第1章三角形的证明（学生版）

第1章三角形的证明知识点01：等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.易错指导：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a的等边三角形他的高是，面积是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.知识点02：直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）易错指导：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法.知识点03：线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.易错指导：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.知识点03：角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线易错指导：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•清江浦区一模）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为​​（）A．80° B．70° C．60° D．50°2．（2分）（2023•椒江区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AC，BC，AB上，连接DE，EF，且满足CD＝DE，BE＝EF．设∠DEF＝y°，∠A＝x°，则关于x，y的关系式正确的是（）A． B．y＝180﹣2x C． D．3．（2分）（2023春•法库县期中）直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是（）A．120° B．135° C．150° D．160°4．（2分）（2023春•庐阳区校级期中）如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则∠BAC+∠DAC＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°5．（2分）（2023春•思明区校级期中）下列各组数中能作为直角三角形三边的是（）A．3，3，5 B．5，12，13 C．7，14，15 D．6，9，126．（2分）（2023春•铁西区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则CE的长为（）A．2 B．4 C． D．7．（2分）（2023春•南昌期中）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（）A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对8．（2分）（2023•阜宁县二模）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．39．（2分）（2022秋•苍溪县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．已知AB＝16，CD＝5，则△ABD的面积为（）A．80 B．40 C．20 D．1010．（2分）（2021秋•宜秀区校级期末）在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．请指出具有这种性质的点P的个数（）A．1 B．7 C．10 D．15二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•辉县市二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4，点D为BC的中点，连接AD，则点C到中线AD的距离为．12．（2分）（2023春•五华区校级期中）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周碑算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝24，则正方形EFGH的边长为．13．（2分）（2023春•瑶海区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”若AC＝BC，且，则图中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于．14．（2分）（2023春•曲江区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，，D为AB边上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过点D作DE的垂线，F为垂线上任意一点，连接EF，G为EF的中点，连接BG，则BG的最小值是．15．（2分）（2023春•市南区期中）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，若BD＝10cm，则△ADC的周长为cm．16．（2分）（2023•道里区二模）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ABD+∠CDB＝180°，AB+CD＝3，S△ABD＝2S△BCD（S△ABD表示△ABD的面积，S△BCD表示△BCD的面积），则BD的长为．17．（2分）（2022秋•道县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有．（注：把你认为正确的答案序号都写上）18．（2分）（2022秋•海安市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为．19．（2分）（2021秋•滑县期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为．20．（2分）（2022秋•湖里区校级期中）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，EF⊥AM．若∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，则∠AED＝．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（8分）（2023春•青羊区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．（1）求证：△CDM是等腰三角形；（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．22．（8分）（2023春•龙岗区校级期中）如图，AD为等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线，∠ABC＝50°，在线段AD上取一点E．使得∠ACE＝20°，在线段CE上取一点F，使得∠FBC＝10°，连接BE，AF．（1）∠EBF＝度，∠EBA＝度，∠BFE＝度；（2）求证：BA＝BF；（3）BE与AF的位置关系为（直接写出）．23．（8分）（2023春•黄埔区期中）如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为；（2）求AC+CE的最小值；（3）根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式的最小值．24．（8分）（2023春•双流区期中）如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．（1）请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由．（2）如图2，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC平行线交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系．25．（8分）（2023春•临朐县期中）阅读材料，解决问题：三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．（1）在图2中，正方形ABCD的面积可表示为，正方形PQMN的面积可表示为．（用含a，b的式子表示）（2）请结合图2用面积法说明（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系．（3）已知a+b＝5，ab＝4，求正方形EFGH的面积．26．（10分）（2023•张家口一模）等边△ABC的边长为2，P为△ABC内一点，连接BP，PC，延长PC到点D，