专题1.1有理数的有关概念12大考点（知识梳理典例剖析变式训练）-2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍（原卷版）2

20222023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍（苏科版）专题1.1有理数的有关概念12大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【目标导航】【知识梳理】一、正数和负数1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“”，叫做负数，一个数前面的“+”“”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．二、有理数与无理数1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．2、如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．3、（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．三、数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．四、相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，如a的相反数是a，m+n的相反数是（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．五、绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数a；③当a是零时，a的绝对值是零．（3）绝对值的非负性任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．六、科学记数法（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．【典例剖析】【考点1】数学与生活【例1】（2022·江苏泰州·七年级期末）下列所给数据中，能反映出一瓶矿泉水重量的是（

）．A．500毫克 B．500克 C．500千克 D．500吨【变式1.1】（2022·江苏·七年级专题练习）下列人或物中，质量最接近1吨的是（）A．1000枚1元硬币 B．25名小学生C．5000个鸡蛋 D．10辆家用轿车【变式1.2】（2022·江苏·七年级）如图，“英寸”是电视机常用尺寸，1英寸约为大拇指第一节的长，则9英寸长相当于（）A．一支粉笔的长度 B．课桌的长度 C．黑板的宽度 D．数学课本的宽度【变式1.3】（2022·江苏·七年级）下面四位数学家里有三位对π进行了深入的研究，其中有一位研究方向在其他方面，这位数学家是(

)A．祖冲之 B．张衡 C．刘徽 D．杨辉【考点2】正数和负数【例2】（2022·江苏·七年级专题练习）当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示．例：中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元【变式2.1】（2022·江苏·七年级专题练习）规定：（↑30）表示零上30°C，记作+30，（↓5）表示零下5°C，记作（

）A．+5 B．−5 C．+15 【变式2.2】（2022·江苏南通·七年级期末）规定：(→2)表示向右移动2，记作＋2，则(←5)表示向左移动5，记作（

）A．＋5 B．－5 C．15 D．－【变式2.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在－3，36，＋25，－0.01，0，−34中，负数的个数为（A．2个 B．3个 C．3个 D．4个【考点3】有理数与无理数【例3】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）下列说法正确的是（

）A．整数包括正整数和负整数 B．零是整数，但它既不是正数，也不是负数C．分数包括正分数、负分数和零 D．一个数不是正数就是负数【变式3.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）下列各数中，是无理数的是（

）A．−2 B．1.6 C．1.010010001 D．2π【变式3.2】（2022·江苏·七年级专题练习）下列数中既是分数又是负数的是（）A．5.2 B．0 C．﹣2 D．﹣2.5【变式3.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在0.8、3.5、23、0、π2、3.01001001…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，有理数的个数共有（A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点4】数轴【例4】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2007cm的线段AB，则AB盖住的整点个数是（

）A．2005或2006 B．2006或2007 C．2007或2008 D．无法确定【变式4.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）如图，数轴上点M所表示的数可能是（

）A．1.5 B．−1.6 C．−2.6 D．−3.4【变式4.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，数轴上点D对应的数为d，则数轴上与数﹣3d对应的点可能是（）A．点A B．点B C．点D D．点E【变式4.3】（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，b，a，b从大到小的顺序为（

）A．b>−a>a>−b B．−a>−b>b>aC．−b>a>−a>b D．b>a>−a>−b【考点5】相反数【例5】（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（）A．+（﹣2）和﹣|﹣2| B．﹣5和﹣（﹣5）C．+（﹣3）和﹣3 D．﹣12【变式5.1】（2022·江苏·七年级专题练习）下列各组数中，互为相反数的是（）A．|+1|与|﹣1| B．﹣（﹣1）与1 C．|﹣（﹣3）|与﹣|﹣3| D．﹣|+2|与+（﹣2）【变式5.2】（2021·江苏·无锡市东林中学七年级期中）下列化简正确的是（

）A．+−2=2 B．−−3=3 C．【变式5.3】（2022·江苏南京·七年级阶段练习）A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（

）A． B． C． D．【考点6】绝对值【例6】（2022·江苏扬州·七年级期末）已知a，b的位置如图，则b−a−A．0 B．－2b C．－2a D．2b－2a【变式6.1】（2021·江苏泰州·七年级期末）−2021的绝对值是（

）A．2021 B．−2021 C．12021 D．【变式6.2】（2022·江苏淮安·七年级期末）下列说法正确的是（

）A．任何数的绝对值都是正数 B．如果两个数不等，那么这两个数的绝对值也不相等C．任何一个数的绝对值都不是负数 D．只有负数的绝对值是它的相反数【变式6.3】（2021·江苏南通·七年级期中）现有四种说法：①−a表示负数；②若a<b<0，则a>b；③绝对值最小的有理数是0；④若a=b，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点7】绝对值的非负性【例7】（2020·江苏镇江·七年级阶段练习）若(x﹣2)2+|y+1|=0，则x﹣y等于（

