第2章有理数全章复习与测试

第2章有理数全章复习与测试1.有理数的概念及运算，数轴，绝对值及科学记数法的相关内容．2.重点是有理数的四则运算，3.难点是绝对值的相关运算以及有理数的混合运算．1．正数和负数1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．2．有理数1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．2、有理数的分类：①按整数、分数的关系分类：有理数；②按正数、负数与0的关系分类：有理数．注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．3．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．4．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．5．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）6．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．7．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•＝1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．8．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．9．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．10．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．（2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．11．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．12．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•（b≠0）（2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．13．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．14．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．15．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．16．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．17．计算器—有理数计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：（1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．（2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算．（3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值．（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可．（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．18．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．一．正数和负数（共3小题）1．（2022秋•常州期中）如果向南走20米记作﹣20米，那么向北走70米记作+70米．【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解答】解：根据题意可得：向南走为“﹣”，则向北走为“+”，如果向南走20米记作﹣20米，那么向北走70米记作+70米．故答案为：+70．【点评】本题考查了正数和负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．2．（2022秋•锡山区期末）如果温度上升3℃记作+3℃，那么下降8℃记作（）A．﹣5℃ B．11℃ C．﹣8℃ D．+8℃【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：因为温度上升3℃记作+3℃，那么下降8℃记作﹣8℃，故选：C．【点评】本题考查了对正数和负数的理解，要熟练掌握“正”和“负”的相对性．3．（2022秋•昆山市校级月考）下列语句正确的是（）A．“+15米”表示向东走15米 B．0℃表示没有温度 C．﹣a可以表示正数 D．0既是正数也是负数【分析】根据正负数的意义进行选择即可．【解答】解：A、“+15米”不一定表示向东走15米，原说法错误，故这个选项不符合题意；B、0℃不是没有温度，而是表示零上温度和零下温度的分界点，原说法错误，故这个选项不符合题意；C、﹣a可以表示正数，也可以表示负数，原说法正确，故这个选项符合题意；D、0既不是正数也不是负数，原说法错误，故这个选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了正数和负数，掌握正负数的意义、性质是解题的关键．二．有理数（共2小题）4．（2022秋•宝应县期中）与﹣4相等的是（）A．﹣4﹣ B．4﹣ C．﹣4 D．4+【分析】根据有理数的加减法则对各选项进行逐一计算即可．【解答】解：A、﹣4﹣＝﹣4，符合题意；B、4﹣＝3，不符合题意；C、﹣4+＝﹣3，不符合题意；D、4+＝4，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是有理数，熟知有理数的加减法则是解题的关键．5．（2022秋•东台市期中）下列各数：π，2023，，0，其中有理数的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据有理数的定义解答即可．【解答】解：在π，2023，，0中，有理数有2023，，0三个，故选：B．【点评】本题考查了有理数，掌握有理数的定义是解题的关键．三．数轴（共2小题）6．（2023•玄武区二模）数轴上表示﹣2的点与表示6的点之间的距离为8．【分析】用数轴上右边的数6减去左边的（﹣2），再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可求解．【解答】解：6﹣（﹣2）＝6+2＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了数轴上两点间的距离的求解，用右边的数减去左边的数进行计算即可，比较简单．7．（2022秋•溧水区期末）如图，数轴上点A、B、C、D所表示的数分别是a、b、c、d，若abcd＜0，ab＞cd，则原点的位置在（）A．点A的左边 B．线段AB上 C．