2025版高考数学一轮复习练案57第八章解析几何第九讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系含解析新人教版

第九讲圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系A组基础巩固一、单选题1．(此题为更换后新题)若直线y＝kx＋2与椭圆eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是(D)A．m>1 B．m>0C．0<m<4且m≠1 D．m≥4且m≠7[解析]直线y＝kx＋2恒过定点(0,2)，若直线y＝kx＋2与椭圆eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则点(0,2)在椭圆eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,m)＝1内部或在椭圆上，所以eq\f(4,m)≤1，由方程eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,m)＝1表示椭圆，则m>0且m≠7，综上知m的取值范围是m≥4且m≠7.1．(此题为发觉的重题，更换新题见上题)若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是(D)A．m>1 B．m>0C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5[解析]直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则点(0,1)在椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1内部或在椭圆上，所以eq\f(1,m)≤1，由方程eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1表示椭圆，则m>0且m≠5，综上知m的取值范围是m≥1且m≠5.2．(2024·湖北武汉部分学校质检)过抛物线E：y2＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|＝(C)A．2 B．eq\f(5,2)C．3 D．4[解析]设A、B两点的横坐标分别为x1，x2，故|AB|＝x1＋x2＋p＝2＋1＝3，故选C．3．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1交于A，B两点，且|AB|＝8eq\r(2)，则实数k的值为(B)A．±eq\r(7) B．±eq\r(3)或±eq\f(\r(41),3)C．±eq\r(3) D．±eq\f(\r(41),3)[解析]由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－eq\f(y2,4)＝1，得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4×(4－k2)×5>0，k2<5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2k,4－k2)，x1x2＝－eq\f(5,4－k2)，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,4－k2)))2＋\f(20,4－k2))＝8eq\r(2)，解得k＝±eq\r(3)或±eq\f(\r(41),3).4．(2024·河南豫东联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝eq\f(1,2)，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆的方程为(A)A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,2)＋y2＝1 D．eq\f(x2,4)＋y2＝1[解析]依题意，可设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1.又离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故选A.5．(2024·重庆名校联盟调研抽测)过抛物线y2＝2x上一点A(2,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC，分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的斜率为(D)A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)[解析]依题意，可设直线AB的方程为y－2＝k(x－2)，则直线AC的方程为y－2＝－k(x－2)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)(y1≠2，y2≠2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y－2＝kx－2，))得y1＝eq\f(2－2k,k).同理，得y2＝eq\f(2＋2k,－k).所以直线BC的斜率为eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y2－y1,\f(1,2)y\o\al(2,2)－\f(1,2)y\o\al(2,1))＝eq\f(2,y2＋y1)＝－eq\f(1,2).故选D.6．(2024·山东聊城二模，6)已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(D)A．y＝x－1 B．y＝－2x＋5C．y＝x＋3 D．y＝2x－3[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1①，,y\o\al(2,2)＝4x2②，))①－②得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝eq\f(4,2)＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.7．(2024·广东深圳调研)设F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2⊥F1F2，则椭圆C的离心率为(C)A．eq\f(\r(3)－1,2) B．eq\f(\r(3)－1,3)C．eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(2),2)[解析]设M(c，y0)，则MF1的中点为Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y0,2)))，即N在y轴上，N又在直线AB上，即点N与B重合，AB⊥BF1⇒kABkBF1＝－1⇒eq\f(b,a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,c)))＝－1.故b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒e2＋e－1＝0，∴e＝eq\f(\r(5)－1,2)，选C．8．(2024·吉林长春质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点(点A在第一象限)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝4eq\o(FB,\s\up6(→))，则直线l的倾斜角为(C)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)[解析]如图，过A，B作AA′，BB′垂直准线x＝－eq\f(p,2)，垂足为A′，B′，过B作AA′垂线，垂足为C，由抛物线定义知|BF|＝|BB′|，|AF|＝|AA′|,3|BF|＝|AF|，2|BF|＝|AC|，所以cos∠BAC＝eq\f(1,2)，∠BAC＝eq\f(π,3)，所以直线l倾斜角为eq\f(π,3)，故选C．