方差分析的概念

p25作业4.从胡萝卜中提取β-胡萝卜素的传统工艺提取率为91%。现有一新的提取工艺，用新工艺重复8次提取试验，得平均提取率=95%，标准差S=7%。试检验新工艺与传统工艺在提取率上有无显著性差异？解：（1）提出假设H0:μ=μ0=91%；即认为新工艺与传统工艺在提取率上无显著差异。HA:μ≠μ0（2）选取显著水平α＝0.05（3）计算统计量（4）推断并做出结论df=8-1=7，查表1，得双尾t0.05,7＝2.365，t＜t0.05,7，故p＞

0.05，则接受H0，拒绝HA

，即认为新工艺与传统工艺在提取率上无显著差异。p25作业5.国际规定花生仁中黄曲霉毒素B1含量不得超过20μg/kg。现从一批花生仁中随机抽取30个样来检测其黄曲霉毒素B1含量，得平均数=25μg/kg，标准差S=1.2μg/kg。问这批花生仁中的黄曲霉毒素B1是否超标？解：（1）提出假设H0:μ≤μ0=20μg/kg；即认为这批花生仁中的黄曲霉毒素B1

没有超标。HA:μ＞μ0（2）选取显著水平α＝0.05（3）计算统计量（4）推断并做出结论df=30-1=29，查表1，得单尾t0.05,29＝1.699，t＞t0.05,7，故p

＜

0.05，则拒绝H0，接受HA

，即认为这批花生仁中的黄曲霉毒素B1

有超标。第三章方差分析2015-09-28教学目的与要求了解方差分析的概念和作用；掌握方差分析的基本原理和步骤；掌握单向分组资料的方差分析；掌握两向分组资料的方差分析。教学内容第一节方差分析的基本原理第二节单向分组资料方差分析第三节两向分组资料方差分析方差分析的概念方差分析（Analysis Of Variance，ANOVA）又称变异数分析或F检验，比较组间方差是否可以用组内方差来进行解释，从而判断若干组样本是否来自同一总体。优：可以一次检验多组样本，避免了t检验一次只能比较两组的缺陷。缺：只能反映出各组样本中存在着差异，但具体是哪一组样本存在差异，无法进行判定。方差分析优缺点多重比较方差分析的意义其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。教学内容第一节方差分析的基本原理一、方差分析的基本原理二、平方和与自由度的分解三、多重比较计算观察值的组间方差和组内方差，并计算两者的比值，如果该比值比较小，说明组间方差与组内方差比较接近，组间方差可以用组内方差来解释，从而说明组间差异不存在。一、方差分析的基本原理二、平方和与自由度的分解假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n个观察值，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式如表3-2所示。处理12…i…k观察值x11x21…xi1…xk1x12x22…xi2…xk2………………x1jx2j…xij…xkj………………x1nx2n…xin…xkn总和Ti.T1.T2.…

Ti.…

Tk.

T=∑∑xij平均……表3-2每处理具n个观测值的k组数据的符号表二、平方和与自由度的分解方差分析的基本思想，就是将总变差分解为各构成部分之和，然后对它们作统计检验。即：二、平方和与自由度的分解方差与标准差都可以用来度量样本的变异程度。在方差分析中是用样本方差即均方(meansquares)来度量资料的变异程度的。表3-2中全部观察值的总变异可以用总均方来度量，处理间变异和处理内变异分别用处理间均方和处理内均方来度量。㈠总平方和的分解在表3-2中，反映全部观察值总变异的总平方和是各观察值与总平均数的离均差平方和，记为SST。即因为平方和与自由度的分解平方和与自由度的分解由于平方和与自由度的分解∴其中称为处理间平方和，记为SSt，即而称为处理内平方和或误差平方和，记为SSe，即三种平方和的简便计算公式如下：其中

C=T2/kn

称为矫正数。(二)总自由度的分解

在计算总平方和时，资料中的各个观察值要受这一条件约束，总自由度等于资料中观察值的总个数减一，即nk-1。总自由度记为dfT，则

dfT=nk-1。

在计算处理间平方和时，各处理均数要受这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减一，即k-1。处理间自由度记为dft，则dft=k-1。

在计算处理内平方和时，要受k个条件的约束，即，i=1,2,...k。故处理内自由度为资料中观察值的总个数减k，即nk-k。处理内自由度记为dfe，则dfe=nk-k=k(n-1)。因为nk-1=(k-1)+(nk-k)=(k-1)+k(n-1)所以dfT=dft+dfe综合以上各式得：平方和与自由度的分解它们的自由度分别为nk–1,k–1和k(n–1)，即自由度也作了相应分解：nk–1=k–1+k(n–1)dfTdftdfe各部分平方和除以各自的自由度便得到总均方、处理间均方和处理内均方,分别记为：MST(或ST2)、MSt(或St2)和MSe(或Se2),即MST=ST2=SST/dfT;MSt=St2=SSt/dft;MSe=Se2=SSe/dfe①建立假设

H0：各组平均数相等

HA：各组平均数不全相等②计算统计量“F＝组间均方／组内均方”在计算组间均方时，使用自由度为（k-1），计算组内均方时，使用自由度为k(n-1)。③查表、推断F满足第一自由度为（k-1），第二自由度为k(n-1)的F分布。查表。若F值大于0.05临界值，则拒绝原假设，认为各组平均数存在显著差异。。。④结论方差检验的步骤【例3.1】设有A、B、C、D、E5个大豆品种（k＝5），其中E为对照，进行大区比较试验，成熟后分别在5块地测产量，每块地随机抽取4个样点（n＝4），每点产量（kg）列于表3-3，试做方差分析。表3-3

大豆品种比较试验结果单位：kg/小区品种取样点总和Ti.平均1234A232124218922.25B211918187619.00C222322208721.75D192019187619.00E151616176416.00T=392=19.6解：①建立假设

H0：各组平均数相等

HA：各组平均数不全相等②计算统计量“F＝组间均方／组内均方”在计算组间均方时，使用自由度为（k-1），计算组内均方时，使用自由度为k(n-1)。这是一个单因素试验，处理数k=5，重复数n=4。

各项平方和与自由度计算如下：矫正数

C=T2/nk=3922/（4×5）=7683.2总平方和处理间平方和

=1/4（892+762+872＋762+642）-7683.2=101.3处理内平方和

SSe=SST-SSt=122.8-101.3=21.5总自由度

dfT=nk-1=4×5-1=19

处理间自由度

dft=k-1=5-1=4处理内自由度

dfe=dfT－dft=19-4=15方差计算如下：

St2=MSt=SSt/dft=101.3/4=25.32Se2=MSe=SSe/dfe=21.5/15=1.43解③查表、推断F满足第一自由度为（k-1），第二自由度为k(n-1)的F分布。查表。若F值大于0.05临界值，则拒绝原假设，认为各组平均数存在显著差异。表3-4表3-3资料方差分析表变差来源SSdfs2FF0.05F