卷3-备战2025年高考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（新高考）·第一辑（解析版）

备战2025年高考数学全真模拟卷（新高考）第三模拟（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名_____________班级_________考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设集合，，则（）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，，所以故选：D2．若复数满足，则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】复数满足方程，，的虚部为1.故选：C．3．已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且正四棱锥的底面面积为6，侧面积为，则球的体积为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】设底面边长为，侧棱长为，因为底面面积为6，所以，得，因为侧面积为，所以，解得，连接交于点，连接，则可得平面，，所以四棱锥的高，点在上，连接，设球的半径为，则，解得，所以球的体积为，故选：A4．已知，且，则（）A． B． C．7 D．【答案】A【详解】由，可得，两边平方得，可得，因为，所以，所以，所以，所以，联立方程组，可得，所以，所以.故选：A.5．设双曲线E：的离心率为，直线过点和双曲线E的一个焦点，若直线与圆相切，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】不妨设直线右焦点，则直线的方程为，即，由直线与圆相切，且，可得，整理得，即，即，可得，即，解得或，因为，可得，所以.故选：D.6．最大值为2，满足，则（）A． B． C．或 D．或【答案】B【详解】因为最大值为2，所以，解得，又因为，所以的图象关于对称，所以，，所以，即，因为，所以，故选：B7．已知偶函数在上单调递增，若，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为是偶函数，所以，因为，所以，因为在，上的单调递增，所以，即．故选：B．8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段事件内没有发生大规模群体感染的标志是“连续日，每天新增疑似病例不超过人”．过去日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：总体平均数为，中位数为；乙地：总体平均数为，总体方差大于；丙地：中位数为，众数为；丁地：总体平均数为，总体方差为．则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（）A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地【答案】D【详解】对于甲地，若连续日的数据为，则满足平均数为，中位数为，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，A错误；对于乙地，若连续日的数据为，则满足平均数为，方差大于，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，B错误；对于丙地，若连续日的数据为，则满足中位数为，众数为，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，C错误；对于丁地，若总体平均数为，假设有一天数据为人，则方差，不可能总体方差为，则不可能有一天数据超过人，符合没有发生大规模群体感染的标志，D正确.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习.现有甲、乙、丙三人，则下列结论正确的是（）A．如果甲必选物理，则甲的不同选科方法种数为10B．甲在选物理的条件下选化学的概率是C．乙、丙两人至少一人选化学与这两人全选化学是对立事件D．乙、丙两人都选物理的概率是【答案】AD【详解】对于A，甲必选物理，还需从化学、生物、政治、历史、地理中选2门，则甲的不同选科方法种数为，故A正确；对于B，甲在选物理的条件下，还需从化学、生物、政治、历史、地理中选2门，共种，其中选化学的有种，则甲在选物理的条件下选化学的概率是，故B错误；对于C，乙、丙两人至少一人选化学包含乙、丙两人全选化学，故C错误；对于D，乙选物理的概率为，丙选物理的概率为，因为乙选物理和丙选物理相互独立，所以乙、丙两人都选物理的概率是，故D正确；故选：AD10．已知向量，则（）A．若与垂直，则 B．若，则的值为C．若，则 D．若，则与的夹角为【答案】ABC【详解】A.若与垂直，则，，正确；B.若，则，，，正确；C.若，，，正确；D.若，，，D错误，故选：ABC．11．已知直线，曲线，则下列说法不正确的是（）A．“”是曲线C表示圆的充要条件B．当时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C．“是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D．当时，曲线C与圆有两个公共点【答案】ABD【详解】对于A，曲线，曲线要表示圆，则，解得或，所以“”是曲线表示圆的充分不必要条件，故A错误；对于B，时，直线，曲线，圆心到直线的距离，所以弦长，故B错误；对于C，若直线与圆相切，圆心到直线的距离，所以“是直线与曲线表示的圆相切的充分不必要条件，C正确；对于D，当时，曲线，其圆心坐标，，曲线与圆两圆圆心距离为，故两圆相离，不会有两个公共点，D错误.故选：ABD12．