）A．−2 B．1 C．−4 D．3【变式7.1】（2020·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）x是任意实数，则下列各式中一定表示正数的是（

）A．2020x B．x+2020 C．2020x【变式7.2】（2019·江苏·泰州市姜堰区张甸初级中学七年级期中）若a+1+b−22=0，则A．2 B．0 C．2 D．7【变式7.3】（2018·江苏南通·七年级期末）如果a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列式子可能成立的是（

）A．c＞0，a＜0 B．c＜0，b＞0 C．c＞0，b＜0 D．b＝0【考点8】有理数的大小比较【例8】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）下列各组数中，比较大小正确的是（）A．|﹣23|＜|﹣12| B．﹣|﹣3411C．﹣|﹣8|＞7 D．﹣56＜﹣【变式8.1】（2022·江苏扬州·七年级期末）无理数−π在数轴上位置的描述，正确的是（

）A．在点−4的左边 B．在点−3的右边C．和原点的距离小于3 D．和原点的距离大于3【变式8.2】（2021·江苏·常州市金坛良常初级中学七年级阶段练习）在0.2，−2，0，−12这四个有理数中，最小的数是（A．0.2 B．−2 C．0 D．−【变式8.3】（2022·江苏宿迁·七年级期末）在﹣0.2418中，若用3去替换其中的一个非0数字，并使所得的数最大，则替换的数字是（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点9】科学记数法【例9】（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）“天问一号”探测器由长征五号运载火箭直接送入地火转移轨道，飞行期间已成功完成地月合影获取、两次轨道中途修正、载荷自检等工作，截至2020年10月1日凌晨，探测器已飞行约188000000千米，飞行状态良好，把188000000用科学记数法表示，结果正确的是（

）A．188×106 B．18.8×107 C．【变式9.1】（2021·江苏·南京东山外国语学校七年级阶段练习）某建成的新机场一期将满足年旅客吞吐量45000000人次的需求．将45000000用科学记数法表示应为（

）A．4.5×107 B．45×106 C．【变式9.2】（2022·江苏南京·七年级期末）据统计，电影《长津湖》上映第16天，累计票房突破45.6亿元．将数据45.6亿用科学记数法表示为（

）A．45.6×108 B．4.56×109 C．4.56×1010 D．0.456×1011【变式9.3】（2021·江苏南通·七年级期中）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（）A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103【考点10】有理数的分类（大题）【例10】（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）请你把下列各数填入表示它所在的数的集合内：﹣2，20%，﹣0.13，﹣734，0，4.7，正有理数集合：{

…}；整数集合：{

…}；负分数集合：{

…}．自然数集合：{

…}．【变式10.1】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）请把下列各数填入相应的集合中−12；－7；4负整数集合：

{

…}；分数集合：

{

…}．【变式10.2】（2022·江苏·七年级专题练习）把下列各数填到相应的集合中．1，13，0，﹣π正数集合：{}；负数集合：{}；整数集合：{}；有理数集合{}．【变式10.3】（2022·江苏·七年级专题练习）如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内：−12，﹣7，+2.8，﹣900，﹣3【考点11】绝对值与相反数综合问题（大题）【例11】（2022·江苏·七年级专题练习）现场学习：我们知道|x|＝x(x>0)0(x=0)−x(x<0)，所以当x＞0时，x|x|=x解决问题：已知a，b是有理数，当ab≠0时，求a|a|【变式11.1】（2022·江苏·七年级专题练习）（1）用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空：①|﹣5|+|4|_____|﹣5+4|；②|﹣6|+|3|_____|﹣6+3|；③|﹣3|+|﹣4|_____|﹣3﹣4|；④|0|+|﹣9|_____|0﹣9|；（2）归纳：|a|+|b|_____|a+b|；（3）根据上题（2）得出的结论，若|m|+|n|＝7，|m+n|＝1，求m的值．【变式11.2】（2022·江苏·七年级专题练习）若a，b满足|a|＜|b|≤4，且a，b为整数．（1）直接写出a，b的最大值；（2）当a，b为何值时，|a|+b有最小值？此时，最小值是多少？【变式11.3】（2022·江苏·七年级专题练习）我们知道：4−−1表示4与−1的差的绝对值，实际上也可以理解为4与−1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理x−3也可以理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，5+3=5−−3表示5、−3之间的距离．一般地，点A，B两点在数轴上表示有理数（1）若x−3=7，则x（2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−2，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示−4的点与表示__________的点重合；（3）计算：x−4+【考点12】数轴有关综合问题（大题）【例12】（2021·江苏南京·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为，点Q对应的数为；P、Q