线段BC上 D．线段CD上【分析】根据abcd＜0，ab＞cd，判断出a，b，c＜0，d＞0，即可得出原点的位置在线段CD上．【解答】解：∵abcd＜0，∴要么a＜0，b、c、d＞0，要么a，b，c＜0，d＞0，又∵ab＞cd，∴a，b，c＜0，d＞0，∴原点的位置在线段CD上．故选：D．【点评】本题考查了数轴，数形结合与明确乘法法则是解题的关键．四．相反数（共1小题）8．（2023•苏州）有理数的相反数是（）A． B． C．﹣ D．±【分析】绝对值相等，但符号不同的两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0；据此即可得出答案．【解答】解：的相反数是﹣，故选：A．【点评】本题考查相反数的定义，此为基础概念，必须熟练掌握．五．绝对值（共2小题）9．（2022秋•苏州期末）计算|x﹣1|+|x+2|的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由绝对值表示的几何意义，即可得到答案．【解答】解：∵|x﹣1|+|x+2|＝|x﹣1|+|x﹣（﹣2）|，∴|x﹣1|+|x+2|表示在数轴上点x与1和﹣2之间的距离的和，∴当﹣2≤x≤1时|x﹣1|+|x+2|有最小值3．故选：D．【点评】本题考查绝对值，关键是掌握绝对值表示的几何意义．10．（2022秋•崇川区期末）已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（）A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5【分析】根据绝对值的定义以及有理数混合运算法则进行计算即可．【解答】解：由于a，b为有理数，ab≠0，当a＞0、b＞0时，且＝2+3＝5．当a＞0、b＜0时，且＝2﹣3＝﹣1．当a＜0、b＞0时，且＝﹣2+3＝1．当a＜0、b＜0时，且＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：D．【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义，掌握有理数混合运算的方法是正确解答的前提．六．非负数的性质：绝对值（共2小题）11．（2022秋•海安市校级月考）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则ab的值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【分析】根据绝对值的非负数性质求出a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵|a+2|+|b﹣1|＝0，∴a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，则ab＝（﹣2）×1＝﹣2．故选：C．【点评】此题考查了代数式求值以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2022秋•启东市期中）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为3．【分析】根据绝对值的非负性解决此题．【解答】解：由题意得：|a﹣1|+|b﹣2|＝0．∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0．∴a＝1，b＝2．∴a+b＝1+2＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键．七．倒数（共1小题）13．（2023•沛县校级一模）﹣2023的倒数是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．【分析】根据倒数的定义解答即可．【解答】解：﹣2023的倒数是﹣．故选：D．【点评】此题考查的是倒数的定义，乘积是1的两数互为倒数．八．有理数的加法（共2小题）14．（2023•武进区校级模拟）计算：|﹣2|+2＝4．【分析】根据绝对值的性质去绝对值后计算即可．【解答】解：原式＝2+2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查有理数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．15．（2022秋•鼓楼区校级月考）在横线上填写每一步的运算依据：22+（﹣4）+（﹣2）+4；解：原式＝22+4+（﹣4）+（﹣2）加法交换律．＝（22+4）+[（﹣4）+（﹣2）]同号结合法．＝26+（﹣6）有理数加法法则．＝20【分析】应用有理数加法法则进行计算即可得出答案．【解答】解：原式＝22+4+（﹣4）+（﹣2）加法交换律．＝（22+4）+[（﹣4）+（﹣2）]同号结合法．＝26+（﹣6）有理数加法法则．＝20．故答案为：加法交换律，同号结合法，有理数加法法则．【点评】本题主要考查了有理数加法，熟练掌握有理数的加法法则进行求解是解决本题的关键．九．有理数的减法（共3小题）16．（2021秋•建湖县月考）已知|a|＝4，|b|＝1，且a、b异号，求a﹣b的值．【分析】由a与b异号，利用绝对值的意义求出a与b的值，即可求出a﹣b的值．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝1，a，b异号，∴a＝4，b＝﹣1或a＝﹣4，b＝1，则a﹣b＝4﹣（﹣1）＝5或a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5．故答案为：±5．【点评】此题考查了有理数的减法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（2022秋•秦淮区校级月考）观察下面一组等式：|2﹣1|＝2﹣1＝1，|1﹣2|＝2﹣1＝1；|（﹣2）﹣（﹣5）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3，|（﹣5）﹣（﹣2）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3；|6.4﹣（﹣3.5）|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9，|（﹣3.5）﹣6.4|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9；……解决下列问题：（1）化简|（﹣3）﹣2|的结果是5，化简|3﹣π|的结果是π﹣3；（2）求||+||+||+……+||的值．【分析】（1）根据绝对值的定义去绝对值符号即可；（2）先去绝对值符号，再把互为相反数的项合并计算即可．【解答】解：（1）|（﹣3）﹣2|＝2﹣（﹣3）＝5；|3﹣π|＝π﹣3．故答案为：5；π﹣3．（2）原式＝＝＝．【点评】本题主要考查了有理数的解法以及绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键．18．（2022秋•邗江区月考）|a|＝4，|b|＝6，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．