2024届河北省张家口市宣化市一中高三线上练习测试：三角函数

2024届河北省张家口市宣化市一中高三线上练习测试：三角函数考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（）A． B． C． D．2．已知集合，则等于（）A． B． C． D．3．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．4．设，，分别是中，，所对边的边长，则直线与的位置关系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B．64 C． D．326．函数的部分图象大致是（）A． B．C． D．7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．8．已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．9．设集合，，则（）．A． B．C． D．10．已知实数，则的大小关系是()A． B． C． D．11．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则下述四个结论：①②③④点为函数的一个对称中心其中所有正确结论的编号是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④12．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列满足对任意，若，则数列的通项公式________．14．某市公租房源位于、、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意位申请人中，恰好有人申请小区房源的概率是______.（用数字作答）15．在中，、的坐标分别为，，且满足，为坐标原点，若点的坐标为，则的取值范围为__________.16．设为数列的前项和，若，则____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）过点作倾斜角为的直线与曲线（为参数）相交于M、N两点．（1）写出曲线C的一般方程；（2）求的最小值．18．（12分）已知函数，其中e为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）用表示中较大者，记函数.若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围.19．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）已知外接圆半径,求的周长.20．（12分）已知直线与抛物线交于两点.（1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率；（2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程.21．（12分）已知，函数的最小值为1．（1）证明：．（2）若恒成立，求实数的最大值．22．（10分）如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据的零点和最值点列方程组，求得的表达式（用表示），根据在上有且只有一个最大值，求得的取值范围，求得对应的取值范围，由为整数对的取值进行验证，由此求得的最大值.【详解】由题意知，则其中，．又在上有且只有一个最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；②当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；③当时，，此时取可使成立，当时，，所以当时，成立；综上所得的最大值为．故选:C【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.2、C【解析】

先化简集合A，再与集合B求交集.【详解】因为，，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.3、B【解析】

设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.【详解】设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，由题意可知，直线与直线垂直，，，因此，双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.4、C【解析】试题分析：由已知直线的斜率为，直线的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直考点：直线与直线的位置关系5、A【解析】

根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.【详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4，故.故选：A【点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.6、C【解析】

判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】，函数是奇函数，排除，时，，时，，排除，当时，，时，，排除，符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.7、A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8、C【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.9、D【解析】

根据题意，求出集合A，进而求出集合和，分析选项即可得到答案.【详解】根据题意，则故选：D【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,10、B【解析】

根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．【详解】解：∵，∴，，．∴．故选：B．【点睛】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11、B【解析】

首先根据三角函数的平移规则表示出，再根据对称性求出、，即可求出的解析式，从而验证可得；【详解】解：由题意可得，又∵和的图象都关于对称，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正确，②错误.故选：B【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.12、A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由可得，利用等比数列的通项公式可得，再利用累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论.【详解】由，得，数列是等比数列，首项为2，公比为2，，，，，满足上式，.故答案为:.【点睛】本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题.14、【解析】

基本事件总数，恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数，由此能求出该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源的概率．【详解】解：某市公租房源位于、、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，该市的任意5位申请人中，基本事件总数，该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数：，该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．15、【解析】

由正弦定理可得点在曲线上，设，则，将代入可得，利用二次函数的性质可得范围.【详解】解：由正弦定理得，则点在曲线上，设，则，，又，，因为，则，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.16、【解析】

当时，由，解得，当时，，两式相减可得，即，可得数列是等比数列再求通项公式.【详解】当时，，即，当时，，两式相减可得，即，即，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.故答案为：【点睛】本题考查数列的前项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）．【解析】

（1）将曲线的参数方程消参得到普通方程；（2）写出直线MN的参数方程，将参数方程代入曲线方程，并将其化为一个关于的一元二次方程，根据，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出的最小值.【详解】（1）由曲线C的参数方程（是参数），可得，即曲线C的一般方程为．（2）直线MN的参数方程为（t为参数），将直线MN的参数方程代入曲线，得，整理得，设M，N对应的对数分别为，，则，当时，取得最小值为．【点睛】该题考查的是有关参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，直线的参数方程的应用，属于简单题目.18、（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.【解析】

（1）由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解；（2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解【详解】（1）,①当时,,∴函数在内单调递增；②当时,令,解得或,当或时,,则单调递增,当时,,则单调递减,∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为（2）（Ⅰ）当时,所以在上无零点；（Ⅱ）当时,,①若,即,则是的一个零点；②若,即,则不是的零点（Ⅲ）当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以①当时,在上单调递增。又，所以（ⅰ）当时,在上无零点；（ⅱ）当时,,又,所以此时在上恰有一个零点；②当时,令,得,由,得；由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,因为,,所以此时在上恰有一个零点,综上,【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想19、（1）（2）3+3【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周长．【详解】（1），即又（2）,∵，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴，∵c＞0，所以得c=2,∴周长a+b+c=3+3．【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．20、（1）（2）【解析】

（1）设，根据直线的斜率公式即可求解；（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，，结合直线的斜率公式得到，换元后讨论的符号，求最值可求解.【详解】（1）设，因为，即直线的斜率为1.（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为.联立方程组，可得则，令，则则当时，；当且仅当，即时，解得时，取“=”号，当时，；当时，综上所述，当时，取得最大值，此时直线的方程是.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，直线与抛物线的位置关系，换元法，均值不等式，考查了运算能力，属于难题.21、（1）2；（2）【解析】分析：（1）将转化为分段函数，求函数的最小值（2）分离参数，利用基本不等式证明即可．详解：（Ⅰ）证明：，显然在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即．（Ⅱ）因为恒成立，所以恒成立，当且仅当时，取得最小值，所以，即实数的最大值为．点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键，属于中档题．22、(1)见证明；(2)【解析】

（1）取PD中点