专题04 立体几何（老师版）

专题04立体几何一、单选题1.【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试】已知某几何体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图水平放置的直观图如图②中粗线部分所示，其中其中四边形为平行四边形，，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据直观图还原可知,俯视图是边长为4的正方形,结合正视图和侧视图可知,该几何体后半部分为长方体,前半部分为半个圆柱,长方体的边长分别为2,2,4,则其体积为,半个圆柱的底面半径为2,高为4,则其体积为,因此,该几何体的体积为:,故选:A.2.【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试】如图，正方体的棱长为分别是棱，的中点，过点的平面分别与棱，交于点，设.给出以下四个命题：①平面与平面所成角的最大值为45°；②四边形的面积的最小值为；③四棱锥的体积为；④点到平面的距离的最大值为.其中命题正确的序号为（）A．②③④ B．②③ C．①②④ D．③④【答案】A【解析】对于①,由面面平行的性质定理可得,,可得四边形为平行四边形,又直角梯形和直角梯形全等,可得,即有四边形为菱形,且,平面在底面上的射影为四边形,设平面与平面所成角为,由面积射影公式可得,由,可得,可得平面与平面所成角的最大值不为,故①错误;对于②,由,可得菱形的面积的最小值为,故②正确;对于③,因为四棱锥的体积为,故③正确;对于④,,,设到平面的距离为,可得,所以(其中,当即时,取得最大值,故④正确.故选:A.3.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期2月质量检测】如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中点，连接、、.易知是的中位线，所以且.又且，为的中点，所以且，所以且.所以四边形是平行四边形，所以，所以就是异面直线与所成的角.因为，，，、、分别是、、的中点，所以，且.由勾股定理得，所以.由勾股定理得，.在中，由余弦定理得.故选：C.4.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）】如图，网格上纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为A． B． C． D．【答案】C【解析】该棱锥如图，，它可以看作是从正方体中截出的一部分，其体积为．故选C．5.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）】已知直三棱柱A． B． C． D．【答案】C【解析】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝6.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（五）】如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（）A．98颗 B．106颗 C．120颗 D．126颗【答案】D【解析】作出圆锥的轴截面图如图，由题意，，，，设，则，即.则最大放入珍珠的体积因为一颗珍珠的体积是.由.所以最多可以放入珍珠126颗.故选：D7.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第一次高考模拟】已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB＝45°，当三棱锥S﹣ABC体积最大时，其外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可知，平面CAB⊥平面SAB，且CA＝CB时，三棱锥S﹣ABC体积达到最大，如图所示，则点D，点E分别为△ASB，△ACB的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O．∴点O是此三棱锥外接球的球心，AO即为球的半径．在△ACB中，AB＝2，∠ACB＝45°⇒∠AEB＝90°，由正弦定理可知，2AE，∴AE＝EB＝EC，延长CE交AB于点F，则F为AB的中点，所以点D在直线SF上，∴四边形EFDO是矩形，且OE⊥平面ACB，则有OE⊥AE，又∵OE＝DFSFAB，∴OA．∴S球表面积＝4πR2＝4π×（）2．故选：B．8.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第一次高考模拟】我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（）A．40 B．43 C．46 D．47【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面平面，，底面梯形是等腰梯形，高为3,梯形的高为4,等腰梯形的高为，三个梯形的面积之和为,故选C.9.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟卷（二）】已知长方体，，，是的中点，点在长方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（）A．6 B． C． D．9【答案】D【解析】如图所示,设,,,,分别为,,,,的中点,则,,所以平面,平面,又,所以平面平面,所以动点的轨迹是六边形及其内部,因为,,所以,,,到的距离为,所以六边形的面积,故选:D.10.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷二】“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积，其中R为球的半径，h为球冠的高）设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当时，（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，又，，解得：，即，故选：B11.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷一】鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征.