《机械制图（含习题集）（AR智媒体版）》课件 项目四 绘制基本体及其表面交线

机械制图项目四绘制基本体及其表面交线目录绘制平面立体的三视图绘制曲面立体的三视图绘制曲面立体的截交线绘制平面立体的截交线绘制两基本体的相贯线绘制平面立体的三视图任务一知识储备任何复杂的立体都可以看成一些简单而且形状规则的立体经过切割或者叠加而成，这些形状简单而且规则的立体称为基本体。表面均由平面组成的基本体叫平面立体，主要有棱柱和棱锥。表面由曲面或平面与曲面围成的基本体叫曲面立体，又称为回转体，主要有圆柱、圆锥、圆球、圆环等。（a）五棱柱

（e）圆环（d）圆锥（c）圆柱（b）六棱锥基本体一、棱柱的投影分析棱柱是由两个互相平行的多边形底面和多个平行四边形组成。如果是正棱柱，有一面投影反映底面的实形，其他两面投影都是矩形框。二、棱锥的投影分析棱锥是由一个多边形底面和多个三角形组成。如果是正棱锥，有一面投影反映底面的实形，其他两面投影都是三角形。任务实施一、画正六棱柱的三视图（一）分析正六棱柱的各面投影如图所示，正六棱柱的顶面、底面均为水平面，其水平投影反映顶面、底面的实形，为一正六边形；其正面投影和侧面投影均积聚为上下两条直线。6个侧棱面中的前后两个棱面为正平面，其正面投影反映实形；其水平投影和侧面投影都积聚成直线。其余4个侧棱面都为铅垂面，其水平投影分别积聚成直线；其正面投影和侧面投影均为类似形。6个侧棱面的水平投影都有积聚性，积聚成正六边形的6条边线。正六棱柱的投影任务实施一、画正六棱柱的三视图（二）画作图基准线画出各个视图的对称中心线，作为作图基准线。（三）画俯视图根据六棱柱的底面尺寸，先画一个

26的圆，然后进行六等分，再画出正六边形。（四）画其他两面视图根据三等关系和高度尺寸15画出其他两个视图，完成后如图所示。六棱柱三视图的画法及表面取点任务实施二、六棱柱表面取点已知六棱柱表面上点M的正面投影m′及点N的水平投影n，求作M、N点的另两面投影。（一）先判断M点的位置m′是可见的，根据m′的位置可判断M点在六棱柱的左前方的侧棱面上。（二）求M点的水平投影左前方侧棱面的水平投影积聚成左前方的一条线，根据长对正即可求得M点的水平投影m。六棱柱三视图的画法及表面取点任务实施二、六棱柱表面取点（三）求M点的侧面投影根据m′、m，按三等关系即可求得m′′。由于左方的侧棱面投影可见，因而m′′可见。（四）判断N点的位置n是不可见的，可判断N点在六棱柱的底面上。（五）求N点的其他两面投影底面的正面投影和侧面投影都积聚成最下方的直线，根据三等关系，可以得到n′和n′′。六棱柱三视图的画法及表面取点任务实施三、画正三棱锥的三视图（一）分析正三棱锥各面投影如图所示，正三棱锥的底面△ABC为水平面，其水平投影abc反映实形；其正面投影和侧面投影均积聚为最下方一条线。左右两个侧棱面SAB和SBC为一般位置平面，其三面投影均不反映实形。后侧棱面SAC为侧垂面，其侧面投影积聚成斜向直线s′a′（c′）。正面投影s′a′c′和水平投影sac均为类似形。正三棱锥的三视图任务实施三、画正三棱锥的三视图（二）画作图基准线画出对称中心线和底面基线作为作图基准线。（三）画底面的三视图从俯视图画起，底面的俯视图反映底面的实形，为一正三角形，边长为26。主视图和左视图根据“长对正”和“宽相等”画出相应的线。（四）画锥顶的投影并连线根据棱锥的高27画出锥顶的主视图，锥顶的俯视图在正三角形的中心，再根据三等关系画锥顶的左视图，连线即可得到三棱锥的三视图，如图。正三棱锥的三视图任务实施四、三棱锥的表面取点已知三棱锥表面上点M的正面投影m′，求作M点的另两面投影。（一）判断M点的位置由于m′可见，所以点M在左棱面，而左棱面的三面投影都没有积聚性，因而要用辅助线作图。（二）求M点的其他两面投影方法一：过锥顶作辅助线。过点M和锥顶作辅助直线SM，连接s′m′与a′b′交于d′；求出辅助线s′d′的水平投影sd，点M的水平投影m必在sd上；再根据“三等”关系求出点M的侧面投影m′′，如图。正三棱锥的表面取点任务实施四、三棱锥的表面取点（二）求M点的其他两面投影方法二：作平行线。过点M作底棱AB的平行线EF，过e′作a′b′的平行线e′f′；求出E点的水平投影e，然后过e作ab的平行线得到EF的水平投影ef，点M的水平投影m在ef上；再根据“三等”关系求出点M的侧面投影m′′，如图（b）所示。思考：辅助线能不能不过锥顶或不与底边平行？正三棱锥的表面取点

