2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法（第1课时）

第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第1课时直接开平方法和因式分解法教学目标1.理解直接开平方法和因式分解法，掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤.2.能灵活运用因式分解法解简单的一元二次方程.3.了解转化、降次思想在解方程中的运用.教学重难点重点：理解直接开平方法和因式分解法.难点：会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程.教学过程复习巩固1.平方根的概念如果一个数x的平方等于a.那么这个数x叫做a的平方根，即x2＝a,x叫做a的平方根.2.因式分解把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.导入新课【问题1】活动1（学生交流，教师点评）解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2＝4；(2)x2＝0；(3)x2+1＝0.【解】(1)根据平方根的意义，得x1＝2,x2＝-2.(2)根据平方根的意义，得x1＝x2＝0.(3)根据题意，得x2＝-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.教师总结并引出课题：22.2一元二次方程的解法第1课时直接开平方法和因式分解法探究新知探究点一直接开平方法一般地，对于形如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的意义，可解得xx2＝-a【归纳】一般的，对于方程x2＝p,（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程x2＝p有两个不相等的实数根，；（2）当p＝0时，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0；（3）当p<0时,因为对任何实数x，都有x2≥0，所以方程x2＝p无实数根.【问题2】活动2（师生互动）例1利用直接开平方法解下列方程:(1)x2＝25；(2)x2-900＝0.【解】（1）直接开平方，得即（2）移项，得x2＝900.直接开平方，得x＝±30，即x1＝30,x2＝-30.即学即练对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程(x+2)2＝25？【解】（x+2)2＝25（1），所以x+2＝5或x+2＝-5（2）.所以方程（x+2）2＝25的两个根为【题后总结】(学生总结，老师点评)上面的解法中，由方程（1）得到（2），实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.例2解下列方程：（1）(x+2)2＝7；（2）(2x+3)2＝16；【探索思路】(引发学生思考)（1）只要将（x+2）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.（2）解题方法同第（1）小题.【解】（1）由题意知x+2是7的平方根，∴x+2＝即x+2＝或x+2＝，∴，.（2）由题意知2x+3是16的平方根，∴2x+3＝±4.即2x+3＝4或2x+3＝-4∴x1＝，x2＝.【总结】采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2＝p或(mx+n)2＝p(p≥0)的形式的方程，可得x＝或mx+n＝.【问题3】活动3（师生互动）探究点二用因式分解法解一元二次方程解方程.小亮是这么解的：把方程两边同除以x，得x-7＝0,所以x＝7.小亮的解法对吗？为什么？【答案】小亮把方程两边同除以x，而x有可能等于零，所以小亮的解法不对.【归纳】1.因式分解法：通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2.因式分解法的基本步骤（1）移项：将方程的右边化为0;（2）化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积;（3）转化：将方程转化为两个一元一次方程;（4）求解：解两个一元一次方程，写出方程的解.例3用因式分解法解下列方程（1）3x2-6x＝9;（2）4x2-121＝0.【解】(1)化为一般式为x2-2x-3＝0.因式分解，得(x+1)(x-3)＝0.从而或x-3＝0，所以x1＝-1，x2＝3.(2)因式分解，得(2x+11)(2x-11)＝0.从而2x+11＝0或2x-11＝0，所以x1＝，x2＝.【题后总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程时，我们先将左边化为两个一次因式的乘积，右边是0的形式，然后由乘积等于0，得到两个因式中至少有一个等于0，从而将一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程来解例4用直接开平方法或因式分解法解下列方程：(1)(x+1)2＝2；(2)(2x+1)2＝2x+1；(3)-x2＝4x；(4)(x+5)2＝9.【探索思路】(引发学生思考)观察方程的特点，确定解方程的方法及一般步骤.【解】(1)直接开平方，得x+1＝±.故x1＝-1，x2＝--1.(2)移项，得(2x+1)2-(2x+1)＝0.方程左边分解因式，得(2x+1)(2x+1-1)＝0，所以2x+1＝0或2x+1-1＝0，得x1＝-，x2＝0.(3)方程可变形为x2+4x＝0.方程左边分解因式，得x(x+4)＝0，所以x＝0或x+4＝0，得x1＝0，x2＝-4.(4)方程两边同时乘2，得(x+5)2＝18，直接开平方，得x+5＝±3，所以x1＝3-5，x2＝-3-5.【题后总结】(学生总结，老师点评)(1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：①观察方程两边是否符合x2＝b(b≥0)或(mx+a)2＝b(m≠0，b≥0)的形式；②直接开平方，得到两个一元一次方程；③解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根.(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，将方程的右边化为0；②将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得到原方程的根.课堂练习1.一元二次方程x2-16＝0的根是()A.x＝2B.x＝4C.x1＝2，x2＝-2 D.x1＝4，x2＝-42.一元二次方程（x-3）（x-5）＝0的两根分别为（）A.x1＝3，x2＝-5B.xC.x1＝-3，x2＝5D.x13.方程x2＝3A.x＝0B.x＝C.x1＝0，x2＝34.方程x2-2x＝0的根是（A.x1＝B.x1＝C.x1＝0，x2D.x1＝0，x5.解下列方程：(1)4x2＝25；(2)x(x+2)＝x+2.6.解下列方程：(1)3(x+1)2＝；(2)(x+1)2-4＝0.参考答案1.D2.D【解析】∵（x-3）（x-5）＝0，∴x-3＝0或x-5＝0，3.C【解析】原方程可化为x2-3x＝0，∴x（x-3）＝0，∴4.C【解析】x2-2x＝0，方程左边分解因式，得x（x-2）＝解得x1＝0，x2＝5.【解】(1)方程可化为x2＝eq\f(25,4).直接开平方，得x＝±eq\f(5,2)，所以x1＝eq\f(5,2)，x2＝-eq\f(5,2).(2)移项，得x(x+2)-(x+2)＝0.方程左边分解因式，得(x+2)(x-1)＝0，所以x+2＝0或x-1＝0，得x1＝-2或x2＝1.6.【解】（1）方程两边都除以3，得(x+1)2＝，直接开平方，得x+1＝±，即x+1＝或x+1＝-，∴x1＝，x2＝.（2）移项，得(x+1)2＝4，直接开平方，得x+1＝±2，即x+1＝2或x+1＝-2，∴x1＝1，x2＝-3.课堂小结(学生总结，老师点评)直接开平方法因式分解法布置作业教材第23页练习题，第25页练习题板书设计课题第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第1课时直接开平方法和因式分解法【问题1】【问题