第8题 积事件与相互独立事件的概率（原卷）

第8题积事件与相互独立事件的概率一、原题呈现【原题】有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立【答案】B【解析】由题意可得故选B.【就题论题】本题涉及相互独立事件的判断,同学们习惯根据相互独立立事件的概率计算公式,求相互独立立事件的概率,本题反过来利用概率计算的结果判断事件是否相互独立,高考全国卷选择题中首次考查此类问题,故该题背景新颖,但思路不难想到,与第7题相比较,该题难度略低于第7题.二、考题揭秘【命题意图】本题考查用概率判断相互独立事件,考查数据分析与逻辑推理的核心素养.难度：中等.【考情分析】概率与统计是高考重点,该模块涉及知识点比较多,高考命题没有固定的热点,一般情况下会有2道客观题,一道解答题.【得分秘籍】(1)“独立”与“互斥”的区别两事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立通常不互斥,两事件互斥通常不独立．若事件A,B互斥,则,若事件A,B不互斥,则,若事件A,B相互独立,则(2)理解事件中常见词语的含义：=1\*GB3①A,B中至少有一个发生的事件为A∪B；=2\*GB3②A,B都发生的事件为AB；=3\*GB3③A,B都不发生的事件为eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))；=4\*GB3④A,B恰有一个发生的事件为Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B；=5\*GB3⑤A,B至多一个发生的事件为Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B∪eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)).(3)条件概率的求法解决条件概率问题的步骤：第一步,判断是否为条件概率,若题目中出现“在……条件下”“在……前提下”等字眼,一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼,但已知事件的出现影响所求事件的概率时,也需注意是否为条件概率．若为条件概率,则进行第二步：计算概率,这里有两种思路．思路一：缩减样本空间法计算条件概率．如求P(A|B),可分别求出事件B,AB包含的基本事件的个数,再利用公式P(A|B)＝eq\f(n（AB）,n（B）)计算．思路二：直接利用条件概率的计算公式计算条件概率,即先分别计算出P(AB),P(B),再利用公式P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)计算．为了求一些复杂事件的条件概率,往往可以先把它分解为两个(或若干个)互斥事件的和,利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)进行计算,其中B,C互斥.(4)正确理解独立重复试验与相互独立事件间的关系独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生、要么不发生,且任何一次试验中事件发生的概率都是一样的.在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,若Ai(i＝1,2,…,n)是第i次试验的结果,则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).在n次独立重复试验中,事件A发生k次的概率为(每次试验中事件A发生的概率为p)Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k,事件A发生的次数是一个随机变量X,其分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为X～B(n,p).此时有.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此),就像对立事件是互斥事件的特例一样．一般地,有“恰好”等字眼的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”或“至多”等字眼的题目用对立事件的概率公式计算更简单一样．(5)对于复杂概率的计算一般要先设出事件,准确地确定事件的性质,把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次判断事件是A＋B还是AB事件,确定事件至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件公式；最后选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．【易错警示】混淆事件A+B与事件AB要弄清n次独立重复试验中恰好发生k次p)n－k与Pk＝(1－p)k－1p的区别．(3)处理复杂事件的概率、分布列问题一般采取“大化小”的解决策略,即将“大”的分布列或期望问题化为“小”的随机变量概率问题；再将“大”的概率问题化为“小”的独立事件概率问题,一般是P(A＋B)＝P(A)＋P(B),P(A)＝1－P(),P(AB)＝P(A)P(B)这三个公式的联用．注意分清每一个事件是由哪几个基本事件构成的,做到不重不漏．三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）一、单选题1．（2021湖南省“五市十校教研教改共同体”高三下学期5月大联考）有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是()A．0.72 B．0.8C．0.86 D．0.92．（2021山东省济南市实验中学高三二模）市场调查发现,大约的人喜欢在网上购买儿童玩具,其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具.经工商局抽样调查发现,网上购买的儿童玩具合格率为,而实体店里的儿童玩具的合格率为.现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉,则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）A． B． C． D．3．（2021江苏省南通学科基地2021届高三下学期高考全真模拟）人的眼皮单双是由遗传基因决定的,其中显性基因记作,隐性基因记作.成对的基因中,只要出现了显性基因,就一定是双眼皮,也就是说,“双眼皮”的充要条件是“基因对是,或”.人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的,分别用,表示显性基因､隐性基因,基因对中只要出现了显性基因,就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰,若有一对夫妻,两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是,不考虑基因突变,那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为（）A． B． C． D．4．