在平面立体的表面取点首先要判断点的空间位置，分析点所在平面的各面投影，如果点所在的平面的某个投影有积聚性，则可利用积聚性，直接求出点的这面投影；如果该平面三个投影都没有积聚性，则需要作辅助线，先求出直线的投影，再求其点的投影，与平面上取点方法完全相同。复杂立体的三视图是以基本体的三视图为基础的，其中表面取点又是后续基本体切割的基础。这部分内容难度较大，要有知难而上的精神，将这部分内容学好，逐步培养空间概念。任务总结绘制曲面立体的三视图任务二知识储备

圆柱面、圆锥面、球面都是一条母线绕一条轴线旋转一周形成的。圆柱面的母线与轴线平行，圆锥面的母线与轴线相交，球面的母线为半圆，如图所示。（a）圆柱的形成

（c）圆球的形成（b）圆锥的形成回转体的形成圆柱的三视图任务实施一、画圆柱的三视图（一）分析圆柱的投影

如图所示，圆柱的顶面和底面与水平面平行，它的水平投影反映实形，为一个圆；正面投影和侧面投影积聚成上下两条线。圆柱面与水平面垂直，其水平投影积聚在圆的圆周上；正面投影和侧面投影为矩形。正面投影中的矩形左右两边为圆柱面最左AA1和最右CC1两条轮廓素线的投影，这两条轮廓素线的侧面投影与轴线重合。侧面投影中的矩形两边为圆柱面最前BB1和最后DD1两条轮廓素线的投影，这两条轮廓素线的正面投影与轴线重合。圆柱的三视图任务实施一、画圆柱的三视图（二）画作图基准线画出圆的中心线和圆柱轴线、底面作为作图基准线。（三）先画俯视图俯视图为一个圆，直径为圆柱的直径24。（四）画其他两面视图主视图和左视图为大小相等的长方形，底边长度为圆柱的直径，高为圆柱的高22，完成后如图（b）所示。圆柱的表面取点任务实施二、求圆柱表面上的点的投影已知圆柱表面上点M的正面投影m′及点N的水平投影n，求作M点和N点的另两面投影。（一）判断M点的位置由于m′可见，所以点M在前半圆柱面；m′在轴线的右侧，因而点M在右半圆柱面。（二）求M点的水平投影圆柱面的水平投影有积聚性，其水平投影必在前半个圆上，即可求出点M的水平投影m。任务实施二、求圆柱表面上的点的投影（三）求M点的侧面投影根据“三等”关系求出点M的侧面投影m″，由于右半个圆柱面的侧面投影不可见，因而m′′不可见。（四）判断N点的位置由于n可见，N位于顶面上。（五）求N点的其他两面投影顶面的正面投影和侧面投影均为最上方的线，正面投影n′和侧面投影n″均在此线上，由“三等”关系可求出n′和n″。圆柱的表面取点任务实施三、画圆锥的三视图（一）分析圆锥的投影圆锥的底面与水平面平行，其水平投影为圆，正面投影和侧面投影积聚成直线；圆锥面的正面投影和侧面投影无积聚性，为等腰三角形，水平投影也无积聚性，为圆形，与底面投影重合，正面投影中的等腰三角形两边为圆锥面最左SA和最右SC两条轮廓素线的投影，这两条轮廓素线的侧面投影与轴线重合。侧面投影中的等腰三角形两边为圆锥面最前SB和最后SD两条轮廓素线的投影，这两条轮廓素线的正面投影与轴线重合。圆锥的三视图任务实施三、画圆锥的三视图（二）画作图基准线画中心线和轴线作为作图基准线。（三）画俯视图俯视图为一个圆，直径为圆锥的直径22。（四）画其他两面视图根据圆锥体的高20及投影关系画出主视图与左视图，完成后如图所示。