图①是一种方鼎，图②是根据图①绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台是鼎中盛烹煮物的部分，四边形是矩形，其中，，，点到平面的距离为，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为（）（假定烹煮的食物全在四棱台内）A． B． C． D．【答案】D【解析】几何体为四棱台，所以延长必交于一点，记为O，且四棱锥相似于，所以.过点作OH⊥面于H，作OG⊥面于G，则,又，解得：OG=,OH=，四棱台的体积.故选：D12.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期二模】已知正方体的棱长为1，点，分别为线段，上的动点，点在平面内，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】：点关于的对称点为，关于的对称点为，记为直线与之间的距离，则，由，为到平面的距离，因为，而，故，故选：B.13.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期考前冲刺卷】如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（）A． B． C． D．2【答案】D【解析】由题意知，水的体积为，如图所示，设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于由题意知，水的体积为，即，在平面内，过点作交于，则四边形是平行四边形，且又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角,其平面角为,在直角三角形中，.故选：D.14.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期一模】某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的的边长为26米，高为9米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为，正四棱锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为11.8米，则图书馆顶部的面积大约为（）平方米（注：）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图1，根据题意得：，，，所以，故，故在中，设，则，，所以，即：，解得所以如图2，在正四棱锥中，，，取中点，连接，所以由正四棱锥的性质得为直角三角形，故，所以，所以正四棱锥的侧面积为.故选：C15.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期一模】已知中，，，点在线段上除，的位置运动，现沿进行翻折，使得线段上存在一点，满足平面；若恒成立，则实数的最大值为（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】易知要满足平面有两个极限状态，第一是为的角平分线时，此时，第二是点与点重合时，此时；故，则实数的最大值为1，故选：A.16.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）】已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，因为其表面积为，所以，即，又因为它的侧面展开图是一个半圆，所以，即，所以，所以此圆锥的体积为.故选：A17.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（七）】如图，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点分别在半圆弧，(均不含端点)上，且，，，在球上，则（）A．当点在的三等分点处，球O的表面积为B．当点在的中点处，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C．球的表面积的取值范围为D．当点在的中点处，三棱锥的体积为定值【答案】D【解析】如图1，取中点，中点，中点，根据题意，球心在线段上，设，则由余弦定理，设，则，，因为（为球的半径），所以，所以，所以球的表面积为，故C选项错误，当点在的三等分点处，，则，所以，所以球的表面积为，故A选项错误；对于B选项，取中点，当点在的上时，连接，在平面中过点作的平行线，与线段分别交于，延长与相交，连接交点与点交于，此时，当点在的中点处，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面为五边形，故B选项错误；对于D选项，当点在的中点处，三棱锥的体积为，为定值，故D选项正确.故选：D18.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期二模】在直四棱柱中，底面是边长为6的正方形，点在线段上，且满足，过点作直四棱柱外接球的截面，所得的截面面积的最大值与最小值之差为，则直四棱柱外接球的半径为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为四棱柱是直棱柱，且底面是正方形，所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作，过点向底面作垂线，垂足为，则，连接，因为底面是边长为6的正方形，所以点为的中点，取中点为，连接，，，设，则，所以外接球的半径为，因为点在线段上，且满足，则，又，所以，因为直四棱柱中，侧面，，所以侧面，所以，又底面，所以，又，所以，则；根据球的特征，过点作直四棱柱外接球的截面，当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为；当截面时，此时截面圆半径为，所以此时截面圆面积为；又截面面积的最大值与最小值之差为，所以，因此，即，所以.故选：C.二、多选题1.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过AB作一垂直于直线B1C的平面交平面ADD1A1于直线l，动点M在直线l上，则（）A．