【分析】先由绝对值性质得出a、b的值，再结合|a﹣b|＝b﹣a知a≤b，从而确定出a和b的值可能取值，再分别代入计算可得．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝6，∴a＝±4，b＝±6，又|a﹣b|＝b﹣a，∴a≤b，则a＝4，b＝6或a＝﹣4，b＝6，当a＝4，b＝6时，a+b＝4+6＝10；当a＝﹣4，b＝6时，a+b＝﹣4+6＝2；综上，a+b的值为10或2．【点评】本题主要考查有理数的减法和加法，解题的关键是掌握绝对值的性质和有理数的加减运算法则．一十．有理数的加减混合运算（共3小题）19．（2022秋•靖江市月考）计算：（1）0﹣4﹣（﹣5）；（2）﹣20﹣（﹣18）+（﹣14）+13；（3）（﹣）+（﹣）+（﹣）+；（4）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）；（5）﹣|﹣1|﹣（+2）﹣（﹣2.75）；（6）（﹣3）﹣（﹣2.4）+（﹣）﹣（+4）．【分析】（1）应用有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法，进行计算即可得出答案．（2）应用有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法，从左向右依次进行计算即可得出答案．（3）应用有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法，应用加法结合律，进行计算即可得出答案．（4）应用有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法，从左向右依次进行计算即可得出答案．（5）应用有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法，应用加法结合律进行计算即可得出答案．（6）应用有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法，应用加法结合律，同分母结合法进行计算即可得出答案．【解答】解：（1）原式＝0﹣4+5＝1；（2）原式＝﹣20+18﹣14+13＝﹣2﹣14+13＝﹣16+13＝﹣3；（3）原式＝[（﹣）+（﹣）]+[（﹣）+]＝﹣1+0＝﹣1；（4）原式＝2.7﹣8.5﹣3.4+1.2＝﹣5.8﹣3.4+1.2＝﹣9.2+1.2＝﹣8；（5）原式＝0.4﹣1.5+（2.75﹣2.25）＝0.4+（﹣1.5+0.5）＝0.4﹣1＝﹣0.6．（6）原式＝（﹣3）+（﹣）+（2﹣4）＝﹣4+（﹣2）＝﹣6．【点评】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则进行求解是解决本题的关键．20．（2022秋•兴化市校级期末）在2022年8月的北碚山火救灾中，位于山腰的2号物资集散地作为重要的物资中转站，8月21日结束时还剩矿泉水16箱，集散地矿泉水的进出情况如下表（运进记作“+”．运出记作“﹣”），经过五天奋战，8月26日结束时还剩矿泉水36箱．时间8月22日8月23日8月24日8月25日8月26日运进+54+52+40+64b运出﹣30a﹣50﹣52﹣22与前一天相比（增加记作“+”，减少记作“﹣”）+24+16﹣10+12c（1）直接写出a、b、c的值：a＝﹣36；b＝0；c＝﹣22；（2）请通过计算求出哪一天结束时2号物资集散地矿泉水数量最多？（3）由于地势陡峭，2号物资集散地矿泉水的进出运输都只能由“山城骑士”摩托车队完成，为保证安全，每位骑士一次只能运输2箱矿泉水，则需要多少人次才能完成这五天的任务？【分析】（1）根据题意可求出22日﹣26日每天结束时剩余的矿泉水数量，即可求出a，b，c的值；（2）求出22日﹣26日每天结束时剩余的矿泉水数量即可求解；（3）将22日﹣26日每天运出与运进的矿泉水数量相加再除以每位骑士一次只能运输2箱矿泉水即可求解．【解答】解：（1）∵8月21日结束时还剩矿泉水16箱，∴8月22日结束时还剩矿泉水：16+24＝40（箱），8月23日结束时还剩矿泉水：40+16＝56箱，8月23日结束时还剩矿泉水40+52+a＝56，即a＝﹣36，8月24日结束时还剩矿泉水：56+（﹣10）＝46（箱），8月25日结束时还剩矿泉水：46+12＝58（箱），8月26日结束时还剩矿泉水36箱，∴36﹣58＝﹣22，即c＝﹣22，∴b+（﹣22）＝c，即b+（﹣22）＝﹣22，解得b＝0，故答案为：﹣36，0，﹣22；（2）由（1）得8月25日结束时还剩矿泉水数量最多；（3）2号物资集散地矿泉水的进出运输数量是：54+30+52+36+40+50+64+52+22＝400，∵每位骑士一次只能运输2箱矿泉水，∴400÷2＝200，答：需要200人次才能完成这五天的任务．【点评】本题主要考查了正数和负数和有理数的混合运算，理解题意掌握正数和负数表示相反意义的量和有理数的混合运算法则是解题的关键．21．（2022秋•崇川区校级月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7；（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7﹣21|＝21﹣7；②＝0.8﹣；③＝；④＝2.8+﹣3.2；（2）用合理的方法计算：；（3）用简便的方法计算：．【分析】（1）利用题干中的方法解答即可；（2）利用（1）中的方法去掉绝对值符号后化简运算即可；（3）利用（1）中的方法去掉绝对值符号后化简运算即可．【解答】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；②|﹣+0.8|＝0.8﹣；③||＝；④|3.2﹣2.8﹣|＝2.8+﹣3.2；故答案为：①21﹣7；②0.8﹣；③；④2.8+﹣3.2；（2）原式＝+﹣＝（﹣）+（）﹣＝﹣；（3）原式＝+++••••••+＝＝＝．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，绝对值的意义，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键．一十一．有理数的乘法（共2小题）22．（2022秋•大丰区期中）阅读：一个正整数n可以分解为两个正整数p、q的积，即n＝p×q（规定p≤q），在n的所有这种分解中，如果两因数p、q之差的绝对值最小，则称p×q是n的最优分解，称为n的最优分解比．尝试：（1）24可以分解成1×24、2×12、3×8、4×6，其中4×6是24的最优分解，最优分解比为；（2）n2﹣n的最优分解是（n﹣1）×n，n2﹣n的最优分解比为；（3）请写出一个在20到40范围之间正整数：25或36，使它的最优分解比为1；探索：（4）n是一个正整数（1≤n≤10），已知n2﹣2n+9的最优分解比为，求n2﹣2n+9的最小值，写出简要过程．【分析】（1）由新定义直接可得答案；（2）由新定义可得答案；（3）完全平方数最优分解比为1，即可得到答案；（4）根据“n2﹣2n+9的最优分解比为“可知n2﹣2n+9是质数，结合1≤n≤10可得n2﹣2n+9的最小值．