热点01二次函数系数与图像的关系

热点01二次函数系数与图像的关系近几年四川中考看，在选择题中对二次函数的系数与图像之间的关系考查一直是必考点，在解此类题型时，需要考生熟练掌握二次函数解析式中系数a，b，c分别代表的含义，将其与二次函数图像联系起来。同时，解决此类题型中不等式的问题，应熟练运用赋值法、消元法等等。二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．【中考真题】1．（2022·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（

）A． B．当时，的值随值的增大而增大C．点的坐标为 D．【答案】D【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；D、根据可知，当时，，故该选项符合题意；故选：D．2．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】∵对称轴为直线x=1，2<x1<1，∴3＜x2＜4，①正确，∵=1，∴b=2а，∴3a＋2b=3a4a=a，∵a＞0，∴3a+2b<0，②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b24ac>0，根据题意可知x=1时，y<0，∴a－b＋c<0，∴a＋c<b，∵a＞0，∴b=2a<0，∴a＋c<0，∴b24ac>a+c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c<0，∴a>c，∵ab＋c<0，b=2a，∴3a+c<0，∴c<3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④错误；故选B3．（2022·四川广安·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1<y2<y3．其中正确结论的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：由图象可知，开口向上，图象与y轴负半轴有交点，则，，对称轴为直线，则，∴，故①正确；当时，，∵，∴，即∴，故②错误；∵对称轴为直线，∴抛物线与x轴负半轴的交点为（，0），∴，∵，两式相加，则，∴，故③错误；∵，，，∴，∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有，故④正确；∴正确的结论有2个，故选：B4．（2022·四川达州·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有成立；④若，，在该函数图象上，则；⑤方程（，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】二次函数的部分图象与y轴交于，对称轴为直线，抛物线开头向上，，，，故①正确；令，解得，由图得，，解得，故②正确；，可化为，即，，若成立，则，故③错误；当时，随的增大而减小，，，对称轴为直线，时与时所对应的值相等，，故④错误；（，k为常数）的解，是抛物线与直线y=±k的交点的横坐标，则（，k为常数）解的个数可能有2个，3个或4个，根据抛物线的对称性可知，当有3个或4个交点时，（，k为常数）的所有解的和是4，当有2个交点时，即k=0时，（，k为常数）的所有解的和是2，故⑤错误；综上，正确的个数为2，故选：A．5．（2022·四川广元·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【详解】解：由图象及题意得：，对称轴为直线，与x轴的一个交点为，∴，∴，即，∴，故（1）（3）正确；由图象可知当x=2时，则有，即，故（2）错误；∵点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，∴，故（4）错误；由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为，∴当x=m时，（m为常数），则有，∴，即为，故（5）正确；综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；故选C．【模拟题】1．（2022·四川达州·一模）二次函数的部分图象如图，图象过点（2，0）对称轴为直线x=1，下列结论：①<0；②=0；③>0；④当y>0时，的取值范围是；⑤>3b，其中正确的结论序号为（

）A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④【答案】B【详解】解：①由图象可得c＞0，，∵x==1，∴，∴abc＜0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x==1，∴b=2a，即2a+b=0，故②错误；③∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b24ac＞0，故③正确；④∵抛物线与x轴的交点的一个坐标为（2，0），对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），∴当y>0时，x的取值范围是−2<x<4，故④正确；⑤∵当x=3时，y＜0，∴9a3b+c＜0，即9a+c＜3b，故⑤错误；综上分析可知，①③④正确，故B正确．故选：B．2．（2022·四川成都·二模）如图，二次函数的图象过点（1，0），对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（