圆锥的三视图任务实施四、求圆锥表面上的点的投影已知圆锥表面上点M的正面投影m′，求作M点的另两面投影。（一）判断M点的位置由于m′可见，所以点M在前半圆锥面；m′在轴线的右侧，因而点M在右半圆锥面上。任务实施四、求圆锥表面上的点的投影（二）求M点其他两面投影由于圆锥面的三面投影都没有积聚性，因而要用辅助线作图。方法一：辅助素线法。过点M和锥顶作辅助直线SM，连接s′m′与底圆交于1′；求出辅助线s′1′的水平投影s1，则点M的水平投影m必在s1上，再根据“三等”关系求出点M的侧面投影m′′，由M点的正面投影可知M点在右半个圆锥面上，因而m′′不可见，如图所示。思考：辅助线可以不过锥顶吗？圆锥的表面取点任务实施四、求圆锥表面上的点的投影（二）求M点其他两面投影由于圆锥面的三面投影都没有积聚性，因而要用辅助线作图。方法二：辅助圆法。过点M作一辅助圆（垂直于圆锥轴线的纬圆），纬圆的正面投影和侧面投影均积聚成直线，水平投影反映实形，M点的水平投影必在此圆上，如图所示。圆锥的表面取点任务实施五、画球的三视图（一）分析球的投影圆球的三个视图均为圆。主视图看到的是一个正平圆P，俯视图看到的是一个水平圆Q，左视图看到的是一个侧平圆R，这些圆的其他两面投影均积聚成线，与圆的中心线重合，如图。（二）画作图基准线先画出三个视图圆的中心线作为作图基准线。（三）画三视图画圆，圆的直径等于球的直径20。圆球的三视图任务实施六、求圆球表面上的点的投影已知圆球表面上点M的正面投影m′，求作M点的另两面投影。（一）判断M点的空间位置由于m′可见，所以点M在前半球面上，由于m′在中心线的左上方，所以M点在左上球面上。由于圆球的投影没有积聚性，球面上不存在直线，除一些特殊的点（位于轮廓线或中心线上的点），一般位置的点只能用辅助圆法。（二）求M点的其他两面投影过m′作水平纬圆的正面投影a′b′，再作出其水平投影ab，M点的水平投影m就在该圆上，由于M点在圆的上半部分，因而m可见；再由投影关系求m′′，由于M点在圆球的左半部分，因而m′′可见。圆球的表面取点

画回转体的三视图比画平面立体的三视图容易，虽然有的视图形状一样但含义不同。圆柱表面取点可利用柱面投影的积聚性来求，圆锥表面取点可用辅助素线法和辅助圆法，圆球表面取点只能用辅助圆法。辅助圆法也是后续求回转体交线最常用的方法。任务总结绘制平面立体的截交线任务三知识储备

立体被平面截切所产生的表面交线称为截交线，该平面称为截平面。由于立体表面的形状不同和截平面所截切的位置不同，截交线也表现为不同的形状，但任何截交线都具有下列基本性质：

（1）共有性。截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的每一点均为截平面与立体表面的共有点。

（2）封闭性。截交线是一个封闭的平面图形。因此，求截交线的实质就是求出截平面与物体表面一系列的共有点，将共有点的同面投影连线，并判断可见性。平面立体被截平面切割后所得的截交线，是由直线段组成的平面多边形，多边形的各边是形体表面与截平面的交线，而多边形的顶点是形体的棱线与截平面的交点。截交线的概念任务实施一、画六棱柱被正垂面切割后的三视图