B1C//lB．B1C⊥lC．点M到平面BCC1B1的距离等于线段AB的长度D．直线BM与直线CD所成角的余弦值的最大值是【答案】BC【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过AB作一垂直于直线B1C的平面交平面ADD1A1于直线l，l就是AD1，所以B1C⊥l，B正确，A错误；对于C，点M到平面BCC1B1的距离等于线段AB的长度，正确；对于D，直线AB与直线CD平行，所以直线BM与直线CD所成的角即，当点M与A重合时，为，此时余弦值为1，故错误，故选：BC.2.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）】正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等【答案】BC【解析】根据题意，假设直线D1D与直线AF垂直，又,平面AEF，所以平面AEF,所以,又,所以,与矛盾，所以直线D1D与直线AF不垂直，所以选项A错误；因为A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故选项B正确．平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，由题得该等腰梯形的上底下底,腰长为，所以梯形面积为，故选项C正确；假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故选项D错误．故选：BC．3.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知球是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆的面积可能是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】如下图所示，其中是球心，是等边三角形的中心，可得，，设球的半径为，在三角形中，由，即，解得，故最大的截面面积为在三角形中，，由余弦定理得在三角形中，，设过且垂直的截面圆的半径为，故最小的截面面积为所以过点作球的截面，所以截面圆面积的取值范围是故选：．4.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷二】已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】BD【解析】对于A，若，，，，则与相交或平行，故A错误；对于B，若，，，则由线面平行的性质得，故B正确；对于C，若，，，则或，故C错误；对于D，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确.故选：BD.5.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷一】已知正方形的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（）A．四面体的外接球的表面积为B．四面体体积的最大值为C．点D的运动轨迹的长度为D．边AD旋转所形成的曲面的面积为【答案】ACD【解析】对A：，AC中点即为四面体的外接球的球心，AC为球的直径，，，故选项A正确；对B：当平面平面时，四面体体积的最大，此时高为，，故选项B错误；对C：设方形对角线AC与BD交于O，由题意，翻折后当的最小值为时，为边长为的等边三角形，此时，所以点D的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆心角为的圆弧，所以点D的运动轨迹的长度为，故选项C正确；对D：结合C的分析知，边AD旋转所形成的曲面的面积为以A为顶点，底面圆为以O为圆心为半径的圆锥的侧面积的，即所求曲面的面积为，故选项D正确.故选:ACD.6.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期二模】如图，在边长为4的正方形中，点、分别在边、上（不含端点）且，将，分别沿，折起，使、两点重合于点，则下列结论正确的有（）．A．B．当时，三棱锥的外接球体积为C．当时，三棱锥的体积为D．当时，点到平面的距离为【答案】ACD【解析】A选项：正方形由折叠的性质可知：又面又面，；故A正确.B选项：当时，在中，，则由A选项可知，三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，把三棱锥放置在长方体中，可得长方体的对角线长为，三棱锥的外接球半径为，体积为，故B错误C选项：当时，在中，，则故C正确；D选项：设点到平面的距离为，则在中，，则即故D正确；故选：ACD7.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期一模】如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.A.在中，已知，可以解这个三角形得到，再利用、解直角得到的值；B.在中，已知无法解出此三角形，在中，已知无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔的高度；C.在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值；D.如图，过点作,连接.由于,所以，所以可以求出的大小，在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.故选：ACD8.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）】已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A．若，，则 B．若，m∥，则C．若，则 D．若，则【答案】AD【解析】根据垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以A正确；若，当，m∥时，平面与不一定平行，所以B不正确；由，则可能在平面内，所以C不正确；由两平面平行，其中一个平面的垂线也一定垂直于另外一个平面，所以D也是正确的.故选：AD.9.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期二模】如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，正确的为A．