）A． B．C．函数的最小值为 D．【答案】D【详解】解：∵抛物线对称轴为直线x=1，∴．∴b=2a．∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0．∴b＞0．∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c＜0．∵a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0．∴A的结论正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ=b24ac＞0．∴B的结论正确；∵抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=1，∴当x=1时，函数有最小值ab+c．∴C的结论正确；∵次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0），对称轴为直线x=1，∴根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．∴当时，4a2b+c＜0．∴D的结论不正确．故选：D．3．（2022·四川广元·一模）抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，下列五个结论：①一元二次方程的两根为，；②若点，在该抛物线上，则；③对于任意实数t，总有；④；⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是（

）A．①③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①③④【答案】D【详解】解：抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点一元二次方程的两根为，；故①正确；，经过，两点则当时，对称轴为开口向下的抛物线，离抛物线对称轴越远的点的函数值越小，点，在该抛物线上，故②不正确对称轴为，顶点坐标为，抛物线开口向下，存在最大值对于任意实数t，总有即故③正确对称轴，时，，，，即，即，故④正确对称性可知方程的根为整数，存在3对整数解，分别为或或，则的值有3个，故⑤不正确综上分析可得，正确的结论是：①③④，故选：D4．（2022·四川·石室中学一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，下列说法不正确的是（

）A．abc＜0 B．2a﹣b＝0C．3a+c＝0D．若(﹣5，y1)，(3，y2)是抛物线上两点，y1＞y2【答案】D【详解】解：A、∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以A正确，不符合题意；B、∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴2a﹣b＝0，所以B正确，不符合题意；C、∵x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c=0，∵b＝2a，∴9a﹣6a+c=0，即3a+c=0，所以C正确，不符合题意；D、∵点(﹣5，y1)离对称轴的距离等于点(3，y2)离对称轴的距离，∴y1=y2，所以D错误，符合题意．故答案为：D．5．（2022·四川眉山·一模）二次函数＝＋＋（≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（

