输出11．故选：C．【变式3】如图，按图中的程序进行计算，如果输入的数是﹣2，那么输出的数是（）A．﹣50 B．50 C．﹣250 D．250【分析】根据有理数的乘法，可得答案．【解答】解：﹣2×（﹣5）＝10，10×（﹣5）＝﹣50．故输出的数是﹣50．故选：A．【变式4】定义运算a★b＝|ab﹣2a﹣b|，如1★3＝|1×3﹣2×1﹣3|＝2．若a＝2，且a★b＝3，则b的值为（）A．7 B．1 C．1或7 D．3或﹣3【分析】根据新定义规定的运算法则可得|2b﹣4﹣b|＝3，再利用绝对值的性质求解可得．【解答】解：∵a★b＝3，且a＝2，∴|2b﹣4﹣b|＝3，∴2b﹣4﹣b＝3或2b﹣4﹣b＝﹣3，解得b＝7或b＝1，故选：C．【变式5】用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b＝ab和a★b＝ba，那么[（﹣3）☆2]★（﹣1）＝﹣1．【分析】本题考查的是有理数的乘方，根据题意把原式化为（﹣3☆2）★1＝[（﹣3）2]★（﹣1）＝9★（﹣1）＝（﹣1）9的形式是解答此题的关键．【解答】解：∵a☆b＝ab和a★b＝ba，∴（﹣3☆2）★（﹣1）＝[（﹣3）2]★（﹣1）＝9★（﹣1）＝（﹣1）9＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式6】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+a．如：1☆3＝1×32+1＝10．则（﹣2）☆3的值为（）A．10 B．﹣15 C．﹣16 D．﹣20【分析】利用题中的新定义计算即可求出值．【解答】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆3＝﹣2×32﹣2＝﹣18﹣2＝﹣20，故选：D．题型05乘方的实际应用【典例1】当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个．（1）一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个．（2）有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有32000个细菌．（3）求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？【分析】（1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得；（2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得；（3）两个小时后的数量是1小时后的，计算可得答案．【解答】解：（1）一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个，故答案为：2n；（2）1小时后，盘子里有1000×25＝32000个细菌，故答案为：32000；（3）两个小时后的数量是1小时后的＝25＝32倍．【变式1】一杯饮料，第一次倒去一半，第二次倒去剩下的一半，…如此倒下去，第五次后剩下饮料是原来的几分之几？第n次后呢？【分析】设这杯饮料为1，根据题意得第一次后剩下饮料是原来的：＝，第二次后剩下饮料是原来的：＝，第三次后剩下饮料是原来的：＝＝，由此发现规律，写出第五次和第n次的结果．【解答】解：设这杯饮料为1，根据题意得第一次后剩下饮料是原来的：＝，第二次后剩下饮料是原来的：＝，第三次后剩下饮料是原来的：＝＝，第五次后剩下饮料是原来的：＝＝，第n次后剩下饮料是原来的：＝＝．【变式2】有一块面积为64米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少平方米？【分析】根据有理数的乘方的意义，列式计算即可．【解答】解：由题意得，64×（）6＝64×＝1平方米，答：第六次后，还剩1平方米．1．﹣43的意义是（）A．3个﹣4相乘 B．3个﹣4相加 C．﹣4乘3 D．43的相反数【分析】根据有理数的乘方的意义解答即可．【解答】解：﹣43的意义是43的相反数，故选：D．2．代数式53×53×53×53×53×53可表示为（）A．6×53 B．53+6 C．（53）6 D．（5×6）3【分析】求n个相同因数的积的运算叫做有理数的乘方，由此解答即可．【解答】解：53×53×53×53×53×53＝（53）6，故选：C．3．﹣12024等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2024 D．2024【分析】根据乘方的意义进行计算即可．【解答】解：原式＝＝﹣1，故选：A．4．下列式子计算正确的是（）A．（﹣1）6×32＝6 B．8÷（﹣）×5＝8×（﹣）＝﹣4 C．﹣32×＝﹣1 D．4﹣（﹣8）÷2＝4﹣4＝0【分析】先算乘方，再算乘除，后算加减，逐一判断即可解答．【解答】解：A、（﹣1）6×32＝1×9＝9，故A不符合题意；B、8÷（﹣）×5＝8×（﹣10）×5＝﹣400，故B不符合题意；C、﹣32×＝﹣9×＝﹣1，故C符合题意；D、4﹣（﹣8）÷2＝4﹣（﹣4）＝4+4＝8，故D不符合题意；故选：C．5．在有理数﹣12，|﹣1|，，（﹣1）2021，﹣（﹣1）中，等于1的相反数的数有（）A．3个 B．2个 C．4个 D．5个【分析】根据有理数的乘方、绝对值化简解答即可．【解答】解：﹣12＝﹣1，|﹣1|＝1，＝﹣1，（﹣1）2021＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，故选：A．6．下列四个数（﹣4）3，﹣43，（﹣8）2，﹣82中，互为相反数的是（）A．﹣43和（﹣4）3 B．（﹣4）3和﹣82 C．﹣82和﹣43 D．（﹣8）2和﹣43【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．【解答】解：A、﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝（﹣4）3，故此选项错误；B、（﹣4）3＝﹣64，﹣82＝﹣64，（﹣4）3＝﹣82，故此选项错误；C、﹣82＝﹣64，﹣43＝﹣64，﹣82＝﹣43，故此选项错误；D、（﹣8）2＝64，﹣43＝﹣64，（﹣8）2与﹣43互为相反数，故此选项正确．故选：D．7．