（一）分析由图（a）可知截断面为六边形，在V面上的投影积聚成直线，截断面的6个顶点在六棱柱的6条棱线上，6条边同属于六棱柱的6个侧面，因而截交线的水平投影就是原来的正六边形，只需求出截交线的侧面投影即可。（二）作图（1）找出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ点在V面和H面的投影。（2）根据投影关系求出各点在W面上的投影。（3）判断点的可见性，并顺次连线，擦去被切掉的部分，完成作图，如图（b）所示。正垂面截切六棱柱（a）（b）任务实施一、画六棱柱被正垂面切割后的三视图

（三）思考若正垂面与六棱柱的相对位置不同，则截交线还可能出现以下几种情况，如图所示。

（四）归纳由图可知截交线的形状不但取决于被切立体的形状，还取决于被截平面的位置。六棱柱的截交线其他情形任务实施二、完成三棱锥被切割后的三视图

（一）分析由图可知该三棱锥被一水平面和一侧平面所切，水平面截切三棱锥切断了三棱锥的两条棱线，交线与底面三角形的边平行；侧平面截断了三棱锥的1条棱线，水平面与侧平面有1条交线，交线有2个端点，因而只需求出这5个点的投影即可。

（二）作图（1）找出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ点在V面的投影。（2）按棱锥的表面取点方法，求出各点的其他两面投影。（3）判断点的可见性，并顺次连线，擦去被切掉部分，完成作图，如图所示。平面截切三棱锥

平面立体的截交线，一般是由直线围成的封闭多边形。只要找出多边形各顶点的投影顺次连接，即可求出平面立体的截交线。求截交线先要判断图中的截平面与立体的交点应该有几个点，线与面相交只有一个交点，面与面相交是一条交线，必须求两个点的投影。任务总结绘制曲面立体的截交线任务四知识储备一、平面切割圆柱根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有3种不同的形状。截平面与轴线垂直截平面与轴线平行截平面与轴线倾斜截交线为直线截交线为椭圆截交线为圆知识储备二、平面切割圆锥根据截平面与圆锥面轴线的相对位置不同，其截交线有5种不同的形状。垂直于轴线过锥顶倾斜于轴线截交线为圆截交线为椭圆截交线为两相交直线知识储备二、平面切割圆锥根据截平面与圆锥面轴线的相对位置不同，其截交线有5种不同的形状。平行任一素线平行于轴线截交线为抛物线截交线为双曲线任务实施一、求作圆柱斜切后的三视图圆柱斜切（一）分析1.截交线的形状圆柱被一正垂面斜切，截交线的空间形状为椭圆，如图所示。2.截交线的投影截交线的正面投影积聚为一条直线，则截交线上所有的点均积聚在该线上。截交线的水平投影与圆柱面的水平投影重合，为俯视图的圆。任务实施一、求作圆柱斜切后的三视图（二）作图（1）求出特殊点的投影。先在水平投影的圆上找4个点，分别为点Ⅰ（最左）、Ⅱ（最前）、Ⅲ（最右）、Ⅳ（最后），根据投影关系，在主视图的斜线上找到这4个点的正面投影；从截交线的正面投影可以看出，Ⅰ点是最下的点，Ⅲ点是最上的点；根据投影关系求出这些点的正面投影和侧面投影。（2）求一般点的投影，然后光滑连线。为了作图方便在圆上对称取4个点，位置没有要求，由前面分析可知这些点的正面投影也在斜线上，可以先求出它们的正面投影，再按投影关系求它们的侧面投影；一般点的数量越多，画出的曲线就越准确。任务实施二、求作圆柱被开槽和切片后的三视图圆柱开槽和切片（一）分析该圆柱的左端开槽是用左、右2个平行于圆柱轴线的对称的2个水平面及1个侧平面截切而成；右端切口是用2个水平面及1个侧平面截切而成，如图所示。任务实施二、求作圆柱被开槽和切片后的三视图（二）作图（1）画出完整的圆柱三视图。（2）由槽宽和槽深，画左端切槽部分的主视图，然后根据投影关系画切槽后的左视图（多两条粗实线），再根据投影关系画出水平投影，由于圆柱的最前和最后轮廓素线被切去一段，因而开槽部位的俯视图向内“收缩”。（3）由切片深度和长度，画右端切片的主视图，然后根据投影关系画切片后的左视图，再根据投影关系画出其水平投影，切片只是在圆柱表面上切出一个矩形，俯视图反映实形。任务实施三、求作圆锥被正平面切割后的三视图正平面截切圆锥（一）分析圆锥被一与轴线平行的平面所切，截交线应为双曲线。由于截平面为正平面，因而截交线的水平投影和侧面投影均积聚成线，其正面投影反映实形，如图。（二）作图（1）先找出特殊点的投影，Ⅰ、Ⅱ点为最低点，Ⅲ点为最高点，根据投影关系找出它们的各面投影，如图（a）所示。（2）再找一般点的投影，然后光滑连线。由于截交线上的点在圆锥面上，圆锥面没有积聚性，只能用辅助圆法或辅助素线法来求，如图（b）所示。

