专题08反比例函数综合题-2022年中考数学母题题源解密

专题08反比例函数综合题考向1反比例函数与一次函数的综合【母题来源】2021年中考攀枝花卷【母题题文】（2021•攀枝花）在直角坐标系中，直线yx与反比例函数y的图象在第一、三象限分别交于A、B两点，已知B点的纵坐标是﹣2．（1）写出点A的坐标，并求反比例函数的表达式；（2）将直线yx沿y轴向上平移5个单位后得到直线l，l与反比例函数图象在第一象限内交于点C，与y轴交于点D．（ⅰ）S△ABC＝S△ABD；（请用“＜”或“＝”或“＞”填空）（ⅱ）求△ABC的面积．【试题解析】（1）∵点B的纵坐标是﹣2，∴﹣2x，即x＝﹣6，B（﹣6，﹣2），把B的坐标代入y，即k＝12，∴反比例函数的表达式为y，当x时，x＝6或﹣6（舍），∴A（6，2）；（2）（ⅰ）S△ABC＝S△ABD；∵直线l是直线yx向上平移得到的，∴两条直线互相平行，∵平行线间的距离处处相等，∴S△ABC＝S△ABD；故答案为：＝；（ⅱ）由题意得，OD＝5，∴S△ABD＝S△BOD+S△AOD5×（6+6）＝30，∴S△ABC＝S△ABD＝30．【命题意图】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；模型思想。【命题方向】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，根据题意求出函数解析式是解题关键。【得分要点】反比例函数与一次函数结合的考查方式与解题方法:(1)求反比例函数与一次函数的解析式:通常先将已知交点的坐标代入反比例函数的解析式,求得反比例函数的解析式,再求另一交点的坐标,最后利用待定系数法求一次函数的解析式.(2)确定反比例函数和一次函数的交点情况或求交点坐标:通常联立反比例函数与一次函数的解析式,得关于自变量的一元二次方程,根据判别式确定交点情况;联立得到的方程组的解即为交点的横、纵坐标.(3)求图形面积:把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的图形面积,将其分割为几个较好求的图形面积.考向2反比例函数与几何图形的综合【母题来源】2021年中考湖北卷【母题题文】如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y1＝ax+b与双曲线：y2交于C，P（﹣4，﹣1）两点．（1）求双曲线y2的函数关系式及m的值；（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；（3）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．【试题解析】（1）连接AC，BD相交于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴DE＝BE，AE＝CE，AC⊥BD，∵A（2，0），C（2，m），∴E（2，m），AC∥y轴，∴BD⊥y轴，∴点D（0，m），B（4，m），∵点C（2，m），D（0，m），P（﹣4，﹣1）在直线CD上，∴，∴，∴点C（2，2），∵点C在双曲线y2上，∴k＝2×2＝4，∴双曲线的函数关系式为y2；（2）因为四边形ABCD是菱形，A（2，0），C（2，2）∴m＝2，B（4，m），∴B（4，1），由（1）知双曲线的解析式为y2；∵4×1＝4，∴点B在双曲线上；（3）由（1）知C（2，2），由图象知，当y1＞y2时的x值的范围为﹣4＜x＜0或x＞2．【命题意图】综合题；推理能力【命题方向】反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，用m表示出点D的坐标是解本题的关键．【得分要点】反比例函数与几何图形结合的考查方式与解题方法:(1)求反比例函数的解析式:通常用待定系数法求解;(2)求点的坐标:观察图形,结合已知条件进行求解;(3)求图形面积:把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的图形面积,将其分割为几个较好求图形面积的和或差.1．（2021•凉州区校级二模）如图，一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数的表达式；（2）请直接写出不等式的解集．