在正数范围内定义一种运算：M（a，b）＝a2﹣2ab+b2，如M（1，3）＝1﹣2×1×3+32＝4，若M（2，m）＝9，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．5或﹣1 D．5【分析】根据在正数范围内定义一种运算M（a，b）＝a2﹣2ab+b2，M（2，m）＝9，可以求得m的值，注意m为正数．【解答】解：∵在正数范围内定义一种运算M（a，b）＝a2﹣2ab+b2，M（2，m）＝9，∴22﹣2×2m+m2＝9，解得m＝5或m＝﹣1（不符合题意），故选：D．8．已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（）A．﹣2024 B．0 C．1 D．2024【分析】根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，再代入所求所占计算即可．【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣2，b＝2，所以（a+b）2024＝02024＝0．故选：B．9．若xm＝y，则记（x，y）＝m，例如32＝9，于是（3，9）＝2．若（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b，则c的值为（）A．16 B．﹣2 C．2或﹣2 D．16或﹣16【分析】根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，即可求出答案．【解答】解：∵（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b，∴（﹣2）2＝a，b3＝8，cb＝a，∴a＝4，b＝2，∴c2＝4，∴c＝±2．故选：C．10．对于任意正整数a，b定义一种新运算：F（a+b）＝F（a）•F（b）．比如F（2）＝5，则F（4）＝F（2+2）＝5×5＝52，F（6）＝F（2+4）＝5×52＝53，那么F（2024）的结果是（）A．2024 B．52024 C．51012 D．1012【分析】根据新定义运算法则和同底数幂运算法则进行计算即可【解答】解：∵F（a+b）＝F（a）•F（b），且F（2）＝5，F（4）＝F（2+2）＝5×5＝52，F（6）＝F（2+4）＝5×52＝53，⋯，F（2n）＝5n，∵2024÷2＝1012，∴F（2024）＝51012，故选：C．11．在﹣（﹣6），|﹣2|，（﹣2）4，（﹣1）5中，正数有3个．【分析】利用有理数的定义进行判断即可．【解答】解：﹣（﹣6）＝6；|﹣2|＝2；（﹣2）4＝16；（﹣1）5＝﹣1中正数有3个，故答案为：3．12．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且|m|＝3，则的值为10．【分析】由题意可得：a+b＝0，cd＝1，m＝±3，从而得到m2＝9，再把相应的值代入运算即可．【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，且|m|＝3，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±3，m2＝9，∴原式＝a+b＝0+1+9＝10．故答案为：10．13．若24×24＝2a，35+35+35＝3b，则a﹣b的值是2．【分析】根据乘方的定义（求几个相同因数或因式的积的一种运算）解决此题．【解答】解：∵24×24＝2a，35+35+35＝3b，∴2a＝28，3b＝3×35＝36．∴a＝8，b＝6．∴a﹣b＝8﹣6＝2．故答案为：2．14．利用如图所示的图形，可求的值是．【分析】根据图形，可以发现＝1﹣，然后计算即可．【解答】解：由图可得，＝1﹣＝1﹣＝，故答案为：．15．魔术爱好者小丽设计了一个数学魔术．小丽请观众在1～9之间任意选择两个数，按如下步骤进行运算：①第一个数乘以第二个数的10倍；②加上第二个数的平方；③除以第二个数；④再加上10，得到结果．小丽根据结果推测观众之前选择的数，如果结果是84，那么观众选择的第一个数是7．【分析】先设观众选择的第一个数是x，第二个数是y，然后根据已知条件所给的步骤，列出算式，进行化简，得到关于x，y的方程，求出其整数解即可．【解答】解：设观众选择的第一个数是x，第二个数是y，由题意得：，10x+y+10＝84，10x+y＝74，∵1≤x≤9，1≤y≤9，x，y均为整数，∴x＝7，y＝4，∴观众选择的第一个数是7，故答案为：716．计算：（1）﹣4.2+5.7﹣8.4+10；（2）；（3）﹣22×5﹣（﹣2）3÷4；（4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣3）2×2]．【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可；（2）根据有理数的混合运算法则求解即可；（3）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减；（4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减．【解答】解：（1）﹣4.2+5.7﹣8.4+10＝1.5+1.6＝3.1；（2）＝＝＝；（3）﹣22×5﹣（﹣2）3÷4＝﹣4×5﹣（﹣8）÷4＝﹣20﹣（﹣2）＝﹣18；（4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣3）2×2]＝﹣1000+（16﹣4×2）＝﹣1000+8＝﹣992．17．刘谦的魔术表演风靡全国，嘉琪也学刘谦发明了一个魔术盒，当数对（a，b）（a，b为有理数）进入其中时，会得到一个新的有理数：a2+2b+1，例如把（1，2）放入其中，就会得到12+2×2+1＝6．（1）把（﹣1，﹣2）放入其中，求得到的新有理数．（2）若把（﹣2，﹣n）放入其中，得到的新有理数为﹣1，则求n的值．【分析】（1）直接根据新定义代值计算即可；（2）根据新定义可得（﹣2）2+2×（﹣n）+1＝﹣1，解方程即可．【解答】解：（1）将（﹣1，﹣2）代入，得a2+2b+1＝（﹣1）2+2×（﹣2）+1＝1﹣4+1＝﹣2；（2）将（﹣2，﹣n）代入，得（﹣2）2+2×（﹣n）+1＝﹣1，∴n＝3．18．如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数．（1）若●表示2，输入数为﹣3，求计算结果；（2）若计算结果为8，且输入的数字是4，则●表示的数是几