17.1勾股定理（原卷版）

八年级下册数学《第十七章勾股定理》17.1勾股定理知识点一勾股定理知识点一勾股定理●勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.◆1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.◆3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2、a2=c2b2、b2=c2a2；、、.【拓展】◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＞c2.◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＜c2.知识点二知识点二勾股定理的证明●通过拼图证明勾股定理的思路：（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.●下面列举几种证明方法：◆1、“赵爽弦图”证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2．◆2、我国数学家邹元治的证明方法证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+12化简得：a2+b2＝c2．◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+化简得：a2+b2＝c2．知识点三知识点三勾股定理的应用利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决.◆勾股定理应用的类型：（1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长；（2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；（4)作长为n(n＞1，且n为整数)的线段；（5）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.知识点四知识点四利用勾股定理作长为n的线段(n＞1，且n为整数)实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴较易找到它对应的点，但要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难，因此，我们可以利用勾股定理作长为n(n＞1，且n为整数)的线段，进而在数轴上画出表示n(n＞1，且n为整数)的点.◆在数轴上表示n的步骤：①利用勾股定理求出长为n的线段；②在数轴上以原点为圆心，以长为n的线段长为半径画弧与数轴的正方向相交，则交点为表示n的点.题型一利用勾股定理求直角三角形的边长题型一利用勾股定理求直角三角形的边长【例题1】已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5 B．7 C．5或7 D．以上都不对解题技巧提炼利用勾股定理求直角三角形的边长的步骤：一分，即分清哪条边是斜边，哪条边是直角边；二代，即将已知边长代入a2+b2=c2（c为斜边）；三化简求值，若已知的两边可能都是直角边，也可能是直角边与斜边，则应利用分类讨论思想分两种情况讨论.【变式11】在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）若a＝b＝5，求c；（2）若a＝5，∠A＝30°，求b，c．【变式12】（2021秋•桐城市校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°．（1）求∠BAC的度数．（2）若AC＝2，求AD的长．【变式13】（2022秋•东方期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【变式14】（2022秋•新泰市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（）A．185 B．3 C．125【变式15】（2021春•连州市期中）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于（）A．10 B．12 C．24 D．48【变式16】（2022春•河北区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．【变式17】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P．（1）求PD的长度；（2）连接PC，求PC的长度．题型二勾股定理的证明题型二勾股定理的证明【例题2】勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法．如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△ABC+S△ABD＝S△AFG+S△AEF B．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF C．S△BDH＝S△FGH D．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF+S△FGH解题技巧提炼勾股定理的证明主要是通过拼图，利用面积的关系完成的，拼图常用补拼法和叠合法两种方法，补拼时要无重叠，叠合时要无空隙；而用面积关系验证勾股定理时的关键是要找到一些特殊图形（如直角三角形，正方形等）的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的.【变式21】（2022春•三门峡期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B． C．D．【变式22】如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【变式23】（2022春•高安市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【变式24】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．36 B．76 C．66 D．12【变式25】将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长a，b，c之间的关系吗？试试看．（1）大正方形的面积可以表示为，又可以表示为，从而可得到．（2）若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？【变式26】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．题型三构造直角三角形求线段的长题型三构造直角三角形求线段的长【例题3】解题技巧提炼利用勾股定理求非直角三角形中线段长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的方法解决问题.【变式31】（2021春•齐齐哈尔月考）已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长．【变式32】（2022春•阳新县期末）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对【变式33】（2022秋•齐齐哈尔月考）如图，在△ABC中，AC＝12，∠C＝45°，∠B＝120°，求BC的长．