【解答】解：（1）24的最优分解比为＝，故答案为：；（2）n2﹣n的最优分解比为，故答案为：；（3）36＝6×6，25＝5×5，∵＝1，＝1，∴在20到40范围之间，25和36的最优分解比为1，故答案为：25或36；（4）∵n2﹣2n+9的最优分解比为，∴n2﹣2n+9是质数，∵n＝1时，n2﹣2n+9＝8不是质数，不符合题意，n＝2时，n2﹣2n+9＝9不是质数，不符合题意，n＝3时，n2﹣2n+9＝12不是质数，不符合题意，n＝4时，n2﹣2n+9＝17是质数，符合题意，∴n2﹣2n+9的最小值是17．【点评】本题考查有理数的乘法应用，涉及新定义，解题的关键是读懂新定义，理解最优分解比．23．（2022秋•泗洪县期末）已知四个互不相等的整数a、b、c、d的乘积等于14，则它们的和等于（）A．﹣5 B．5 C．9 D．5或﹣5【分析】利用有理数的乘法推测这四个数可能是什么，再计算它们的和．【解答】解：∵四个互不相等的整数a、b、c、d的乘积等于14，∴这四个数为﹣1，1，2，﹣7，或﹣1，1，﹣2，7，∴它们的和等于﹣5或5，故选：D．【点评】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法．一十二．有理数的除法（共3小题）24．（2021秋•宜兴市期末）判断一个正整数能被9整除的方法是：把这个正整数各个数位上的数字相加，如果所得的和能够被9整除，则这个正整数就能被9整除．请证明对于任意三位正整数m（100≤m≤999），这个判断方法都是正确的．【分析】设该三位数的数位后并列式表示出该数字，再进行计算推理即可．【解答】解：设一个三位正整数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c（a，b，c为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），则这个三位正整数可设为m＝100a+10b+c．由题意可知a，b，c的和能被9整除，所以可设a+b+c＝9k，其中k为正整数．所以100a+10b+c＝99a+9b+（a+b+c）＝99a+9b+9k＝9（11a+b+k）．因为a，b，k均为正整数，所以11a+b+k为正整数，所以100a+10b+c能够被9整除．即对于任意三位正整数，这个判断方法都是正确的．【点评】此题考查了有理数除法法则的应用能力，关键是能运用有理数的除法法则进行推理、计算．25．（2021秋•玄武区校级月考）有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列各题：（1）从中取出2张卡片，使卡片上的2个数乘积最大，则最大值是多少？（2）从中取出2张卡片，使卡片上的2个数相除的商最小，则最小值是多少？（3）从中取出2张卡片，使卡片上的2个数分别作为底数和指数，进行一次乘方运算，并且运算结果最大，则最大值是多少？【分析】（1）要使两数的乘积最大，两数必须是同号，然后进行计算；（2）要使两数的商最小，两数必须是异号，然后进行计算；（3）要使两数分别作为底数和指数，进行一次乘方运算，并且运算结果最大，那么指数必须是正数，然后进行计算．【解答】解：（1）（﹣3）×（﹣5）＝15，答：最大值是15；（2）（﹣5）÷3＝﹣，答：最小值是﹣；（3）（﹣5）4＝625，答：最大值是625．【点评】本题考查了有理数的乘法和有理数的除法，学生必须熟练掌握．26．（2021秋•高邮市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f（4，）＝4，f（5，3）＝；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是②．（填序号）①f（6，3）＝f（3，6）；②f（2，a）＝1（a≠0）；③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）．【分析】（1）根据题意计算即可；（2）①分别计算f（6，3）和f（3，6）的结果进行比较即可；②根据题意计算即可判断；③分为n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断；④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正；（3）推导f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可；（4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．【解答】解：（1）f（4，）＝÷÷÷＝4，f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3＝；故答案为：4；．（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3＝，f（3，6）＝6÷6÷6＝，∴f（6，3）≠f（3，6），故错误；②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确；③对于任何正整数n，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误；④对于任何正整数n，2n为偶数，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故错误；故答案为：②．（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（）n﹣2（n为正整数，a≠0，n≥2）．（4）f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）＝×9×（﹣）×16＝﹣．【点评】本题考查有理数的除法，是一道规律探究型题目，也是一道新定义型题目，难度适中，熟练掌握有理数的除法法则是解决本题的关键．一十三．有理数的乘方（共7小题）27．（2022秋•崇川区校级月考）将有理数﹣12，0，﹣3.25，，﹣|﹣12|，﹣（﹣5）放入恰当的集合中．【分析】先把﹣12，﹣|﹣12|，﹣（﹣5）化简，再把给出的有理数放到合适的集合里．【解答】解：∵﹣12＝﹣1，﹣|﹣12|＝﹣12，﹣（﹣5）＝5，∴负数集合有：﹣12，﹣3.25，﹣|﹣12|，…整数集合有：﹣12，0，﹣|﹣12|，﹣（﹣5）|，…所以【点评】本题考查了有理数的分类、相反数和绝对值的意义及有理数的乘方等知识点．按要求分类是解决本题的关键．28．（2022秋•虎丘区校级月考）（1）将下列计算的结果直接写成幂的形式：2÷2÷2＝（）1；2÷2÷2÷2＝（）2；＝33；（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）＝（﹣）4；（2）一般地，把n个a（a为有理数且a≠0，n为正整数）相除的结果记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．计算：aⓝ＝＝（）n﹣2（其中a≠0，n为正整数）．请你尝试用文字概括归纳aⓝ的运算结果：一个非零有理数的圈n次方等于它的倒数的（n﹣2）次方；（3）计算：24÷（﹣）⑤+（﹣27）×3④．