2.4曲线与方程（讲义6大题型）（原卷版）

2.4曲线与方程1、结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系；2、理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3、通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．知识点1曲线的方程与方程的曲线1、曲线与方程定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上．则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程．【注意】（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点．（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．它阐明的含义是适合条件的所有点都在曲线上，即没有遗漏的点．所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多，一个也不少，即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系．2、两条曲线的交点坐标（1）已知曲线和曲线，求这两条曲线的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．（2）直线与曲线交点个数判断直线与曲线的交点问题，一般通过联立两方程消元得到关于或的方程．若是一元二次方程，则根据一元二次方程根的判别式来判断（有时也可利用数形结合来判断）：=1\*GB3①当时，由两个交点；=2\*GB3②当时，无交点；=3\*GB3③当时，有一个交点，此时直线与曲线相切．知识点2由曲线求它的方程1、求动点轨迹方程的步骤（1）设动点的坐标为（如果没有平面直角坐标系，需先建立）；（2）写出要满足的几何条件，并将该几何条件用的坐标表示出来；（3）化简并检验所得方程是否为的轨迹方程．2、建立坐标系的基本原则（1）让尽量多的点落在坐标轴上；（2）尽可能地利用图形的对称性,使对称轴为坐标轴．建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步,应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角,可将两直角边作为坐标轴建系等．知识点3轨迹与轨迹方程1、轨迹方程和轨迹的定义已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．【常用解题技巧】1、曲线与方程的关系判定曲线的方程是的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程的解，并且以方程的实数解为坐标的点都在曲线上，这是识别曲线和方程关系的基本依据．曲线与方程建立了对应，即把点和坐标的对应过渡到曲线与方程的对应，因此判断曲线与方程的关系时，需同时判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上及曲线上的点的坐标是否都是方程的解．2、判断点与曲线关系的方法（1）从点的坐标角度若点在方程所表示的曲线C上，则；或若，则点不在方程表示的曲线C上．（2）从方程的解的角度若，则点在方程所表示的曲线C上；或若点不在方程表示的曲线C上，则．3、求曲线方程的常用方法（1）直接法：建立适当的坐标系后，设动点为，根据几何条件寻求之间的关系式．（2）定义法：如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．（3）代入法：利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线的方程，由此可求得动点坐标满足的关系．（4）参数法：如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出，也没有明显的相关点,但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响，此时，可先建立分别与这个变量的关系，然后将该变量(参数)消去,即可得到的关系式．4、设曲线C的方程为：，一般有如下规律：①如果以代替y，方程保持不变，那么曲线关于x轴对称；②如果以代替x，方程保持不变，那么曲线关于y轴对称；③如果同时以代替x，以代替y，方程保持不变，那么曲线关于原点对称．例：曲线C的方程为：，则曲线C关于原点对称．题型一曲线与方程的概念【例1】曲线的方程是：，那么是点在曲线上的（

）A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式11】“点M在曲线上”是“点M到两坐标轴距离相等”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件【变式12】“点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式13】（2324高二上·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（

）A．曲线C上的点的坐标都适合方程B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程题型二点与曲线的位置关系【例2】下列各点中，在曲线上的点是A．（2，2） B．（4，3） C．（3，10） D．（2，5）【变式21】（2223高二上·安徽·期末）方程表示的图形经过点，，，中的（

）A．个 B．个 C．个 D．个【变式22】设曲线和的交点为P，那么曲线必定（）A．经过P点 B．经过原点C．不一定经过P点 D．经过P点和原点【变式23】若点在方程的曲线上，则．题型三由方程研究曲线的图形【例3】（2223高二下·四川南充·月考）下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（

）A．与 B．与C．与 D．与【变式31】（2324高二上·福建莆田·期中）设方程表示的曲线是（

）A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线C．一个圆 D．一条直线【变式32】（2324高二下·贵州六盘水·期末）关于的方程对应的曲线不可能是（

）A．B．C． D．【变式33】（2223高三上·重庆·月考）在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，则曲线围成的图形面积为（

）A．6 B．8 C．10 D．12题型四由方程研究曲线的性质【例4】（2324高二下·上海·期中）关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称【变式41】（2324高二上·广东中山·月考）（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（

）A． B．C． D．【变式42】（2324高二上·北京海淀·期中）两个曲线方程：，：，我们可以推断出它们的性质，其中错误的是（

）A．曲线关于y＝x对称B．曲线关于原点对称C．曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积D．曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积【变式43】（2223高二上·上海闵行·期中）关于曲线，则以下结论正确的是（

）①曲线关于原点对称；②曲线中；③曲线是不封闭图形，且它与圆有四个公共点；④曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形.A．①② B．①②③ C．①③④ D．②④题型五两曲线交点问题【例5】曲线与曲线的公共点的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【变式51】已知曲线与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式52】（2223高二上·辽宁沈阳·期末）方程有且仅有两个不同实根，则实数的取值范围是．【变式53】（2223高二上·北京海淀·月考）已知曲线与曲线恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是.题型六求平面轨迹方程【例6】（2324高二上·河南开封·期中）到x轴距离与到y轴距离之比等于的点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式61】（2324高二上·江西上饶·）已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（