已知正方体的棱长为2，动点在正方形内，则（）A．若，则三棱锥的的外接球表面积为B．若平面，则不可能垂直C．若平面，则点的位置唯一D．若点为中点，则三棱锥的体积是三棱锥体积的一半【答案】CD【详解】解：如图，建立空间直角坐标系：则，由于动点在正方形内，可设，其中，对于A选项，由于，则为的中点，此时，设三棱锥的的外接球的球心为，则，即，解得：，所以，则三棱锥的的外接球的半径为，所以三棱锥的的外接球表面积为，故A不正确；对于B选项，设平面的法向量为，，，则，令，得，故，而，若平面，则，则，即，所以，此时，而，所以，当时，，此时，则，故B不正确；对于C选项，若平面，则，由于，，则，解得：或（舍去），此时，即点的位置唯一，使得平面，故C正确；对于D选项，点为中点，由正方体可知平面，三棱锥的体积为：，由于在正方形内，则到平面为，三棱锥体积为：，而，所以，所以三棱锥的体积是三棱锥体积的一半，故D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数为奇函数，，若当时，，则______．【答案】【详解】为奇函数，，解得：；，，是周期为的周期函数，.故答案为：.14．已知直线l分别切抛物线（）和圆于点A，B（A，B不重合），点F为抛物线的焦点，当取得最小值时，___________.【答案】【详解】设，，所以，所以，所以直线的方程为，则，把代入，可解得，∴，当且仅当时等号成立，所以.故答案为：15．函数满足：若恒成立，则的取值范围为___________．【答案】【详解】由题可得,,所以,(为常数),即,而,所以,即,,设,,所以在上递减,在上递增,即,所以.可等价于,解得.故答案为：.16．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为，总结规律并以此类推下去，第个图形对应的点数为________，若这些数构成一个数列，记为数列，则________．【答案】【详解】记第个图形的点数为，由题意知，，，，…，，累加得，即，所以．又，所以．四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列的前n项和Sn＝2n＋1＋A，若为等比数列.（1）求实数A及的通项公式；（2）设bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Tn.【答案】（1）根据题意，数列的前n项和Sn＝2n＋1＋A，则a1＝S1＝22＋A＝4＋A，a2＝S2－S1＝（23＋A）－（22＋A）＝4，a3＝S3－S2＝（24＋A）－（23＋A）＝8，又由为等比数列，则a1×a3＝（a2）2，即（4＋A）×8＝42＝16，解可得A＝－2，则a1＝4－2＝2，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，（2）设，则设，则，故，①则有，②①－②可得：，变形可得：，故.18．年月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一人，高二人，高三人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取名志愿者，参加为期天的第一期志愿活动.（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取人去粘贴宣传标语，设这人中含有高二学生人，求随机变量的分布列和期望；（3）食堂每天约有人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：前天剩菜剩饭的重量为：；后天剩菜剩饭的重量为：，借助统计知识，分析宣传节约粮食活动的效果．【答案】（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人．（2）随机变量X的取值为2，3，4，，，．所以随机变量X的分布列为234（3）所以前10天的平均值为，后10天的平均值为，且，所以宣传节约粮食活动的效果很好19．记△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，点M在AC上，且，.（1）求B；（2）若，求的面积.【答案】（1）由题设，，又，∴，则，又，∴，，可得.（2），又，∴，则，，，∴，可得或(舍)，∴.20．在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）取的中点，连接，，因为是的中点，所以，且，因为，且，所以且，所以四边形是平行四边形，可得，因为面，面，所以平面（2）因为，，所以，因为平面，面，面，所以，，两两垂直，以为原点，分别以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，因为，在等于直接三角形中，，则，，，，设，，，由，可得：，所以，，，，设平面的一个法向量为，由，令，则，，所以，设平面的一个法向量为，由，令，则，，所以，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.（3）由（2）知：平面的一个法向量，假设在线段上是否存在点，设，，则，因为与平面所成角的正弦值是，所以，整理可得：，解得：或（舍），，所以在线段上是否存在点符合题意，的长为.21．已知点，，直线与直线的斜率之积为.（1）求点M的轨迹方程；（2）点N是轨迹上的动点，直线，斜率分别为，满足，求中点横坐标的取值范围.【答案】（1）解：设，因为直线与直线的斜率之积为，所以，可得.所以点的轨迹方程为（除去点）.（2）解：设直线的方程为，，，由消去得：（*），所以，，由（1）知：，，∴.∴，得，此时方程（*）有两个不同的实根，符合题意..22．设函数，（1）求的单调区间；（2）设，求证：，恒有.（3）若，函数有两个零点，求证.【答案】（1）函数的定义域为，且，当时，由可得，由可得，因此函数的单调递减区间为，单调