【分析】（1）根据除方的定义计算即可；（2）把除法转化为乘法即可得出答案；（3）根据新定义计算即可．【解答】解：（1）2÷2÷2÷2＝2×＝（）2，＝＝33，（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）＝（﹣5）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）4，故答案为：（）2，33，（﹣）4；（2）根据除法法则aⓝ＝＝（）n﹣2（其中a≠0，n为正整数）．用文字概括归纳aⓝ的运算结果：一个非零有理数的圈n次方等于它的倒数的（n﹣2）次方；故答案为：（）n﹣2，它的倒数的（n﹣2）次方．（3）原式＝24÷（−2）3+（−27）×（）2＝24÷（﹣8）+（﹣27）×＝﹣3﹣3＝﹣6．【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘除法，体现了转化思想，掌握除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数是解题的关键．29．（2022秋•建邺区期中）某公司培养绿藻细胞制作绿藻粉，该公司制作1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞．（1）在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞继续分裂．现从1个绿藻细胞开始培养，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，求k的值．（2）已知210＝1024，请判断（1）问中的4k个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉，并说明理由．【分析】（1）由1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，可知经过15天，即360小时，分裂成418个绿藻细胞，故k之值为18；（2）根据每1克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，60亿介于232与233之间，可得制作10克的绿藻粉需要600亿个绿藻细胞，且235＜600亿＜236，又418＝（22）18＝236，即得418个绿藻细胞足够制作10公克的绿藻粉．【解答】解：（1）15天＝15×24小时＝360小时，360÷20＝18，根据题意得，4k＝418，∴k＝18；（2）（1）问中的4k个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉．理由如下：∵每1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞，∴制作10克的绿藻粉需要60×10＝600亿个绿藻细胞，∵600亿介于235与236之间，而418＝（22）18＝236，∴600亿＜418，∴418个绿藻细胞足够制作10克的绿藻粉．【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是读懂题意，根据已知找到规律求出k的值．30．（2022秋•虎丘区校级月考）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．（1）若a＜b＜0，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣b+c的值．【分析】（1）利用绝对值的意义，平方根的意义解答即可；（2）利用绝对值的意义，平方根的意义和立方根的意义解答即可；【解答】解：（1）∵|a|＝5，b2＝4，∴a＝±5，b＝±2，∵a＜b＜0，∴a＝﹣5，b＝﹣2，∴a+b＝﹣5﹣2＝﹣7；（2）∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8，∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，∵abc＞0，∴ab＜0，∴a＝5，b＝﹣2或a＝﹣5，b＝2．当a＝5，b＝﹣2，c＝﹣2时，a﹣b+c＝5﹣（﹣2）+（﹣2）＝5；当a＝﹣5，b＝2，c＝﹣2时，a﹣b+c＝﹣5﹣2+（﹣2）＝﹣9，综上，a﹣b+c的值为5或﹣9．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的意义，平方根的意义和立方根的意义，利用绝对值的意义，平方根的意义和立方根的意义求得a，，b，c的值是解题的关键．31．（2022秋•江宁区校级月考）阅读材料：根据乘方的意义可得：24＝2×2×2×2；34＝3×3×3×3；（2×3）4＝（2×3）×（2×3）×（2×3）×（2×3）＝（2×2×2×2）×（3×3×3×3），即24×34＝（2×3）4通过观察上面的计算过程，完成以下问题：（1）计算：22022×32022＝62022；猜想：an•5n＝（5a）n；（2）根据上述提供的信息，计算：（﹣0.125）2021×82022．【分析】（1）根据积的乘方解决此题．（2）根据积的乘方解决此题．【解答】解：（1）22022×32022＝（2×3）2022＝62022；an•5n＝（5a）n．故答案为：62022；（5a）n．（2）（﹣0.125）2021×82022＝＝＝（﹣1）2021×8＝﹣1×8＝﹣8．【点评】本题主要考查乘方，熟练掌握积的乘方是解决本题的关键．32．（2022秋•江都区月考）若有理数x，y满足x2＝64，|y|＝2，（1）求x、y的值；（2）若x＞y，求x+y的值．【分析】（1）利用有理数的乘方的定义、绝对值的定义计算即可；（2）根据题意确定x、y的值，代入求代数式的值即可．【解答】解：（1）∵x2＝64，∴x＝±8，∵|y|＝2，∴y＝±2；（2）∵x＞y，∴x＝8时，y＝±2，∴x+y＝8+2＝10，或x+y＝8﹣2＝6，∴x+y＝10或6．【点评】本题考查了实数的运算，做题的关键是掌握有理数的乘方的定义、绝对值的定义．33．（2022秋•鼓楼区校级月考）规定：F（1）＝﹣3，F（2）＝（﹣3）×（﹣3），F（3）＝（﹣3）×（﹣3）×（﹣3），…F（n）＝．（1）计算：F（3）+F（4）＝﹣2187；（2）求3×F（99）+F（100）的值；（3）直接写出2×F（2022）+F（2023）＝﹣32022．【分析】（1）根据题意，列出等式，再根据乘方的定义解决此题．（2）根据题意，列出等式．再根据乘方解决此题．（3）根据题意列出等式，再根据乘方的定义解决此题．【解答】解：（1）由题意得，F（3）+F（4）＝（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）+（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）＝﹣27+81＝54．故答案为：54．（2）3×F（99）+F（100）＝3×+＝﹣3100+3100＝0．（3）2×F（2022）+F（2023）＝2×+（＝2×32022+（﹣3）×（﹣3）2022＝2×32022﹣3×32022＝﹣32022．故答案为：﹣32022．