题型四利用勾股定理作长为题型四利用勾股定理作长为n的线段【例题4】小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（）A．2.2 B．5 C．1+2 D．解题技巧提炼作长为n的线段的步骤：（1）设法将n表示成两个整数的平方和；（2）构造直角三角形，使直角三角形的两条直角边等于第一步得出的两个整数的值，斜边即为长为n的线段.【变式41】（2021秋•招远市期末）如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是﹣1和1．过点B作BC⊥AB，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是．【变式42】（2021春•崆峒区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，BC在数轴上，以B点为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则D点表示的数是．【变式43】（2022秋•鄞州区校级期中）如图，2×2方格的每一方格的边长为1个单位，依次连接各边的中点A，B，C，D，则数轴上点C对应的数是，线段CD长是，以顶点C为圆心，CD长为半径画圆交数轴于点P，则数轴上点P对应的无理数是．【变式44】（2022秋•鄞州区校级月考）如图（1）在4×4的方格中，每个小正方形的边长均为1．（1）求图（1）中正方形ABCD的面积为；边长为．（2）如图（2），若点A在数轴上表示的数是﹣1，以A为圆心，AD长为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，求点E表示的数为．题型五利用勾股定理直接求图形的面积题型五利用勾股定理直接求图形的面积【例题5】（2022春•范县期中）如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（）A．13 B．15 C．18 D．19解题技巧提炼求不规则图形的面积的方法：首先通过添加辅助线，将不规则图形转化为规则图形（如直角三角形，长方形等），然后利用规则图形的特殊性质，求出相应线段的长，最后求出面积.【变式51】（2021秋•桓台县期中）如图，求等腰三角形ABC的面积．【变式52】（2022春•桐城市期末）如图2，在△ABC中，AC＝8，AB＝4，∠BAC＝120°，求△ABC的面积．【变式53】（2021春•拱墅区校级月考）如图在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，求该四边形的面积．题型六利用图形面积之间的关系求图形的面积题型六利用图形面积之间的关系求图形的面积【例题6】（2022秋•渠县期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．12解题技巧提炼与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上的图形之和等于斜边上的图形的面积.【变式61】（2022秋•南京期末）如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝22，以边AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（）A．8 B．4 C．2 D．42【变式62】（2022秋•泗洪县期中）如图，S1、S2、S3分别是以Rt△ABC的三边为直径所画半圆的面积，其中S1＝10π，S2＝6π，则S3＝．【变式63】（2022秋•绿园区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．【变式64】下图是英国牧师佩里加尔证明勾股定理的“水车翼轮法”，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，互相垂直的线段MN，PQ将正方形BFHC分为面积相等的四部分，这四个部分和以AC为边的正方形恰好拼成一个以AB为边的正方形．若正方形ACDE的面积为5，△CQM的面积为1，则正方形CBFH的面积为（）A．11 B．12 C．13 D．14题型七用勾股定理进行证明题型七用勾股定理进行证明【例题7】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．解题技巧提炼证明线段的平方关系的方法：对于带有平方运算的问题，主要思路是找出或构造直角三角形，利用勾股定理并结合等量代换和代数中的恒等变形进行转化.【变式71】已知AD是△ABC的中线，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，试说明AC2＝AE2﹣BE2．【变式72】已知，如图，△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高，M是AD边上任意一点．求证：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．【变式73】如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．（1）若设BE＝a，CF＝b，满足a−12+|b﹣5|=m−2+2−m，求（2）求证：BE2+CF2＝EF2．（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．【变式74】（2022秋•金湖县期中）在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c．若∠C为直角，则a2+b2＝c2；若∠C为锐角或钝角，则a2+b2与c2之间有怎样的大小关系呢？我们一起进行探究吧．（1）阅读并填空：如图1，若∠C为锐角，则a2+b2＞c2．证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝BC﹣CD＝a﹣CD．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝，∴．即c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2，∴a2+b2﹣c2＝2a•CD．∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2﹣c2＞0，∴a2+b2＞c2．（2）解答问题：如图3，若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的大小关系．题型八利用勾股定理解决实际问题题型八利用勾股定理解决实际问题【例题8】（2021秋•峨边县期末）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（）A．6m B．8m C．10m D．18m解题技巧提炼生活中的一些实际问题常常通过构建数学模型（直角三角形）来求解，勾股定理在生活中应用广泛，建立的模型有时并不是已知两边求三边，而只是告诉了其中一些关系，一般可设未知数，用未知数表示它们之间的关系，然后根据勾股定理列方程解决问题.【变式81】（2021秋•高新区校级月考）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水深尺．【变式82】（2022秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【变式83】（2022