（2021湖南省长郡十五校高三下学期第二次联考）十二生肖作为中国民俗文化的代表,是中国传统文化的精髓,很多人把生肖作为春节的吉祥物,以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图）,并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案,作为春节的吉祥物.2021年春节前,其中2个兴趣小组成员将模型随机抛出,希望能抛出牛的图案朝上（即牛的图案在最上面）,2人各抛一次,则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为（）A． B． C． D．5．（2021湖南师范大学附属中学高三下学期三模）2020年1月,教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”）,明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为,那么三人中恰有两人通过的概率为（）A． B． C． D．6．（2021河北省秦皇岛市高三二模）某地病毒爆发,全省支援,需要从我市某医院某科室的名男医生(含一名主任医师)､名女医生(含一名主任医师)中分别选派名男医生和名女医生,则在有一名主任医师被选派的条件下,两名主任医师都被选派的概率为（）A． B． C． D．7．（2021河北省张家口市高三一模）某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为,已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为,假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立,则该同学一个社团都不能进入的概率为（）A． B． C． D．8．（2021广东省汕头市高三二模）交通事故已成为世界性的严重社会问题,加强中小学生交通安全教育具有重要的现实意义.为此,某校举行了一场交通安全知识竞赛,一共有3道难度相当的必答题目,李明同学答对每道题目的概率都是0.6,则李明同学至少答对2道题的概率是（）A．0.36 B．0.576 C．0.648 D．0.9049．（2021福建省漳州市高三2月月考）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中,对投壶的壶也有所改进,即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目,如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶,每一位参赛者各有四支箭,投入壶口一次得分.投入壶耳一次得分,现有甲､乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口､壶耳是相互独立的),甲四支箭已投完,共得分,乙投完支箭,目前只得分,乙投中壶口的概率为,投中壶耳的概率为.四支箭投完,以得分多者赢请问乙赢得这局比赛的概率为（）A． B． C． D．10．（2021河北省高三下学期仿真模拟）某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是号通道,则需要小时走出迷宫；若是号、号通道,则分别需要小时、小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.则你走出迷宫的时间超过小时的概率为（）A． B． C． D．11．（2021湖北省武汉市高三下学期五月供题）A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛,决赛采取“3局2胜”制,若A同学每局获胜的概率均为,且每局比赛相互独立,则在A先胜一局的条件下,A最终能获胜的概率是（）A． B． C． D．12．（2021湖南省高三下学期三模）在一次“概率”相关的研究性活动中,老师在每个箱子中装了10个小球,其中9个是白球,1个是黑球,用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为和,则（）A． B． C． D．以上三种情况都有可能二、多选题13．（2021江苏省淮安市高三下学期5月模拟）甲､乙两人进行围棋比赛,共比赛局,且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为,则（）A． B．C． D．的最大值为14．（2021湖南省长沙市长郡中学高三下学期月考）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球,给出下列4个结论,其中正确的有（）A．从中任取3球,恰有一个白球的概率是B．从中有放回的取球6次,每次任取一球,则取到红球次数的方差为C．现从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为D．从中有放回的取球3次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为15．（2021湖北省高三下学期4月调研）四张外观相同的奖券让甲,乙,丙,丁四人各随机抽取一,其中只有一张奖券可以中奖,则（）A．四人中奖概率与抽取顺序无关B．在甲未中奖的条件下,乙或丙中奖的概率为C．事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥D．事件甲中奖与事件乙中奖互相独立三、填空题16．（2012广东省部分学校高三下学期5月联考）三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法.三分损益包含“三分损一"“三分益一"两层含义,三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份,即原有长度生得长度；而三分益一则是指将原有长度作3等分而增添其1份,即原有长度生得长度,两种方法可以交替运用､连续运用,各音律就得以辗转相生,假设能发出第一个基准音的乐器的长度为243,每次损益的概率为,则经过5次三分损益得到的乐器的长度为128的概率为___________.17．（2021湖北省恩施高中、龙泉中学、宜昌一中高三下学期4月联考）已知红箱内有个红球、个白球,白箱内有个红球、个白球,所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去,第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去,依次类推,第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去．则第次取出的球是红球的概率为___________．四、解答题18．（2021福建省厦门市高三5月二模）足球比赛中规定,若双方在进行了90分钟激战和加时赛仍然无法分出胜负,则采取点球大战的方式决定胜负,点球大战规则如下：两队应各派5名队员,双方轮流踢,如果在踢满5轮前,一队的进球数已多于另一队踢满5次时可能射中的球数,则不需再踢,若5轮之后双方进球数相同,则继续点球,直到出现某一轮结束时,一方踢进且另一方未踢进时比赛结束,现有甲乙两支球队进行点球大战,每支球队每次点球进球的概率均为,每轮点球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.（1）最少进行几轮比赛能分出胜负？并求相应概率：（2）求至少进行5轮比赛才能分出胜负的概率.19．（2021河北省邯郸市高三三模）现代战争中,经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机,在实际演习中空对空导弹的命中率约为20%,由于飞行员的综合素质和经验的不同,不同的飞行员使用空对空