【点评】本题主要考查乘方，熟练掌握乘方的定义是解决本题的关键．一十四．有理数的混合运算（共6小题）34．（2022秋•惠山区校级期末）计算：（1）；（2）．【分析】（1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解．（2）根据含有乘方的有理数的混合运算进行计算即可求解．【解答】解：（1）＝﹣12+25＝13；（2）＝＝﹣1+1＝0．【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．35．（2022秋•宝应县期末）计算：（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）；（2）．【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可；（2）先算乘方和括号内的式子，然后算乘除法，最后算减法即可．【解答】解：（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）＝7+4+（﹣5）＝6；（2）＝﹣1﹣×（﹣）＝﹣1+＝﹣．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．36．（2022秋•镇江期中）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：1*3＝12﹣3+1×3＝1．（1）求（﹣3）*（﹣2）的值；（2）求（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]的值．【分析】（1）根据新运算的定义列出算式（﹣3）*（﹣2）＝（﹣3）2﹣（﹣2）+（﹣3）×（﹣2），再进一步计算即可；（2）原式变形为（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]＝（﹣2）*17，再进一步计算即可．【解答】解：（1）（﹣3）*（﹣2）＝（﹣3）2﹣（﹣2）+（﹣3）×（﹣2）＝9+2+6＝17；（2）（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]＝（﹣2）*17＝（﹣2）2﹣17+（﹣2）×17＝4﹣17﹣34＝﹣47．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．37．（2022秋•句容市月考）问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为8cm．（2）图中点A所表示的数是14，点B所表示的数是22．实际应用：由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：（3）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦!”请问妙妙现在多少岁了？【分析】（1）由题意可得数6与数30之间的线段的长等于AB的三倍，根据这一关系可求结论；（2）利用AB＝8，用6+8和30﹣8即可得出结论；（3）依题意仿照（1）方法得到两端的数字为﹣35，115，则115﹣（﹣35）为奶奶年龄的三倍，则奶奶年龄可求，妙妙的年龄为50﹣35．【解答】解：（1）由题意可得：数6与数30之间的线段的长等于AB的三倍，∴AB＝（30﹣6）÷3＝8．故答案为：8；（2）∵AB＝8，∴点A表示的数为：6+8＝14，点B表示的数为：30﹣8＝22，故答案为：14，22；（3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为（﹣35）岁，所以奶奶与妙妙的年龄差为[115﹣（﹣35）]÷3＝50（岁），所以妙妙现在的年龄为115﹣50﹣50＝15（岁）．【点评】本题主要考查了数轴，实数的混合运算，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键．38．（2021秋•东海县期中）概念学习：现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．初步探究：（1）直接写出计算结果：3②＝1；（﹣）③＝﹣3；（2）下列关于除方说法中，错误的有D；（在横线上填写序号即可）A．任何非零数的圈2次方都等于1B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数D．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1．深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）归纳：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为：aⓝ＝；（4）比较：（﹣2）⑩＞（﹣4）⑩；（填“＞”“＜”或“＝”）（5）计算：﹣1③+142÷（﹣）①×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（）④．【分析】（1）根据题意，可以分别计算出所求式子的值；（2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题；（3）根据题意，可以计算出所求式子的值；（4）根据题意，可以分别计算出两个式子的值，然后比较大小即可；（5）根据题意，可以求出所求式子的值．【解答】解：（1）由题意可得，3②＝3÷3＝1，（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣3）×（﹣3）＝﹣3，故答案为：1，﹣3；（2）任何非零数的圈2次方都等于1，故选项A正确，不符合题意；任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，故选项B正确，不符合题意；负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故选项C正确，不符合题意；圈n次方等于它本身的数是1，﹣1的圈偶数次方等于1，﹣1的圈奇数次方等于﹣1，故选项D错误，符合题意；故选：D；（3）有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为：aⓝ＝a÷a÷a÷…÷a＝a•••…•＝，故答案为：；（4）（﹣2）⑩＝（﹣）8＝，（﹣4）⑩＝（﹣）8＝，∵＞，∴（﹣2）⑩＞（﹣4）⑩，故答案为：＞；（5）﹣1③+142÷（﹣）①×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（）④＝﹣1+196÷（﹣）×（﹣）4+48÷72＝﹣1+196×（﹣2）×+48÷49＝﹣1﹣+＝﹣．【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值．39．（2022秋•宿城区期中）如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．