解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数的图象上，∴k＝4×3＝12，∴反比例函数解析式为；∵，OA＝OB，点B在y轴负半轴上，∴点B（0，﹣5）．把点A（4，3）、B（0，﹣5）代入y＝kx+b中，得，解得：，∴一次函数的解析式为y＝2x﹣5；（2）令y＝2x﹣5中y＝0，则x，∴D（，0），由图象可知，不等式的解集为x＜4．2．（2021•柳江区模拟）如图，已知一次函数y＝kx+b图象与反比例函数（x＜0）图象相交于A（﹣4，），B（﹣1，m）两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．（1）求一次函数的解析式和m的值；（2）点P是线段AB上的一个动点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，请求出此时点P坐标．解：（1）∵反比例函数（x＜0）图象过点B（﹣1，m），∴m2，∴B（﹣1，2），把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数的解析式为yx；（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x），∵△PCA和△PDB面积相等，∴（x+4）|﹣1|×（2），解得x，当x时，yx，∴P点坐标是（，）．3．（2021•游仙区模拟）菱形ABCD的边AD在x轴上，C点在y轴上，B点在第一象限．对角线BD、AC相交于H，AC＝2，BD＝4，双曲线y过点H，交AB边于点E，直线AB的解析式为y＝mx+n．（1）求双曲线的解析式及直线AB的解析式；（2）求双曲线y与直线AB：y＝mx+n的交点横坐标．并根据图象直接写出不等式mx+n的解集．解：过点H作HG⊥OA于G，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AH＝CH，BH＝DH＝2，在Rt△ADH中，由勾股定理得，AD5＝CD＝CB＝AB，由三角形的面积公式得，DH•AH＝AD•HG，即25×HG，∴HG＝2，∴OC＝2HG＝4，在Rt△COD中，由勾股定理得，OD3，∴OA＝5﹣3＝2，∵HG∥OC，FH＝HC，∴OG＝AGOA＝1，∴H（1，2），∴k＝1×2＝2，∴反比例函数的关系式为y，∴A（2，0），B（5，4），则有，∴，∴直线AB的解析式为yx，答：双曲线的解析式为y，直线AB的解析式为yx；（2）双曲线y与直线yx交点的横坐标是方程x的解，解方程x得，x1，x2，由图象可得不等式mx+n的解集为x或0＜x．4．（2021•西昌市模拟）如图，一次函数y＝ax+b的图象与y轴交于点B（0，2），与x轴交于点E（，0），与反比例函数y（x＜0）的图象交于点D．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A、C落在x轴上（点A在点C的右边）．（1）求一次函数的解析式；（2）求点C和点D的坐标以及反比例函数的解析式．解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图象与y轴交于点B（0，2），与x轴交于点E（，0），∴，解得，∴一次函数的解析式为yx+2；（2）作DF⊥x轴于F，∵B（0，2），E点坐标（，0），∴OB＝2，OE，∵四边形ABCD是矩形，∴BE＝ED，∵DF⊥x轴，BO⊥x轴，∴∠DFE＝∠BOE＝90°，∵∠DEF＝∠BEO，∴△DEF≌△BEO（AAS），∴OB＝DF＝2，EF＝OE，∴OF＝OE+EF＝3，∴D（﹣3，﹣2），∵点D在反比例函数y的图象上，∴k＝6，∴反比例函数的解析式y，设OC＝AF＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，又∵DF⊥AC，∴△DCF∽△ADF，∴，即DF2＝CF•AF，∴22＝（x﹣3）•x，解得x＝4或﹣1（舍去），∴OC＝4，∴C（﹣4，0）．5．（2021•香洲区二模）在平面直角坐标系中，将Rt△AOB如图放置，O为原点，OA在x轴负半轴上，OB＝2，OA＝2，把△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD，使点B在线段CD上，反比例函数y（x＜0）的图象经过点C．