曲面立体的截交线，其形状取决于被截曲面立体的轴线的相对位置。当截交线的投影为非圆曲线时，要先找全特殊点，再补充一般点，最后光滑连接曲线，并完善轮廓的投影。任务总结绘制两基本体的相贯线任务五知识储备

两相交的形体称为相贯体，其表面交线称为相贯线，如水管接头的两圆管相交处就有相贯线。相贯线一、相贯线的性质（1）相贯线是相交立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。（2）相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。根据相贯线的性质，求作相贯线实质上是求作相交立体表面上一系列的共有点。二、相贯线的变化趋势

两回转体相交时，其相贯线的空间形状随两相交回转体的直径和轴线相对位置的变化而变化。

从图中可以看出，两圆柱的相贯线总是由小圆柱向大圆柱的轴线方向凸出，而且两个圆柱直径相差越小时，相贯线越靠近大圆柱的轴线，两个圆柱直径相等时相贯线的投影成两相交直线。两正交圆柱相贯线的变化趋势三、相贯线的特殊情况（一）两回转体公切于一个圆球

两回转体公切于一个圆球时相贯线的空间形状为椭圆，在与其相交轴线平行的投影面上的投影积聚成直线，如图所示。两回转体公切于一个圆球时的相贯线三、相贯线的特殊情况（二）两圆锥共顶点或两圆柱平行

两圆锥共顶点或两圆柱平行相交时相贯线的空间形状为直线。两圆锥共顶点或两圆柱平行的相贯线（a）（b）三、相贯线的特殊情况（三）两回转体共轴线

两回转体共轴线时相贯线的空间形状为垂直于轴线的圆，如图所示。共轴线两回转体的相贯线四、相贯线的模糊画法

相贯线大多数情况是零件加工后自然形成的交线，零件图上的相贯线实质上只起示意的作用，在不影响加工的情况下，可以采用模糊画法表示相贯线，如图所示。相贯线的模糊画法（a）一般画法（b）模糊画法任务实施一、利用积聚性，画两圆柱正交时的相贯线（一）分析由于大圆柱的轴线垂直于侧面，小圆柱的轴线垂直于水平面，相贯线的水平投影和侧面投影都有积聚性，只需要求相贯线的正面投影。两圆柱正交的相贯线任务实施一、利用积聚性，画两圆柱正交时的相贯线（二）求特殊点的投影

相贯线的水平投影为一个圆，在圆上定出最左、最右、最前、最后点，即Ⅰ、Ⅲ、Ⅱ、Ⅳ点的水平投影1、3、2、4，再在相贯线的侧面投影上（圆弧）找到这4个点的侧面投影，根据点的投影规律求出这4个点的正面投影，如图（a）。（三）求一般点的投影在相贯线的水平投影上任取4个点5、6、7、8（为了作图简便，对称选取4个点），在相