）A．＜0 B．＋＞(＋)（≠1）C．4－2＋＜0 D．3＋＝1【答案】D【详解】解：A.∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x==1，即b=2a，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以A正确，不符合题意；B.∵x=1时，函数值最大，最大值为a+b+c，∴a+b+c＞am2+mb+c（m≠1），即a十b＞m（am+b），所以B正确，不符合题意；C.当x=2时，4－2＋＜0，故C正确，不符合题意；D.当x=1时，ab+c＜0，又∵b=2a，得到3a+c＜0，故D错误，符合题意故选：D6．（2022·四川·雅安中学一模）如图，二次函数的图象经过点（－1，2），且与x轴交点的横坐标分别为、，其中－2＜x1＜－1，0＜x2＜1，下列结论：①＜0；②；③1＜＜0；④；⑤＜1．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴，∴，∵与x轴交点的横坐标分别为、，其中－2＜x1＜－1，0＜x2＜1，∴对称轴，即，，，，故①错误，②，，，即，故②正确，④由于抛物线的对称轴x=＞1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，∵二次函数的图象经过点（－1，2），∴，即与x轴交点的横坐标分别为、，其中－2＜x1＜－1，0＜x2＜1，时，，，故⑤正确当时，，，故③不正确故选B7．（2022·四川南充·一模）如图，抛物线y＝a2＋bx＋c的对称轴为，经过点（﹣2，0），下列结论：①a＝b；②abc＜0；③；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，当时，y1＜y2；⑤m为任意实数，都有a（4m2﹣1）＋2b（2m＋1）≤0．其中正确结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【详解】（1）由图象知．又对称轴，∴．则．∴①正确．②正确．（2）由对称性得与x轴另一交点为，则．由，可得．．∴③正确．（3）时，y随x的增大而增大．∴④错误．（4）由图象可知当时，函数值最小．∴．∴．∴．∴⑤错误．综上，说法正确的有3个，故选：B．8．（2022·四川·泸州市第二十八初级中学校一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2如，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0；②2a+b＞0；③b2+8a＞4ac；④a＜﹣1．其中结论正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为0＜x=＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，故②错误而抛物线与x轴有两个交点，∴b24ac＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2．∵＞2，∴4acb2＜8a，∴b2+8a＞4ac，故③正确∵函数经过点（1，2），∴a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，∵当时，，时，∴4a+2b+c＜0，ab+c＜0．故①正确∴2a+2c＜2，2ac＜4，∴4a2c＜8，∴6a＜6，∴a＜1．故选C．9．（2022·四川·岳池县教研室二模）如图，抛物线的对称轴为，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B图象即可判定④；当时，从函数图象可得函数值，将代入化简即可判断⑤．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，对称轴，∴，∴，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴，∴，故①错误；由函数图像与y轴交点可知，，当时，从函数图象可知：，即，∵，∴，即，∴，故②正确；当时，代入解析式可得：，从函数图象可知：，即，故③错误；当时，，当时，，且，根据图象可得：当时，y取到最大值，∴，即，故④正确；当时，从函数图象可得函数值，∵，即，代入，可得，，，即，故⑤正确；综合可得：②④⑤正确，故选：B．10．（2022·四川·珙县孝儿镇初级中学校一模）如图是二次函数的图象，对于下列说法：①；②；③；④；⑤当时，y随x的增大而减小．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④【答案】C【详解】解：∵开口方向向上，∴a>0，∵抛物线与y轴的交点得出c<0，则ac<0，故①错误；由对称为直线x=<1，又∵a>0，∴b<2a，∴2a+b>0，故②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ=b24ac>0，∴4ac<b2，故③正确；由图可知当x=1时，y<0，即a+b+c<0，故④正确；由图可知当0<x<时，y随x的增大而减小．当x>时，y随x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．11．（2022·四川广安·三模）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确结论的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【详解】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，所以abc＜0．①错误．②∵抛物线对称轴为直线x=，∴b=2a，即2a+b=0，故②正确；③∵抛物线对称轴为直线x=1，∴函数的最大值为：a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，故③错误；④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x=1，∴（3，0）关于直线x=1的对称点为（1，0），抛物线与x轴的另一个交点在（1，0）的右侧∴当x=1时，y＜0，∴ab+c＜0，故④错误；⑤∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1ax22bx2=0，∴a（x1+x2）（x1x2）+b（x1x2）=0，∴（x1x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=，∵b=2a，∴x1+x2=2，故⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：A．12．（2022·四川德阳·一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＜0，其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：①∵由抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴位于y轴的左侧，∴a、b同号，即ab＞0．∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，∴①正确；②如图，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，∴②正确；③对称轴为x＝﹣＞﹣1，即＜1，∵a＜0，∴b＞2a，即2a﹣b＜0，∴③错误；④当x＝1时，y＝a+b+c＝0，又∵b＞2a，∴a+b+c＝0＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0．∴④正确．综上所述，正确的结论有①②④共3个，故选：C．13．（2022·四川·宁南县初级中学校一模）平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④（为实数）；⑤．其中正确的结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】抛物线的开口向上，且与y轴的交点位于y轴负半轴上，，其对称轴为，，，则结论①正确，时，，，即，，则结论②错误，由二次函数的对称性可知，当时，，即，则结论③正确，由二次函数的性质可知，当时，y取得最小值，最小值为，当时，，，即，则结论④正确，抛物线与x轴有两个交点，关于x的方程有两个不相等的实数根，此方程的根的判别式，，则结论⑤正确，综上，正确的结论的个数是4，故选：C．14．（2022·四川广安·二模）对称轴为直线x＝1的抛物线（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a＋2b＋c＞0，④3a＋c＞0，⑤a＋b≤m(am＋b)（m为任意实数），⑥当x＜－1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∵=1，∴b=2a＜0，∴abc＞0，故①错误；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b24ac＞0，故②正确；③当x=2时，y=4a+2b+c＜0，故③错误；④当x=1时，y=ab+c=a（2a）+c＞0，∴3a+c＞0，故④正确；⑤当x=1时，y取到值最小，此时，y=