专题02方程与不等式

专题02方程与不等式一、选择题1．（2019四川南充）关于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】C．【解析】解：因为关于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，可得：a﹣2＝1，2+m＝4，解得：a＝3，m＝2，所以a+m＝3+2＝5，故选：C．2．（2019四川巴中）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．0【答案】B.【解析】解：将代入得：，∴a+b＝2；故选：B．3．（2019四川成都）分式方程的解为（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2【答案】A．【解析】解：方程两边同时乘以x（x﹣1）得，x（x﹣5）+2（x﹣1）＝x（x﹣1），解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入原方程的分母均不为0，故x＝﹣1是原方程的解．故选：A．4．（2019四川遂宁）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【答案】D．【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，∴a2﹣1＝0，a﹣1≠0，则a的值为：a＝﹣1．故选：D．5．（2019四川宜宾）一元二次方程x2﹣2x+b＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2为（）A．﹣2 B．b C．2 D．﹣b【答案】C．【解析】解：根据题意得：x1+x2＝﹣＝2，故选：C．6．（2019四川自贡）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1【答案】D．【解析】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＜0，解得m＞1．故选：D．7．（2019四川广安）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）A．m+3＞n+3 B．﹣3m＜﹣3n C． D．m2＞n2【答案】D．【解析】解：A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A错误；B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B错误；C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C错误；D、如m＝2，n＝﹣3，m＞n，m2＜n2；故D正确；故选：D．8.（2019四川乐山）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，解得：；因为，解得：；所以不等式组的解集是：，故选B.9．（2019四川凉山州）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（）A．x≥1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≤﹣1【答案】C．【解析】解：1﹣x≥x﹣1，﹣2x≥﹣2∴x≤1．故选：C．10．（2019四川南充）关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解，则a的取值范围为（）A．﹣5＜a＜﹣3 B．﹣5≤a＜﹣3 C．﹣5＜a≤﹣3 D．﹣5≤a≤﹣3【答案】C．【解析】解：解不等式2x+a≤1得：x≤，不等式有两个正整数解，一定是1和2，根据题意得：2≤＜3，解得：﹣5＜a≤﹣3．故选：C．11.（2019四川绵阳）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（）A.3种 B.4种 C.5种 D.6种【答案】C.【解析】解：设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50x）件，根据题意，得：，解得：20≤x＜25，∵x为整数，∴x=20、21、22、23、24，∴该店进货方案有5种，故选：C．12．（2019四川达州）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1+x%）2＝9100 C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【答案】D．【解析】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．故选：D．13.（2019四川乐山）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是A.1，11 B.7，53 C.7，61D.6，50【答案】B【解析】解设人数x人，物价y钱.解得：，故选B.14．（2019四川遂宁）关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠4 D．k＜4且k≠﹣4【答案】C．【解析】解：分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，解得：x＝，根据题意得：＞0，且≠2，解得：k＞﹣4，且k≠4．故选：C．15．（2019四川广安）点M（x﹣1，﹣3）在第四象限，则x的取值范围是．【答案】x＞1．【解析】解：∵点M（x﹣1，﹣3）在第四象限，∴x﹣1＞0解得x＞1，即x的取值范围是x＞1．故答案为x＞1．16．（2019四川巴中）函数y＝的自变量x的取值范围．【答案】x≥1，且x≠3．【解析】解：根据题意得：解得x≥1，且x≠3，即：自变量x取值范围是x≥1，且x≠3．17．（2019四川达州）如图所示，点C位于点A、B之间（不与A、B重合），点C表示1﹣2x，则x的取值范围是．【答案】﹣＜x＜0．【解析】解：根据题意得：1＜1﹣2x＜2，解得：﹣＜x＜0，则x的范围是﹣＜x＜0，故答案为：﹣＜x＜0．18．（2019四川资阳）a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是．【答案】8．【解析】解：∵a是方程2x2＝x+4的一个根，∴2a2﹣a＝4，∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．故答案为：8．19．（2019四川凉山州）方程组的解是．【答案】．【解析】解：，②﹣①得：x＝6，把x＝6代入①得：6+y＝10，解得：y＝4，方程组的解为：，故答案为：．20．（2019四川凉山州）方程的解是．【答案】x＝﹣2．【解析】解：去分母，得（2x﹣1）（x+1）﹣2＝（x+1）（x﹣1）去括号，得2x2+x﹣3＝x2﹣1移项并整理，得x2+x﹣2＝0所以（x+2）（x﹣1）＝0解得x＝﹣2或x＝1经检验，x＝﹣2是原方程的解．故答案为：x＝﹣2．21．（2019四川眉山）设a、b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为．【答案】﹣2017．【解析】解：∵a、b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2019+1+1＝﹣2017．故答案为：﹣2017．22．（2019四川眉山）已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝5，则k的值为．【答案】2．【解析】解：，②×2﹣①，得3x＝9k+9，解得x＝3k+3，把x＝3k+3代入①，得3k+3+2y＝k﹣1，解得y＝﹣k﹣2，∵x+y＝5，∴3k+3﹣k﹣2＝5，解得k＝2．故答案为：2．23．（2019四川成都）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为．【答案】2．【解析】解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，x12+x22﹣x1x2＝﹣3x1x2＝4﹣3（k﹣1）＝13，k＝﹣2，故答案为：﹣2．24．（2019四川自贡）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．【答案】．【解析】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：，故答案为：.25．（2019四川攀枝花）已知、是方程的两根，则.【答案】：6.【解析】：由韦达定理可得，，∴.26．（2019四川遂宁）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．【答案】k＜1．【解析】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4﹣4k＞0，k＜1．故答案为：k＜1．27．（2019四川巴中）若关于x的分式方程有增根，则m的值为．【答案】1．【解析】解：方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝1故m的值是1，故答案为1．28．（2019四川宜宾）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是．【答案】65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．