二、多选题9．(2024·湖北黄冈调研)已知曲线C的方程为eq\f(x2,k－2)＋eq\f(y2,6－k)＝1(k∈R)，则下列结论正确的是(AB)A．当k＝4时，曲线C为圆B．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\r(3)xC．“k>4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为eq\r(2)[解析]k＝4时，C：x2＋y2＝2，A正确；k＝0时，C：eq\f(y2,6)－eq\f(x2,2)＝1，其渐近线方程由eq\f(y2,6)－eq\f(x2,2)＝0得y＝±eq\r(3)x，B正确；C表示焦点在x轴上的椭圆⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－2>0,6－k>0,k－2>6－k))即4<k<6，故C错；C为双曲线⇔(k－2)(6－k)<0⇔k<2或k>6，若e＝eq\r(2)，则eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(2)，∴a＝b即k－2＝6－k或6－k＝2－k，此时k无解，故D错．故选AB.10．过双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则下列满意条件的直线l为(ACD)A．x＝eq\r(3) B．x＋2y－1＝0C．x－eq\r(2)y－eq\r(3)＝0 D．x＋eq\r(2)y－eq\r(3)＝0[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝eq\r(3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,x2－\f(y2,2)＝1，))得y＝±2，∴|AB|＝|y1－y2|＝4满意题意．当直线l的斜率存在时，其方程为y＝k(x－eq\r(3))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－\r(3)，,x2－\f(y2,2)＝1，))得(2－k2)x2＋2eq\r(3)k2x－3k2－2＝0.当2－k2＝0时，不符合题意，当2－k2≠0时，x1＋x2＝eq\f(2\r(3)k2,k2－2)，x1x2＝eq\f(3k2＋2,k2－2)，|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)k2,k2－2)))2－\f(12k2＋8,k2－2))＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\f(16k2＋1,k2－22))＝eq\f(4k2＋1,|k2－2|)＝4.解得k＝±eq\f(\r(2),2)，故选ACD.三、填空题11．(2024·大同质检)已知抛物线y2＝16x的准线过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\r(3)x，则该双曲线的标准方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.[解析]∵抛物线y2＝16x的准线x＝－4过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，∴c＝4.又双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\r(3)x，可得b＝eq\r(3)a，又c＝eq\r(a2＋b2)＝4，∴a＝2，b＝2eq\r(3)，∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.12．(2024·上海一模冲刺)已知抛物线y＝ax2(a>0)的准线为l，l与双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，若|AB|＝4，则a＝eq\f(1,4).[解析]由抛物线y＝ax2(a>0)，所以抛物线的准线方程为y＝－eq\f(1,4a)，由双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1，则渐近线为y＝±eq\f(1,2)x，因为|AB|＝4，由双曲线的对称性可知y＝－eq\f(1,4a)与y＝－eq\f(1,2)x的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,4a)))，把交点代入y＝－eq\f(1,2)x可得－eq\f(1,4a)＝－eq\f(2,2)，所以a＝eq\f(1,4).13．(2024·长沙调研)过点(0,3)的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则直线l的方程为y＝eq\f(1,3)x＋3或y＝3或x＝0.[解析]当直线l的斜率k存在且k≠0时，由相切知直线l的方程为y＝eq\f(1,3)x＋3；当k＝0时，直线l的方程为y＝3，此时直线l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，3))；当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点(0,0)，此时直线l的方程为x＝0.综上，过点(0,3)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线l的方程为y＝eq\f(1,3)x＋3或y＝3或x＝0.四、解答题14．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P(1，t)(t>0)作两条倾斜角互补的直线分别与C交于M，N两点，(1)证明：直线MN的斜率是－1；(2)若8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，求直线MN的方程．[解析](1)P在抛物线y2＝4x上，∴t＝2，P(1,2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题可知，kMP＋kNP＝0，∴eq\f(y1－2,x1－1)＋eq\f(y2－2,x2－1)＝0，∴eq\f(y1－2,\f(y\o\al(2,1),4)－1)＋eq\f(y2－2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)＝0，∴eq\f(4,y1＋2)＋eq\f(4,y2＋2)＝0，∴y1＋y2＝－4，∴kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝－1.(2)由(1)问可设：l：y＝－x＋m，则|MN|＝eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))，|MF|＝x1＋1，|NF|＝x2＋1，∴|MN|2＝8|MF||NF|，∴(eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2)))2＝8(x1＋1)(x2＋1)，即(x1＋x2)2－8x1x2－4(x1＋x2)－4＝0(*)，将直线l与抛物线C联立，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋m,y2＝4x))可得：x2－(2m＋4)x＋m2＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝16m＋16>0,x1＋x2＝2m＋4,x1x2＝m2))，代入(*)式，可得m＝1满意Δ>0，∴l：y＝－x＋1.15．