2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质

第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质教学目标1.掌握直角三角形边、角的性质.2.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和“含30°的直角三角形”的性质.3.会运用直角三角形的性质解决有关问题.教学重难点重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用.难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明方法.教学过程复习巩固直角三角形两锐角、三边之间的关系：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.两锐角关系：A+∠B＝90°.三边关系：AC2+BC2＝AB2.导入新课活动1（小组讨论，教师点评)【探究】任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？我们来验证一下！教师引出课题：24.2直角三角形的性质探究新知探究点一直角三角形斜边上的中线的性质活动2（小组讨论，教师点评)画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系.小组讨论结果：发现CD恰好是AB的一半.师：下面让我们用推理证明这一猜想.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.求证：CD＝AB.【探索思路】中线辅助线作法：将中线延长一倍.延长CD到点E，使DE＝CD，连结AE、BE.∵CD是斜边AB的中线，∴AD＝BD.又∵DE＝CD，∴四边形ACBE是平行四边形.又∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBE是矩形，∴CE＝AB，∴.【总结】在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.数学语言表述为：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝BD＝AB.（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)合作探究，解决问题（小组讨论，教师点评）典例讲解（师生互动）例1如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，M，N分别是BC，ED的中点，试说明：MN⊥DE.得到EM＝DM，再根据等腰三角形的三线合一的性质使问题得证.【证明】连结EM、DM.∵BD、CE是高，M是BC的中点，∴在Rt△BCE和Rt△BCD中，EM＝DM.∴△DEM是等腰三角形.又∵N是ED的中点，∴MN⊥ED.【注意】推理过程中要有理有据.【即学即练】（小组讨论，教师点评）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点.求证：EF⊥BD.【证明】如图，连结BE、DE.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝AC＝DE.∵F是BD的中点，∴EF⊥BD.【题后总结】(学生总结，老师点评)由中点我们一般可以联想到中位线和直角三角形斜边上的中线.熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键.探究点二含30°角的直角三角形的性质（拓展）【问题】用两个含有30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？【操作】【互动】拼出的三角形中有等边三角形吗？说说你的理由？由此你想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？【猜想】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则有BC＝AB.【证明】如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连结AD.∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）.∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）.∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.∴AB＝BD.∴BC＝BD＝AB.【总结】在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何语言：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB(在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).合作探究，解决问题（小组讨论，教师点评）典例讲解（师生互动）例2如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，求证：CD＝AB.【探索思路】(引发学生思考)根据已知条件AB＝AC，∠B＝15°，结合图形，可利用三角形外角的定理求出∠DAC＝30°.联想到含30°角的直角三角形的性质.【解】在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°(已知)，∴∠B＝∠ACB＝15°（等边对等角），∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°.∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC（在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.∴CD＝AB.【题后总结】(学生总结，老师点评)运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形.【即学即练】2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，求AB的长度.【解】在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∴在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，∴在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm，即AB的长度是12cm.课堂练习1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为()A.15° B.25°C.35° D.45°2.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，且E是AC的中点.若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于()A.5 B.6C.7 D.83.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且EC＝5，则AE的长为.4.如图，在△ABC中，若∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥AC于点A，BD＝3，则BC＝______.5.如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝，等腰Rt△ACD的斜边AD在AB边上，求BC的长.6.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点(不与A、B重合)，DE⊥BC于点E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由.参考答案1.C2.D3.10.4.95.【解】如图，过点C作CE⊥AB交AB于点E.由△ACD是等腰直角三角形可得△AEC是等腰直角三角形.设CE＝x，则2x2＝()2，∴x＝1，即CE＝1.在Rt△CEB中，∠CEB＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2CE＝2.6.【解】△PAE为等边三角形.理由：∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，∴PA＝PC＝eq\f(1,2)CD，∴∠ACD＝∠PAC，∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD.同理，在Rt△CED中，PE＝PC＝eq\f(1,2)CD，∠DPE＝2∠DCB，∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，∴△PAE是等边三角形.课堂小结(学生总结，老师点评)布置作业教材第104页练习第1，2，3题，习题24.2第1，2，3题.板书设计课题24.2直角三角形的性质