专题03中点模型之斜边中点模型中位线模型中点四边形模型（原卷版）

专题03中点模型之斜边中点模型、中位线模型、中点四边形模型中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1：直角三角形斜边中线模型定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，若AD为斜边上的中线，则：（1）；（2），为等腰三角形；（3），．图1图2拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）．模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）例1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则．例2．（2023·辽宁鞍山·校考三模）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边的中点，连接，，，则下列说法不正确的是（

）

A．B．C．D．四边形是平行四边形例3．（2023·江苏盐城·统考中考模拟）如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（

）A． B． C． D．例3．（2023·黑龙江·统考中考模拟）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（

）A． B． C． D．例4．（2023·江苏镇江·统考二模）如图，已知，M、N分别是中点，若，则

例5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，N是边的中点．D，E分别是边，上的动点，始终保持，M是上的中点，则的最小值为．

例6．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点．(1)若，，求的周长；(2)若是等边三角形，求的度数．

模型2：中位线模型三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE//BC且，△ADE∽△ABC。中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。例1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）在中，，分别为边，的中点，，则的长为cm.例2．（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，中，，平分，交于点E，平分，交于点F，交于点O，点G，H分别是和的中点，则的长为．

例3．（2023下·四川南充·八年级校考期中）如图，已知矩形的面积为1．分别为的中点，若四边形的面积为，分别为的中点，四边形的面积记为，…，依此类推，第n个四边形的面积记为，则．

例4．（2023下·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，，则四边形的周长为．

例5．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为．

例6．（2023·江苏镇江·统考中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作：

（1）取，的中点D，E，在边上作；（2）连接，分别过点D，N作，，垂足为G，H；（3）将四边形剪下，绕点D旋转至四边形的位置，将四边形剪下，绕点E旋转至四边形的位置；（4）延长，交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q，A，T在一条直线上；②四边形是矩形；③；④四边形与的面积相等．【任务1】请你对结论①进行证明．【任务2】如图2，在四边形中，，P，Q分别是，的中点，连接．求证：．模型3：中点四边形模型中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．如图1，已知点M、N、P、Q是任意四边形ABCD各边中点，则四边形MNPQ为平行四边形。图1图2结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，则四边形MNPQ为矩形。结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，则四边形MNPQ为菱形。图3图4结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB，则四边形MNPQ为正方形。推广与应用1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。例1．（2023·江苏·统考一模）如图，四边形中，E，F，G，H分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件．例2．（2023·江苏南通·统考二模）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（

）A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AB＝DCD．AB⊥DC例3．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加，才能保证四边形EFGH是正方形．例4．（2023下·河北廊坊·八年级统考期中）如图，任意四边形中，，，，分别是，，，上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是(

)A．当，，，是各边中点，且时，四边形为矩形B．当，，，是各边中点，且时，四边形为菱形C．当，，，不是各边中点时，四边形不可能为菱形D．当，，，不是各边中点时，四边形可能为平行四边形例5．（2023下·广东江门·八年级校考期中）如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（）

A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm例6．（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点．(1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______．课后专项训练1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，为的中位线，连接，若，则的度数为（

）．A． B． C． D．2．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（

）A． B． C． D．3．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，，点F为AC中点，是的中位线，若，则BF=（

）A．6 B．4 C．3 D．54．（2020·湖北荆州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（

）A． B． C． D．5．（2023·海南儋州·校联考模拟预测）如图，在平行四边形中，，，平分，平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（

）

A． B．2 C． D．16．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点M，N分别是边的中点，连接，若，，则的长为（

）

A．3 B． C．2 D．7．（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，在中，点D、点E分别是的中点，点F是一点，，则长为（）。

A．1 B．2 C．3 D．48．（2022·青海·统考中考真题）如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（

）A．5 B．4 C．6 D．89．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（

）A． B．3 C． D．410．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（

）A．四边形是矩形B．四边形的内角和小于四边形的内角和C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和D．四边形的面积等于四边形面积的11．（2023·西藏·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长度为（

）

A．2 B．4 C．6 D．812．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，四边形ABCD是矩形，E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH一定是（

）A．菱形B．矩形C．正方形D．对角线相等的四边形13．（2023上·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考开学考试）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（

）A．不一定是平行四边形 B．当AC＝BD时，它为菱形C．一定是轴对称图形 D．不一定是中心对称图形14．（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）下列命题中，真命题是（

）A．顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形C．顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形D．顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形15．（2023下·河北张家口·八年级统考期末）连接任意四边形各边中点得到的四边形是．对角线，满足条件时，连接四边形各边中点得到的四边形是菱形．16．（2022·四川南充·中考真题）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在外选择一点C，测得两边中点的距离为（如图），则A，B两点的距离是m．17．（2023·贵州铜仁·统考中考真题）如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为．18．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是．

19．（2023·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，在中，，是斜边上的中线，分别为的中点，若，则．20．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在中，是边上的高，、分别是和的中点，且，若，则的长为．

21．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；已知：如图，分别是的边，中点．求证：，．下面是证明的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．方法一证明：如图，延长至，使方法二证明：如图，过作交于，过作交于．22．（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）如图1，是线段上的一点，在的同侧作和，使，，，连接，点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．(1)猜想四边形的形状，直接回答，不必说明理由；(2)点在线段的上方时，如图2，在的外部作和，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形的形状，并说明理由．23．（2022下·陕西西安·八年级陕西师大附中校考期末）问题背景：△ABC和△CDE均为等边三角形，且边长分别为a，b，点D，E分别在边AC，BC上，点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，连接FG，GH，HI，IF.猜想证明：(1)如图①，判断四边形FGHI是什么特殊四边形，并说明理由．(2)当a＝6，b＝2时，求四边形FGHI的周长．拓展延伸：(3