(2024·江西南昌摸底)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率为eq\f(\r(3),2)，以F1为圆心以1为半径的圆与以F2为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆上顶点A斜率为k的直线l与椭圆的另外一个交点为B，若△ABF2的面积为eq\f(5,4)eq\r(3)，求直线l的方程．[解析](1)设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由两圆交点在椭圆上，2a＝1＋3＝4，得a＝2，由离心率为eq\f(\r(3),2)，eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，得b＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)因为点A的坐标为(0,1)，所以直线l的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程得到：eq\f(x2,4)＋(kx＋1)2＝1⇒(4k2＋1)x＋8kx＝0，因为xA＝0，所以xB＝－eq\f(8k,4k2＋1)，yB＝eq\f(1－4k2,4k2＋1)，又因为直线l与x轴的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)，0))，点F2的坐标为(eq\r(3)，0)，所以eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋\f(1,k)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1－4k2,4k2＋1)))＝eq\f(5\r(3),4)，解得k＝eq\f(\r(3),2)或k＝eq\f(5\r(3),6)，所以，直线l的方程为y＝eq\f(\r(3),2)x＋1或y＝eq\f(5\r(3),6)x＋1.B组实力提升1．(2024·课标Ⅰ卷)已知双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(B)A．eq\f(3,2) B．3C．2eq\r(3) D．4[解析]由双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1可知其渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，∴∠MOx＝30°，∴∠MON＝60°，不妨设∠OMN＝90°，则易知焦点F到渐近线的距离为b，即|MF|＝b＝1，又知|OF|＝c＝2，∴|OM|＝eq\r(3)，则在Rt△OMN中，|MN|＝|OM|·tan∠MON＝3.故选B.2．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(D)A．(1,3) B．(1,4)C．(2,3) D．(2,4)[解析]明显0<r<5.当直线l的斜率不存在时，存在两条满意题意的直线，所以当直线l的斜率存在时，存在两条满意题意的直线，设直线l的斜率为k，由抛物线和圆的对称性知，k>0、k<0时各有一条满意题意的直线．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y2－y1,\f(y\o\al(2,2),4)－\f(y\o\al(2,1),4))＝eq\f(4,y1＋y2)＝eq\f(2,y0).记圆心为C(5,0)．∵kCM＝eq\f(y0,x0－5)，kAB·kCM＝－1，∴x0＝3.∴r2＝(3－5)2＋yeq\o\al(2,0)>4(y0≠0)，即r>2.另一方面，由AB的中点为M，知B(6－x1,2y0－y1)，∴(2y0－y1)2＝4(6－x1)，又∵yeq\o\al(2,1)＝4x1，∴yeq\o\al(2,1)－2y0y1＋2yeq\o\al(2,0)－12＝0.∴Δ＝4yeq\o\al(2,0)－4(2yeq\o\al(2,0)－12)>0，即yeq\o\al(2,0)<12.∴r2＝(3－5)2＋yeq\o\al(2,0)＝4＋yeq\o\al(2,0)<16，∴r<4.综上，r∈(2,4)．故选D.3．(2024·河南天一大联考)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与圆C′：x2＋(y－eq\r(3))2＝3交于M，N两点，若|MN|＝eq\r(6)，则△MNF的面积为(B)A．eq\f(\r(2),8) B．eq\f(3,8)C．eq\f(3\r(2),8) D．eq\f(3\r(2),4)[解析]作出图形如下图所示，由题意知|AM|＝2eq\r(3).因为点N为圆C′圆周上一点，所以∠ANM＝90°，则在Rt△ANM中，由|AM|＝2eq\r(3)，|MN|＝eq\r(6)，得|AN|＝eq\r(|AM|2－|MN|2)＝eq\r(6)，∠AMN＝45°，所以N(eq\r(3)，eq\r(3))代入y2＝2px中，解得p＝eq\f(\r(3),2)，故△MNF的面积为eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),4)×eq\r(3)＝eq\f(3,8).4．(2024·天津)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满意3eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程．[解析](1)由已知可得b＝3.记半焦距为c，由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3.又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18.所以，椭圆的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y＝kx－3.由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3，,\f(x2,18)＋\f(y2,9)＝1，))消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝eq\f(12k,2k2＋1).依题意，可得点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12k,2k2＋1)，\f(6k2－3,2k2＋1))).因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6k,2k2＋1)，\f(－3,2k2＋1))).由3eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为eq\f(\f(－3,2k2＋1)－0,\f(6k,2k2＋1)－1)＝eq\f(3,2k2－6k＋1).又因为AB⊥CP，所以k·eq\f(3,2k2－6k＋1)＝－1，整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝eq\f(1,2)或k＝1.所以，直线AB的方程为y＝eq\f(1,2)x－3或y＝x－3.5．(2024·广东佛山质检)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且过点(2,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)过坐标原点的直线与椭圆交于M，N两点，过点M作圆x2＋y2＝2的一条切线，交椭圆于另一点P，连接PN，证明：|PM|＝|PN|.[解析](1)设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，且过点(2,1)．所以eq