数字信号处理 离散傅里叶变换(DFT)

离散傅里叶变换(DFT)

问题的提出

有限长序列的傅里叶分析离散傅里叶变换的性质利用DFT计算线性卷积利用DFT分析信号的频谱学习要求了解四种信号的傅里叶变换的数学概念及特点。深刻理解有限长序列DFT的定义及概念。掌握序列DFT与序列DTFT和z变换的相互关系。掌握利用DFT分析任意信号频谱的原理和方法。理解DFT分析信号频谱中出现的现象以及改善这些现象的方法。掌握利用DFT实现序列线性卷积的原理和方法。

重点和难点

本章的重点是信号DFT的数学概念和物理概念，以及DFT在信号分析和系统分析中的重要作用本章的难点是利用DFT分析连续信号频谱过程中出现的现象引言

连续时间傅里叶变换CTFT不适宜于在数字计算机上进行计算。其主要原因为：信号覆盖了整个时间轴(时间受限信号除外);信号是时间连续的;信号的频谱覆盖了整个频谱轴(频带受限信号除外);信号是频谱连续的。连续时域信号与连续频谱不能在计算机被处理，需要离散化DFT是重要的变换

1.分析有限长序列的有用工具。

2.在信号处理的理论上有重要意义。

3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题:(1).是离散与量化，(2).是快速运算。信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散量化

有限长序列的傅里叶分析

四种信号傅里叶表示有限长序列离散傅里叶变换

DFT矩阵表示利用MATLAB计算DFT

四种信号的傅里叶分析连续周期信号连续非周期信号离散非周期信号离散周期信号连续时间傅里叶级数离散傅里叶变换离散傅里叶级数连续时间傅里叶变换

连续时间(周期)、离散频率---傅里叶级数(FS)

连续时间(非周期)、连续频率(非周期)---傅里叶变换(FT)

离散时间(非周期)、连续频率---序列的傅里叶变换(DTFT)

离散时间(周期)、离散频率---离散傅里叶变换(DFT)傅里叶变换的几种形式(四种，时域与频域)：四种信号傅里叶表示1.周期为T0的连续时间周期信号频谱特点：离散非周期谱时域信号频域信号连续的周期的非周期的离散的*时域周期为T0,，频域谱线间隔为2π/T0四种信号傅里叶表示2.连续时间非周期信号频谱特点：连续非周期谱时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性:时域连续，则频域非周期。反之亦然。四种信号傅里叶表示3.离散非周期信号频谱特点：周期为2

的连续谱时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的*时域抽样间隔为Ts，频域的周期为2

或者模拟角频率为：四种信号傅里叶表示4.周期为N的离散周期信号频谱特点：周期为N的离散谱

由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。时域信号频域信号离散的周期的周期的离散的*时域周期为T0,，频域谱线间隔为2π/T0*时域抽样间隔为Ts，频域的周期为2

或者模拟角频率为：k01N-1m01N-1

四种信号的傅里叶表示的物理含义时域信号可以表示为正弦(虚指数)信号的线性组合；其对应的加权系数就是信号的频谱函数；反映了信号中各个频率正弦(虚指数)信号的分布特性。

四种信号的频谱之间联系如果离散非周期信号x[k]是连续非周期信号x(t)的等间隔抽样序列，则信号x[k]的频谱函数X(ej

)是信号x(t)的频谱函数X(jω)的周期化。信号在时域的离散化导致其频谱函数的周期化如果离散周期信号是离散非周期信号x[k]的周期化，则信号的频谱函数是信号x[k]的频谱函数的离散化。信号在时域的周期化导致其频谱函数的离散化有限长序列离散傅里叶变换IDFTDFT符号表示有限长序列DFT与DTFT关系

有限长序列x[k]离散傅里叶变换X[m]是其离散时间傅里叶变换X(ejW)在一个周期[0,2p)的等间隔取样DFT与DFS关系DFT可以看成是截取DFS的主值区间构成的变换对解:解:例:

求有限长4点序列的DFT如果序列后补零，其DFT有何变化?*(答案见书59页)解:x[k]=R4[k]，求x[k]的DTFT，8点和16点DFT解：(1).x[k]=R4[k]的8点DFT解：(2).x[k]=R4[k]的16点DFT解：(3).X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限长4点序列DFT矩阵表示DFT矩阵表示DFT矩阵表示DFT矩阵形式为其中DFT矩阵表示IDFT矩阵形式为dftmtx(N)

函数产生N×N的DFT矩阵DNconj(dftmtx(N))/N

函数产生N×N的IDFT矩阵DN-1利用MATLAB计算DFTfft(x)fft(x,N)ifft(x)ifft(x,N)fft(x)

计算M点的DFT。M是序列x的长度。fft(x,N)

计算N点的DFT。

M>N，将原序列裁为N点计算N点的DFT；

M<N，将原序列补零至N点，然后计算N点DFT。利用MATLAB计算16点序列x[k]的512点DFTk=0:N-1;f=cos(2*pi*k*4./16);F=fft(f);FE=fft(f,512);L=0:511;plot(L/512,abs(FE))holdonplot(k/16,abs(F),'o');N=16;离散傅里叶变换的性质1.线性需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT2.循环位移(Circularshiftofasequence)

循环位移定义为序列的循环位移过程序列的循环移位包括三层意思(操作过程)：1.先将x[k]

进行周期延拓2.再进行周期序列移位3.最后取主值序列k0N-10k周期延拓k0左移2k0N-1取主值DFT时域循环位移特性时域的循环位移对应频域的相移DFT循环位移特性

时域的循环位移对应频域的相移

时域的相移对应频域的循环位移离散傅里叶变换的性质3.对称性(symmetry)

周期共轭对称(Periodicconjugatesymmetry)定义为

周期共轭反对称(Periodicconjugateantisymmetry)定义为

当序列x[k]为实序列时，周期偶对称序列满足

当序列x[k]为实序列时，周期奇对称序列满足x[k]为有限长实数序列，偶对称：奇对称：对称中心点在何处？对称中心点=N/2对称中心点01324576N=8偶对称801324576N=8对称中心点奇对称8对称中心点01324576N=9偶对称89对称中心点013245768N=9奇对称9离散傅里叶变换的性质3.对称性(symmetry)当x[k]是实序列时例：已知一9点实序列的DFT在偶数点的值为X[0]=3.1,X[2]=2.5+4.6j,X[4]=-1.7+5.2j,X[6]=9.3+6.3j,X[8]=5.5-8.0j。确定DFT在奇数点的值。

解：X[1]=X*[9-1]=X*[8]=5.5+8.0j;X[3]=X*[9-3]=X*[6]=9.3-6.3j；X[5]=X*[9-5]=X*[4]=-1.7-5.2j;X[7]=X*[9-7]=X*[2]=2.5-4.6j;

根据实序列DFT的对称特性X[m]=X*[N-m]可得离散傅里叶变换的性质4.序列的循环卷积例：计算序列的循环卷积h[(-n)N]h[(1-n)N]h[(2-n)N]h[(3-n)N]x2[(-n)6]

R6[n]

100111

x2[(-n)6]100111100111100111x2[(n)6]111100111100111100x2[k/n]111100x1[k/n]543210k/n

-6-5-4-3-2-101234567891011x1[n]543210y[0]=8x2[(1-n)6]

R6[n]

11001110x1[n]543210y[k]x2[(2-n)6]

R6[n]

11100112x2[(3-n)6]

R6[n]

11110014x2[(4-n)6]

R6[n]

011110