【解析】解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，依题意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．故答案为：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．三、解答题29．（2019四川自贡）解方程：．【答案】x＝2．【解析】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，解得：x＝2，检验：当x＝2时，方程左右两边相等，所以x＝2是原方程的解．30.（2019四川乐山）如图，点A、B在数轴上，它们对应的数分别为，，且点A、B到原点的距离相等.求x的值.【答案】．【解析】解：根据题意得：，去分母，得，去括号，得，解得经检验，是原方程的解.31．（2019四川眉山）解不等式组：【答案】﹣1＜x≤4．【解析】解：，解①得：x≤4，解②得x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．32.（2019四川成都）解不等式组：【答案】﹣1≤x＜2．【解析】对由（1）得，x≥﹣1，由（2）得，x＜2，所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜2．33．（2019四川遂宁）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．【答案】解集﹣3＜x≤2，在数轴上表示见解析，x的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．【解析】解：解不等式（1），x＞﹣3，解不等式（2），x≤2，∴﹣3＜x≤2，解集在数轴上表示如下：∴x的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．34．（2019四川广安）解分式方程：．【答案】x=4．【解析】解：，方程两边乘（x﹣2）2得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，解得：x＝4，检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0．所以原方程的解为x＝4．35．（2019四川南充）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．【答案】（1）m≤；（2）1．【解析】解：（1）由题意△≥0，∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，∴m≤．（2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵方程的根为x1，x2，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（x2+1）＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1＝﹣x2﹣x1﹣2＝3﹣2＝1．36．（2019四川巴中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．①求m的取值范围．②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．【答案】①m＞，②．【解析】解：①根据题意得：△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得：m＞，②根据题意得：x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，x12+x22+x1x2﹣17＝﹣x1x2﹣17＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0，解得：m1＝，m2＝﹣3（不合题意，舍去），∴m的值为．37.（2019四川乐山）已知关于的一元二次方程.（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；（3）若Rt△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.【答案】（1）见解析；（2）k=2；（3）1.【解析】（1）证明：∵，∴无论为任何实数时，此方程总有两个实数根.（2）由题意得：，，∵，∴，即，解得：；（3）解方程得：，，根据题意得：，即，设直角三角形的内切圆半径为，如图，由切线长定理可得：，∴直角三角形的内切圆半径=.38．（2019四川达州）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？【答案】8元/个．【解析】解：设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，依题意，得：，解得：x＝8，经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意．答：这种粽子的标价是8元/个．39．（2019四川广安）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】（1）1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；（2）当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．【解析】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，，解得，，答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（200﹣a）只，费用为w元，w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400，∵a≤3（200﹣a），∴a≤150，∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50，答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．40．（2019四川巴中）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？【答案】①甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元；②设共有6种选购方案．【解析】解：①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得：解得x＝90经检验，x＝90符合题意∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050解得5≤y≤10∴共有6种选购方案．41．（2019四川眉山）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？【答案】（1）甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）至少应安排乙工程队绿化32天．【解析】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：＝6，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝200（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得：100a+50b＝3600，则a＝＝﹣b+36，根据题意得：1.2×+0.5b≤40，解得：b≥32，答：至少应安排乙工程队绿化32天．42．（2019四川资阳）为了参加西部博览会，资阳市计划印制一批宣传册．该宣传册每本共10页，由A、B两种彩页构成．已知A种彩页制版费300元/张，B种彩页制版费200元/张，共计2400元．（注：彩页制版费与印数无关）（1）每本宣传册A、B两种彩页各有多少张？（2）据了解，A种彩页印刷费2.5元/张，B种彩页印刷费1.5元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过30900元．如果按到资阳展台处的参观者人手一册发放宣传册，预计最多能发给多少位参观者？【答案】（1）每本宣传册A、B两种彩页各有4和6张；（2）1500．【解析】解：（1）设每本宣传册A、B两种彩页各有x，y张，，解得：，答：每本宣传册A、B两种彩页各有4和6张；（2）设最多能发给a位参观者，可得：2.5×4a+1.5×6a+2400≤30900，解得：a≤1500，答：最多能发给1500位参观者．43.（2019四川攀枝花）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市。某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量（千克）与该天的售价（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系。销售量（千克）…32.53535.538…售价（元/千克）…27.52524.522…（1）某天这种芒果售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量（2）设某天销售这种芒果获利元，写出与售价之间的函数关系式；如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？【答案】（1）芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克；（