2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第22章一元二次方程22.3实践与探索（第2课时）

第22章一元二次方程22.3实践与探索第2课时平均变化率与利润问题教学目标1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.教学重难点重点：掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.教学过程导入新课【问题1】活动1（学生交流，教师点评），则第二年种的水稻平均每公顷的产量为，第三年种的水稻平均每公顷的产量为.【答案】8000（1+x）kg8000（1+x2kg例2某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x.根据题意，列方程为.【答案】168(1-x)2＝108教师总结并引出课题：22.3实践与探索第2课时平均变化率与利润问题探究新知探究点一利用一元二次方程解决增长（降低）率问题【问题2】活动2（学生交流，教师点评）例3前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，今年生产1吨甲种药品的成本是3000元，求甲种药品成本的年平均下降率.【探索思路】(引发学生思考)设甲种药品成本的年平均下降率是x，则去年生产1吨甲种药品的成本是5000(1-x)元，如果保持这个下降率，那么今年生产1吨甲种药品的成本是5000(1-x)2元.【解】设甲种药品成本的年平均下降率是x，根据题意，得5000(1-x)2＝3000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.【点拨】解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量及相应的等量关系.【归纳】“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b(其中增长取“+”,降低取“-”).【即学即练】1.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.【解】设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400×(1+10%)(1+x)2＝633.6.解得x1＝0.2＝20%，x2＝-2.2(不合题意，舍去).答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.探究点二利用一元二次方程解决利润问题基本关系：(1)利润＝售价-进价；（2）利润率＝100%.(3)总利润＝单件的利润×销量. 【问题3】活动3（学生交流，教师点评）例4某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请解答下列问题：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【探索思路】确定题中等量关系→建立方程模型→解方程解决问题.【解】（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60-x-40）＝2240.化简，得x2-10x+24＝0，解得x1＝4，x2＝6.故每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知，每千克核桃可降价4元或6元，而要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元.此时，每千克核桃的售价为60-6＝54（元），则54÷60×100%＝90%.故该店应按原售价的九折出售.【题后总结】(学生总结，老师点评)在应用一元二次方程解决实际问题时，要注意分析题意，抓住等量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答.【即学即练】2.某服装店销售一种服装，每件进货价为40元，当以每件80元销售的时候，每天可以售出50件，为了增加利润，减少库存，服装店准备适当降价.据测算，该服装每降价1元，每天可多售出2件.如果要使每天销售该服装获利2052元，每件应降价多少元？【解】设每件服装应降价x元.根据题意，得(80-40-x)(50+2x)＝2052，解得x1＝2，x2＝13.为了减少库存，取x＝13.故每件应降价13元.课堂练习1.某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元.已知两次降价的百分率相同.若设每次降价的百分率为x，则得到的方程为()A.112(1-x)2＝63 B.112(1+x)2＝63C.112(1-x)＝63 D.112(1+x)＝632.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，那么得到的方程为()A.50(1+x2)＝196B.50+50(1+x2)＝196xC.50+50(1+x)+50(1+x)2＝196D.50+50(1+x)+50(1+2x)＝1963.某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知今年投资1000万元，预计后年投资1210万元.若这两年平均每年投资增长的百分率相同，求平均每年投资增长的百分率.4.某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售.若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率.5.某公司1月份的生产成本是400万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元.假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同.求：（1）每个月生产成本的下降率.（2）请你预测4月份该公司的生产成本.6.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元(x为整数).据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？参考答案1.A2.C3.【解】设平均每年投资增长的百分率是x.由题意，得1000(1+x)2＝1210，解得x1＝0.1，x2＝-2.1(舍去).故平均每年投资增长的百分率为10%.4.【解】设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得5000(1-x)2＝4050.解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去).答：平均每次下调的百分率为10%.5.【解】（1）设该公司每个月生产成本的下降率为x，根据题意，得400(1-x)2＝361.解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95>1（不合题意，舍去）.答：每个月生产成本的下降率为5%.（2）361×（1-5%）＝342.95（万元）.答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.6.【解】（1）2x(50-x)(2)根据题意，得(50-x)(30+2x)＝2100.化简，得x2-35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20.当x＝15时，商场日销售量增加2×15＝30（件）；当x＝20时，商场日销售量增加2×20＝40（件）.而30＜40，且商场为了尽快减少库存，所以取x＝20.故在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元.

课堂小结(学生总结，老师点评)1.平均增长率与降低率若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b(其中增长取“+”,降低取“-”).2.利润问题基本关系：(1)利润＝售价-进价；（2）利润率＝100%；(3)总利润＝单件的利润×销量.在日常生活和社会实践中，许多问题都可以通过建立一元二次方程模型进行求解，然后回到实际问题中进行解释