（1）求k的值；（2）过点C平行于AB的直线与反比例函数y（x＜0）的图象相交于点M，求点M坐标．解：（1）过点C作CE垂直x轴，垂足为点E，∵∠AOB＝90°，AO＝2，BO＝2，∴tan∠BAO，∴∠BAO＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，由旋转可知，OB＝OD，∠D＝∠ABO＝60°，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝∠AOC＝60°，在Rt△COE中，∵OC＝OA＝2，∴CE＝CO•sin∠AOC＝23，OE＝CO•cos∠AOC＝2，∴点C坐标（，3），∴k3＝﹣3；（2）设直线AB解析式为y＝mx+n（m≠0），把点（0，2），（﹣2，0）代入得：，解得：，∴直线AB解析式为yx+2，设过点C且平行于AB的直线CM的解析式为yx+m，将点C（，）代入得：m＝4，∴直线CM解析式为yx+4，联立方程组，解得：x1＝﹣3，x2（舍去），当x＝﹣3时，y1，∴M点坐标为（﹣3，1）．6．（2021•中山市二模）如图，经过点A（1，0）的直线l与双曲线y（x＞0）交于点B（2，1），直线y＝2分别交曲线y（x＞0）和y（x＜0）于点M，N，点P（p，p﹣1）（p＞1）在直线y＝2上．连接BM，AN．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）求证：BM∥AN．（1）解：把B点的坐标（2，1）代入y，得m＝2×1＝2，设直线l的解析式是y＝kx+b（k≠0），把A、B的坐标代入y＝kx+b，得，解得：k＝1，b＝﹣1，即直线l的解析式是y＝x﹣1；（2）证明：∵P（p，p﹣1）在直线y＝2上，∴p﹣1＝2，解得：p＝3，即P点的坐标是（3，2），把y＝2代入y，得x＝1，即M点的坐标是（1，2），把y＝2代入y，得x＝﹣1，即N的坐标是（﹣1，2），∴PM＝3﹣1＝2，PN＝3﹣（﹣1）＝4，∵P（3，2），A（1，0），B（2，1），∴PB，PA2，∴，∵∠MPB＝∠NPA，∴△MPB∽△NPA，∴∠PMB＝∠PNA，∴BM∥AN．7．（2021•平泉市一模）如图，直线OC：y＝k1x与双曲线y（x＞0）交于点C（6，），且横坐标为1的点P也在双曲线y（x＞0）上，直线l经过点P，C．（1）k1＝，k2＝3；（2）求直线l的解析式；（3）设直线l与y轴交于点A，将直线OC沿射线CP方向平移至点A为止，直接写出直线OC在平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围；（4）直接写出直线l与双曲线y（x＞0）围成的区域内（图中阴影部分，不含边界）整点（横坐标和纵坐标都是整数）的坐标．解：（1）将C（6，）代入y＝k1x与y得：6k1，，解得：k1，k2＝3，故答案为：，3；（2）由（1）可得双曲线y，将x＝1代入y得y＝3，∴P（1，3），设直线l解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线l解析式为yx；（3）在yx中，令x＝0得y，∴A（0，），∴直线OC沿射线CP方向平移，平移后的直线过点A时，直线解析式为：yx，在yx中，令y＝0得x＝﹣42，∴直线OC在平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围是﹣42≤x≤0；（4）如图：由图可得：直线l与双曲线y（x＞0）围成的区域内（不含边界）整点的坐标是（2，2）、（4，1）．8．（2021•赣州模拟）如图，将一张Rt△ABC纸板的直角顶点放在C（2，1）处，两直角边BC，AC分别与x，y轴平行（BC＞AC），纸板的另两个定点A，B恰好是直线y1＝kx+5与双曲线y2（m＞0）的交点．（1）求m和k的值；（2）将此Rt△ABC纸板向下平移，当双曲线y2（m＞0）与Rt△ABC纸板的斜边所在直线只有一个公共点时，求Rt△ABC纸板向下平移的距离．解：（1）由C（2，1），两直角边BC，AC分别与x，y轴平行，可知：A（2，m），B（m，1），∴，解得：k，k＝﹣2（因为BC＞AC，舍去），∴m＝8；（2）设平移后斜边所在直线为：，∴，整理得x2﹣2bx+16＝0，∵平移后斜边所在直线与双曲线只有一个公共点，∴△＝4b2﹣64＝0，∴b＝4，b＝﹣4（不合题意，舍去），∴；∴当x＝0时，y1＝5，y2＝4，∴直角三角形纸板向下平移的距离：5﹣4＝1．