（1）根据上述规定，填空：（2，8）＝3，（﹣5，25）＝2；（2）若（x，16）＝2，则x＝±4；（3）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．【分析】（1）据题意，由23＝8，（﹣5）2＝25可求得此题结果；（2）由（±4）2＝16可得（±4，16）＝2，从而得到此题结果是±4；（3）由42＝16，23＝8可得，a＝16，b＝2，又由24＝16，可求得此题结果为4．【解答】解：（1）∵23＝8，（﹣5）2＝25，∴（2，8）＝3，（﹣5，25）＝2，故答案为：3，2；（2）∵（±4）2＝16，∴（±4，16）＝2，故答案为：±4；（3）∵42＝16，23＝8，∴（4，16）＝2，（2，8）＝3，∴a＝16，b＝2，又∵24＝16，∴（b，a）＝（2，16）＝4．【点评】此题考查了在新定义题型中进行有理数的运算能力，关键是能准确理解和运用新定义进行运算．一十五．无理数（共2小题）40．（2022秋•常州期末）下列各数中，无理数是（）A． B． C．﹣3 D．0【分析】根据无理数的定义解答即可．【解答】解：A．是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意；B．是无理数，故本选项符合题意；C．﹣3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；D．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．41．（2022秋•江都区期末）下列数中是无理数的是（）A．2π B．3.1415926 C． D．﹣3【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．【解答】解：A．2π是无理数，故本选项符合题意；B．3.1415926是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；C．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；D．﹣3是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括以下三方面的数：①含π的，如2π，②开方开不尽的根式，如，③一些有规律的数，如0.010010001...．一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）下面说法正确的是（）A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数【分析】根据大于零的数是正数，小于零的数是负数，可得答案．【解答】解：0既不是正数，也不是负数，故选项A、B、C不合题意，选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了正数和负数，大于零的数是正数，小于零的数是负数，注意0既不是正数也不是负数．2．（2分）唐代嘉兴屯田27处，“浙西三屯，嘉禾为大”，嘉兴已成为中国东南重要产粮区．其中的自然数27属于（）A．计数 B．测量 C．标号 D．排序【分析】27表示屯田的数量，属于计数．【解答】解：自然数27属于计数．故选：A．【点评】本题考查有理数，做此题的关键在于理解计数、测量、标号、排序的区别．3．（2分）﹣的倒数是（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】根据倒数的定义即可求解．【解答】解：﹣的倒数是﹣．故选：C．【点评】主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用．4．（2分）人工智能AlphaGo因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石九段而声名显赫．它具有自我对弈学习能力，决战前已做了两千万局的训练（等同于一个人近千年的训练量）．此处“两千万”用科学记数法表示为（）A．0.2×107 B．2×107 C．0.2×108 D．2×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将“两千万”用科学记数法表示为：2×107，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（2分）﹣（﹣5）的绝对值是（）A．﹣5 B．5 C． D．【分析】根据相反数和绝对值的意义求解．【解答】解：∵﹣（﹣5）＝5，而|5|＝5，∴﹣（﹣5）的绝对值是5．故选：B．【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，|a|＝a；若a＝0，|a|＝0；若a＜0，|a|＝﹣a．也考查了相反数．6．（2分）若＝0，则下列结论中成立的是（）A．a，b是一对均不等于0的相反数 B．a，b互为倒数 C．a＝0或b＝0 D．a＝0且b＝0【分析】根据倒数和相反数的定义判断即可．【解答】解：∵＝0，∴a+b＝0，ab≠0，∴a，b是一对均不等于0的相反数，故选：A．【点评】本题考查了倒数和相反数的定义，熟练掌握倒数和相反数的定义是解题的关键．7．（2分）下列说法正确的有（）①所有的有理数都能用数轴上的点表示；②符号不同的两个数互为相反数；③有理数分为正数和负数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两数相加，和一定大于任何一个加数．A．4个 B．2个 C．1个 D．3个【分析】分别利用有理数的加减运算法则和互为相反数的定义以及数轴分别分析得出答案．【解答】解：①所有的有理数都能用数轴上的点表示，说法正确；②只有符号不同的两个数叫做互为相反数，故此选项错误；③有理数分为正数和负数、零，故此选项错误；④两数相减，差一定小于被减数，两负数相减的不同，故此选项错误；⑤两数相加，和一定大于任何一个加数，异号两数相加，则不同，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了有理数的加减运算法则和互为相反数的定义以及数轴，正确把握相关定义是解题关键．8．（2分）现规定一种新的运算：a△b＝ab﹣a+b，则2△（﹣3）＝（）A．11 B．﹣11 C．6 D．﹣6【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝﹣6﹣2﹣3＝﹣11，故选：B．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2分）已知数轴上A、B两点对应的数分别为﹣3、﹣6，若在数轴上找一点C，使得点A、C之间的距离为4；再在数轴找一点D，使得点B、D之间的距离为1，则C、D两点间的距离不可能为（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】由数轴上两点的距离等于两点对应数差的绝对值求出距离为0、2、6、8，不符合题意的为C答案．【解答】解：如图所示：由上图可知：A点对应的数为﹣3，设点C对应的数为x，则有，|x﹣（﹣3）|＝4，解得：x＝1或x＝﹣7，又∵B点对应的数﹣6，点D对应的数为y，则有，|y﹣（﹣6）|＝1，解得：y＝﹣5，或y＝﹣7，∴CD＝0或CD＝2或CD＝6或CD＝8，故选：C．