专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型2

专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型证明】（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023下·江苏盐城·七年级统考期中）如图，已知，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，过点作直线，根据平行线的性质得到．【详解】解：如图，过点作直线，则．又，，，．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质．关键是熟悉两直线平行，内错角相等的知识点．例2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行线的性质即可得出，，再根据即可求解．【详解】由题意知∴，∴故选：C．【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键．例3．（2023下·湖北黄冈·七年级阶段练习）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（）

A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°【答案】D【分析】过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到作差即可．【详解】详：过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∴故选：D．【点睛】考查平行公理已经平行线的性质，解题的关键是注意辅助线的作法，作出辅助线．例4．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知，，，若，则为（

）A．23° B．33° C．44° D．46°【答案】C【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得，同样的方法可得，再根据角的倍分可得，由此即可得出答案．【详解】如图，过点E作，则，∴，，同理可得：，，∴，，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．例5．（2023下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）如图，已知，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是．【答案】/度【分析】首先设，，过点作，过点作，根据平行线的性质，可得，，又由的余角等于的补角，可得方程：，继而求得答案．【详解】解：如图，设，，

，与的平分线交于点，，，，，过点作，过点作，，，，，，，，，的余角等于的补角，，解得：，，故答案为：．【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．例6．（2023下·湖北恩施·七年级统考期中）如图，若，，且，，则．【答案】/20度【分析】过点E作，过点F作，则，根据平行线的性质，结合可证，再根据推出，即可列式求解．【详解】解：如图，过点E作，过点F作，，，，，．，，，，，，，，，，，，，，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．例7．（2023下·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，已知，，写出x，y，z的关系式．

【答案】【分析】过点作，过点D作，根据平行线的性质求解，即可得到答案．【详解】解：如图，过点作，过点D作，，，，，，，，，，，故答案为：．

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．例8．（2023下·江西赣州·七年级统考期末）（1）如图1已知：∠B=25°，∠BED=80°，∠D=55°．探究AB与CD有怎样的位置关系.（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明.（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明.【答案】（1）详见解析（2）∠BCF=∠B+∠F（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4【分析】（1）过点E作EF∥AB，得∠BEF=25°，得∠DEF=55°，从而可证AB∥CD；（2）作CD∥AB，根据平行线的传递性得CD∥EF，则根据平行线的性质得∠BCD=∠B，∠DCF=∠F，所以∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，故可得结论；（3）方法同（2）【详解】（1）过点E作EF∥AB

∵∠B=25°∴∠BEF=∠B=25°∵∠BED=80°∴∠DEF=∠BED－∠BEF=55°∵∠D=55°∴∠D=∠DEF∴EF∥CD

∴AB∥CD

（2）过点C作CD∥AB，则CD∥EF，∵AB∥CD，∴∠BCD=∠B，∵CD∥EF，∴∠DCF=∠F，∴∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，即∠C=∠B+∠F．

（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4，如图，作MN∥AB，由（2）的结论得到∠2=∠1+∠6，∠4=∠5+∠7，∴∠2+∠4=∠1+∠6+∠5+∠7=∠1+∠3+∠5.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．作出相关辅助线是解此题的关键.例9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线与直线内部有一个点，连接．(1)如图，当点在直线上，连接，若，求证：；(2)如图，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：；(3)如图，在（）的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点G，和直线相交于点，当时，若，，求的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（）过点作，推出，进而得，根据平行公理的推论即可得证；（）分别过点和点作，，推出，进而得，根据平行公理的推论即可得证；（）过点作，同（）（）理证明，设，，，则，结合角平分线得，用含的式子代替，，代入即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点作，∴，∵，∴，∴，∴；（2）证明：如图，分别过点和点作，，∴，，∵，即，∴，∴，∴，∴；（3）如图，过点作，由()得，∴，，，∴，设，，，则，∵、分别是、的角平分线，∴，∵，∴，由()得，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴∴，∴，即的度数为.【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和，平角定义等知识，添加辅助线，灵活运用平行公理的推论是解题的关键．课后专项训练1．（2023下·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作，根据平行线的判定和性质可得，结合，两式相加即可求出．【详解】解：如图，作，

∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，求出是解题的关键．2．（2023下·江苏镇江·七年级统考期末）将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使边与边互相平行，则图中的大小为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据三角板的特点得到，再由平行线的性质得到，则由平角的定义可得．【详解】解：由题意得：，∵，∴，∴，故选：D．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，灵活运用所学知识是解题的关键．3．（2023下·安徽马鞍山·七年级校考期末）如图，直线，，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意作直线l平行于直线l1，再根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如下图，作直线，

∵，，∴，．，．故选B．【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行公理的应用，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键．4．（2022下·广东七年级期中）如图，，，是的平分线，三点在一条直线上，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作，则，进而求出，由平行线的传递性可证，从而，由角平分线的定义求出，进而可求出的度数．【详解】作，则．∵，∴，∴．∵，，∴，∴．∴．∵是的平分线，∴，∴．故选A．

【点睛】本题考查了平行线性质的应用－拐点问题，常用的解答方法是过过拐点作其中一条线的平行线，利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可．5．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，，点在上，，则下列结论正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）；（4）

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】过点作，根据平行线的性质对每一项判断即可解答．【详解】解：过点作，

∵，∴，∴与不全等，又∵点在上，∴无法判断（1）是否正确；∵，，∴，∵，∴，，∴，故（2）正确；∵，，∴，∴，∴，，∴，故（3）正确；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴无法知道的度数，∴无法判断（4）是否正确；故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，添加辅助线是解题的关键．6．（2023下·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）如图，直线，用含的式子表示，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】过角的顶点作，根据平行线的性质可得，，即可求解．【详解】解：如图所示，过角的顶点作，∴

∵，∴，∴∴故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．7．（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值；其中结论正确的有（

）

A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】由，，可知，则，由，可得，则，，可证，可判断①的正误；由，可得，由，可得，可判断②的正误；由平分交于点E，可得，由，，可得，则平分，可判定③的正误；由和的平分线交于点F，可得，，由，，，可得，，根据，为定值，可判断④的正误．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，①正确，故符合要求；∵，∴，又∵，∴，②错误，故不符合要求；∵平分交于点E，∴，∵，，∴，∴平分；③正确，故符合要求；∵和的平分线交于点F，∴，，∵，，，∴，∴，∴，为定值；④正确，故符合要求；故选：D．【点睛】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．8．（2022下·湖北省直辖县级单位·七年级统考期末）如图，C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向，则．

【答案】/105度【分析】过点作，从而可证明，然后由平行线的性质可知，，从而可求得的度数．【详解】解：过点作．

，，．，，同理：．，故答案为：．【点睛】本题考查的是方向角的定义和平行线的性质的应用，掌握此类问题辅助线的作法是解题的关键．9．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，，，，则的度数等于．

【答案】【分析】先添加辅助线，则根据平行线的性质可得，则有，，再根据垂直的定义可得，然后求出，根据邻补角的定义即可得．【详解】如图，过作，

∴,∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了平行线的性质、垂直，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10．（2023下·江苏连云港·七年级统考期末）如图，，将直角三角尺的两个锐角顶点分别落在a、b上．若，则等于°．

【答案】25【分析】由平行线的性质可得，由三角形的内角和定理可求得，从而可求得，则可求的度数．【详解】解：如图，

∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，∴．故答案为：25．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．11．（2023下·江苏扬州·九年级阶段练习）如图，已知：AB∥CD，∠1=50°，∠2=113°，则∠3=度．【答案】63【分析】如图，易知∠3＝∠2－∠1，计算即可.【详解】如图所示，根据平行线的性质易知∠3＝∠2－∠1＝113°－50°＝63°.【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键.12．（2023下·江苏镇江·七年级统考期中）探照灯、汽车灯及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经灯碗反射以后平行射出．若，，则的度数为．【答案】【分析】过点作，由得，从而得到，，最后根据计算即可得到答案．【详解】解：过点作，如图所示，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．13．（2023上·江苏常州·八年级统考期中）如图，直线a，b过等边三角形的顶点A和C，且，，则．

【答案】99【分析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可求出，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵，，∴．故答案为：99．14．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，直线，，则．

【答案】/208度【分析】根据平行线的性质和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得．【详解】解：如图