9．（2021•深圳模拟）如图1，一次函数y＝kx+b与反比例函数相交于A（1，6），B（3，a）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）如图2，将线段AB向右平移t个单位长度（t＞0），得到对应线段MN．连接AM、BN．在线段AB运动过程中，若B点在MN的中垂线上，求t的值．解：（1）∵A（1，6）在反比例函数的图象上，∴6，即m＝6，∴反比例函数为y，∵B（3，a）在反比例函数y的图象上，∴a2，∴B（3，2），将A（1，6），B（3，2）代入一次函数y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+8；（2）线段AB向右平移t个单位长度（t＞0），得到对应线段MN，则M（1+t，6），N（3+t，2），∵B点在MN的中垂线上，∴BM＝BN，∴（1+t﹣3）2+（6﹣2）2＝（3+t﹣3）2+（2﹣2）2，∴t＝5．10．（2021•河源模拟）如图，将边长为5的菱形ABCD放置于直角坐标系内，顶点B，C在x轴上，反比例函数（x＜0）的图象经过点A（﹣1，a），并与线段AB交于点E（b，），反比例函数（x＞0）的图象经过点D，AD交y轴于点G．点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，分别交反比例函数图象于点M，N，（1）b＝，a＝，k＝．（2）当CM＝CN时，求P点坐标；（3）在点P运动过程中，直线AD上是否存在点Q，使以A，E，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）反比例函数（x＜0）的图象经过点A（﹣1，a），点E（b，），∴a4，，∴a＝4，b＝﹣3，∴A（﹣1，4），∵菱形ABCD的边长为5，∴AD＝5，AD∥BC，∴D（xD，4），∴xD＝4，∴D（4，4），∴k＝4×4＝16，故答案为：﹣3；4；16．（2）过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，由（1）得点D的坐标为（4，4），且CD＝5，∴DF＝4，由勾股定理得CF＝3，∴C（1，0），设点P的坐标为（0，m），∵MN∥x轴，∴M（），N（），∴1，解得：m＝6，∴点P的坐标为（0，6），（3）存在，理由如下：∵使以A，E，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，∴AE∥NQ，AE＝NQ，过N作NS⊥AD于S，过A作AR⊥ER，则△AER≌△NQS（AAS），∴AR＝NS，∵N（），∴|m﹣4|＝4，∴m或m，∴N（）或（12，）．综上N点的坐标为：（）或（12，）．11．（2021•临沂一模）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，﹣1），点A关于x轴的对称点为点C．（1）求这两个函数的表达式．（2）直接写出关于x的不等式ax+b的解．（3）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E，且30°≤∠CED≤45°，直接写出点E的横坐标t的取值范围．解：（1）∵点B（﹣2，﹣1）在反比例函数y的图象上，∴k＝﹣2×（﹣1）＝2，∴反比例函数的表达式为y；当x＝1时，m2，∴点A的坐标为（1，2）．将A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴一次函数的表达式为y＝x+1．（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴不等式的解为x≤﹣2或0＜x≤1．（3）∵点A的坐标为（1，2），点A，C关于x轴对称，∴点C的坐标为（1，﹣2）．∵点B的坐标为（﹣2，﹣1），BD⊥AC，∴点D的坐标为（1，﹣1），∴CD＝﹣1﹣（﹣2）＝1．在Rt△CDE中，CD＝1，∠CDE＝90°，30°≤∠CED≤60°，∴cos∠CED，∴DE，∴1t≤1或1t≤1．12．（2021•亭湖区校级一模）材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：①建