【点评】本题综合考查了数轴上的点与实数一一对应关系，数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值等知识点，重点掌握求数轴上两点之间的距离的方法，易错点就是求点对应的数时不重不漏．10．（2分）如图，在数轴上，点P表示﹣1，将点P沿数轴做如下移动，第一次点P向右平移2个单位长度到达点P1，第二次将点P1向左移动4个单位长度到达P2，第三次将点P2向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点Pn，给出以下结论：①P5表示5；②P12＞P11；③若点Pn到原点的距离为15，则n＝15；④当n为奇数时，|Pn﹣Pn﹣1|＝2Pn；以上结论正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④【分析】先根据数轴的定义分别求出P1，P2，P3，P4，P5表示的数，再总结出Pn的规律，然后逐个判断即可．【解答】解：由题意知，点P1表示的数是﹣1+2＝1，点P2表示的数是1﹣4＝﹣3，点P3表示的数是﹣3+6＝3，点P4表示的数是3﹣8＝﹣5，点P5表示的数是﹣5+10＝5，点P6表示的数是5﹣12＝﹣7，...，∴当n为奇数时，Pn＝n，当n为偶数时，Pn＝（﹣1）n﹣1（n+1），其中n为正整数，∴①P5表示5，正确；∵P11＝11，P12＝﹣13，∴②P12＞P11，不正确；由前面的规律知Pn＝15时，n有奇数和偶数两种情况，∴③若点Pn到原点的距离为15，则n＝15，不正确；④当n为奇数时，|Pn﹣Pn﹣1|＝|n﹣（﹣1）n﹣1+1（n﹣1+1）|＝|n+n|＝2n＝2Pn，∴④正确，故选：D．【点评】本题主要考查数字的变化规律，归纳出Pn的规律是解题的关键．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．（2分）若a与（b+c）互为相反数．则a+b+c＝0．【分析】根据互为相反数的和为零，可得a+（b+c）的值，去括号可得答案．【解答】解：∵a与（b+c）互为相反数．∴a+（b+c）＝0，∴a+b+c＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了相反数，利用互为相反数的和为零得出a+（b+c）的值是解题关键．12．（2分）比较大小：﹣4＜﹣1（在横线上填“＜”、“＞”或“＝”）．【分析】根据有理数大小比较的法则进行比较即可．【解答】解：∵|﹣4|＞|﹣1|，∴﹣4＜﹣1．故答案为：＜．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．13．（2分）大于﹣4且小于3.2的所有整数的和等于0．【分析】大于﹣4而小于3.2的整数有：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，将这几个数加起来就可以求出其和．【解答】解：由题意得：大于﹣4而小于3.2的整数有：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，∴（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了有理数的加法计算，还涉及到了有理数大小的比较，将指定范围内的有理数求和．14．（2分）若|a|＝|﹣7|，则a的值为±7．【分析】根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．【解答】解：因为|a|＝|﹣7|，所以a＝±7．故答案为：±7．【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．15．（2分）若点C在数轴上，满足AC：BC＝1：3，则点C对应的数是﹣26或﹣5．【分析】分C在A的左边或C在A，B两点之间两种情况进行讨论，根据AC：BC＝1：3列出方程即可求解．【解答】解：如果C在A的左边，根据题意得16﹣x＝3（﹣12﹣x），解得x＝﹣26；如果C在A，B两点之间，根据题意得16﹣x＝3[x﹣（﹣12）]，解得x＝﹣5．答：点C对应的数是﹣26或﹣5．故答案为：﹣26或﹣5．【点评】考查了数轴、一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．16．（2分）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝3，则最后输出的结果是19．【分析】根据题意可知，该程序计算是先乘以3，再减去2，若结果大于10，则就是所求，若小于等于10，则重新进行计算．【解答】解：输入x＝3，∴3x﹣2＝3×3﹣2＝7＜10，所以应将7再重新输入计算程序进行计算，即3×7﹣2＝19．故应填19．【点评】解题关键是弄清题意，根据题意把x的值代入，按程序一步一步计算．17．（2分）有理数﹣2018的绝对值是2018．【分析】根据求绝对值的方法即可得出结论，【解答】解：|﹣2018|＝2018，故答案为2018．【点评】此题主要考查了绝对值的求法，掌握求绝对值的方法是解本题的关键．18．（2分）已知在数轴上A点表示的数为﹣3，则与A点相隔18个单位长度的点表示的数为15或﹣21．【分析】分两种情况进行解答，在点A的左侧、右侧，分别用﹣3+18和﹣3﹣18进行计算即可．【解答】解：A点表示的数为﹣3，在点A的左侧18个单位长度所表示的数为﹣3﹣18＝﹣21，在点A的右侧18个单位长度所表示的数为﹣3+18＝15，故答案为：﹣21和15．【点评】考查数轴表示数的意义，理解符号和绝对值是确定有理数的两个基本条件．三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分）19．（8分）把下列各数的序号填入相应的括号内．①10，②﹣π，③，④﹣3.14，⑤，⑥0，⑦，⑧﹣1，⑨，⑩1.010010001．整数集合{①⑥⑧…}；负分数集合{④…}；正有理数集合{①③⑦⑩…}；无理数集合{②⑤⑨…}．【分析】根据实数的分类标准解决此题．【解答】解：＝0.1，＝．根据整数的定义，整数有10、0、﹣1．根据负分数的定义，负分数有﹣3.14．根据正有理数的定义，正有理数有10、、、1.010010001．根据无理数的定义，无理数有﹣π、、．故答案为：①⑥⑧；④；①③⑦⑩；②⑤⑨．【点评】本题主要考查实数的分类，熟练掌握实数的分类标准是解决本题的关键．20．（6分）把下列各数在数轴上表示出来，并将它们按从小到大的顺序用“＜”连接起来：﹣（﹣4），﹣|﹣6|，0，﹣1.5，3．【分析】根据数轴上点的表示方法，可直接得出答案．【解答】解：（1）如图所示；（2）﹣|﹣6|＜﹣1.5＜0＜3＜﹣（﹣4）．【点评】本题考查了有理数的大小比较，数轴，把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．21．（18分）计算：（1）﹣8+4÷（﹣2）；（2）；（3）﹣32÷+÷（﹣2）2．【分析】（1）首先计算除法，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．（2）应用乘法分配律，求出算式的值是