∵直线，∴，又∵，，∴．【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形外角和定理，解题的关键是做辅助线构造出相对应的角．15．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知，，记，则m的值为．

【答案】【分析】过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案．【详解】解：如图所示：过点F作．∵，∴．∵，∴，∴．∴．同理：．∴∵，∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．16．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程：证明：过点，作，如图2∴______（_________________）∵，_______=（已知）∴（___________）∴______=_______∴_____（________________）∵∴【答案】BEF；两直线平行内错角相等；FEC；等量代换；C；FEC；DC；内错角相等两直线平行【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．【详解】证明：过点，作，如图2，（两直线平行内错角相等），，（已知），（等量代换），，（内错角相等两直线平行），，．故答案为：，两直线平行内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．17．（2023下·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，，，求的度数．【答案】【分析】过点作，根据，，进而据平行线的性质即可求的度数．【详解】解：过点作，∵，∴，∴，，∴，【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线及灵活应用平行线的判定与性质解决问题．18．（2023·江苏·九年级专题练习）在图中，，与又有何关系？【答案】【分析】此类题要过各个分点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质进行推导．【详解】分别过，，作的平行线，则，，，，，即，．【点睛】此类题主要注意构造辅助线：平行线，解题的关键是充分运用平行线的性质进行证明．19．（2023·江苏七年级月考）如图所示，.求证：【答案】详见解析【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案．【详解】证明：连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，∴∠CAE+∠ACE=180°（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°（3x°+3y°）∴∠AEC=180°（∠CAE+∠ACE）=180°[180°（4x°+4y°）]=4x°+4y°=4（x°+y°），∠AFC=180°（∠FAC+∠FCA）=180°[180°（3x°+3y°）]=3x°+3y°=3（x°+y°），∴∠AFC=∠AEC．【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．20．（2022下·江苏连云港·七年级统考期中）已知．

知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：．知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：；（3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系．知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么______；只要直接填上正确结论即可（5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么______用含的式子表示【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）【分析】过点作，利用猪脚模型进行计算，即可解答；利用的结论可得得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后进行计算即可解答；根据角平分线的定义可得，，再利用的结论，从而进行计算可得，再利用的结论可得，然后进行计算即可解答；过点作，过点作，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用角平分线的定义可得，，从而用的结论可得，进行计算即可解答；过点作，过点作，过点作，利用的解题思路进行计算即可解答．【详解】解：过点作，，

，，，，；由得：，，、分别平分、，，，，即；，理由：、分别平分、，，，，由得：，，即；过点作，过点作，

，，，，，，，，，，，，、分别平分、，，，，故答案为：；过点作，过点作，过点作，

，，，，，，，，、分别平分、，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）已知在四边形中，，点是线段上一点．

(1)如图①，求证：；(2)如图②，若平分，．①请动动你聪明的头脑，你会发现：______；②如图③，若的平分线与的延长线交于点，与交于点，且，求的度数．【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】过作，根据可得出，故可得出，，由此可得出结论；根据可知再由平分得出，根据，即可得出结论；由知，故再由三角形外角的性质得出根据三角形内角和定理得出由平分，平分及三角形内角和定理得出的度数．【详解】（1）证明：如图，过作，

，，，，；（2）：，．平分，，，，，．故答案为：；如图③，由知，．，．．平分，平分，，．【点睛】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，数形结合是解答本题的关键．22．（2023下·江苏镇江·七年级统考期末）如图，，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若，．（1）=；（2）如图2，点C、D是、角平分线上的两点，且，求的度数；（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若，，且，求n的值．【答案】（1）100；（2）75°；（3）n=3．【分析】（1）如图：过O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°，即可求出∠AOB；（2）如图：分别延长AC、CD交GH于点E、F，先根据角平分线求得，再根据平行线的性质得到；进一步求得，，然后根据三角形外角的性质解答即可；（3）设BF交MN于K，由∠NAO=116°，得∠MAO=64°，故∠MAE=，同理∠OBH=144°，∠HBF=n∠OBF，得∠FBH=，从而，又∠FKN=∠F+∠FAK，得，即可求n．【详解】解：（1）如图：过O作OP//MN，∵MN//GHl∴MN//OP//GH∴∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=36