B．截面C．D．异面直线与所成的角为【答案】ABD【解析】因为截面是正方形，所以，又平面所以平面又平面,平面平面截面，故B正确同理可证因为，所以，故A正确又所以异面直线与所成的角为，故D正确和不一定相等，故C错误故选：ABD10.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期三模】如图，正三棱柱各棱的长度均相等，为的中点，、分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足，当、运动时，下列结论中正确的是（）A．在内总存在与平面平行的线段B．平面平面C．三棱锥的体积为定值D．可能为直角三角形【答案】ABC【解析】取、的中点、，连接、、.对于A选项，且，，，且，易知四边形为梯形或平行四边形，因为、分别为、的中点，所以，，则，且，为的中点，，所以，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，A选项正确；对于B选项，为等边三角形，为的中点，则，平面，平面，，，平面，，平面，平面，因此，平面平面，B选项正确；对于C选项，因为的面积为定值，，平面，平面，所以，平面，因为，所以，点到平面的距离为定值，进而可知，三棱锥的体积为定值，C选项正确；对于D选项，平面，平面，，为的中点，则，若为直角三角形，则为等腰直角三角形，则，设正三棱柱的棱长为，则，则，因为，故，所以，不可能为直角三角形，D选项错误.故选：ABC.三、填空题1.【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试】母线长为，底面半径为的圆锥内有一球，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球都相切，这样的小球最多可放入__________个．【答案】10【解析】由题意可知圆锥轴截面为正三角形，高为3，如图所示：设球O半径为R，由∠OCB=30°，可得OC=2R，故OA=OC=2R，所以R+2R=3∴R=1，OC=2，故得EC=1.设小球半径为r，同理可得,故，所以小球半径为，且.这时到直线AO的距离为．这些小球相邻相切，排在一起，则球心在一个半径为的圆M上，如图所示：H为相邻两球切点，分别为相邻两球球心，设∠，则，，由三角函数的性质可知，∴，∴，，，∵，故可得能放入小球个数最多为10故答案为102.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期2月质量检测】已知三棱柱的各顶点均在表面积为的同一球面上，，则这个三棱柱的高是______.【答案】【解析】球的表面积，解得.因为，易知的外接圆的半径，因为三棱柱各顶点均在同一球面上，故该三棱柱必为直三棱柱，所以三棱柱的高.故答案为：.3.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底】在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，二面角A－PB－C为直二面角，∠APB＝2∠BPC(∠BPC<)，M，N分别为侧棱PA，PC上的动点，设直线MN与平面PAB所成的角为α.当的最大值为时，则三棱锥P－ABC的体积为__________.【答案】【解析】如图所示，当点与平面所成的角为二面角的大小时，此时线面角达到最大，设运动到时，作于，于，连结，二面角为直二面角，面面，，面，面面，面，，又，，面，，，则，设，，，，，，故答案为：.4.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.年月日国庆节，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点处，“大摆锤”启动后，主轴在平面内绕点左右摆动，平面与水平地面垂直，摆动的过程中，点在平面内绕点作圆周运动，并且始终保持，.已知，在“大摆锤”启动后，直线与平面所成角的正弦值的最大值为________.【答案】【解析】设，，，当时，直线与平面所成角最大；此时直线与平面所成角的正弦值为故答案为：5.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（五）】四棱锥各顶点都在球心为O的球面上，且平面ABCD，底面ABCD为矩形，，设E，F分别是PB，BC中点，则平面AEF被球O所截得的截面面积为___________．【答案】【解析】由题设知球心O为PC中点，故球O的直径，故，设球心到平面AEF的距离为d，截面圆的半径为r，由题设球心O到平面AEF的距离等于点B到平面AEF的距离，在三棱锥中，由等体积法得，∴，故截面面积为．故答案为：6.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期三模】某种游戏中，黑､黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2021段､黄“电子狗”爬完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑､黄“电子狗”间的距离是___________.【答案】【解析】由题意，黑“电子狗”爬行路线为，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，同理，黄“电子狗”爬行路线为，也是过6段后又回到起点.所以黑“电子狗”爬完2021段后实质到达点B，黄“电子狗”爬完2020段后到达第4段的终点D1.此时的距离为.故答案为：.7.．【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（七）】假设太阳光线垂直于平面，在阳光下任意转动棱长为的立方体，则它在平面上的投影面面积的最大值是________.【答案】【解析】当正方体与底面只有一个交点，并且过此点的对角线所在直线与此平面垂直，这时，投影面积最大.如图，为此时正方体在平面的投影，此图形是正六边形，中间的虚线构成等边三角形，并且边长为正方体面对角线，长度为，此等边三角形的面积为正六边形的面积为.故答案为：．四、解答题1.【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试】如图1所示，在矩形中，，，为中点，将沿折起，使点到点处，且平面平面，如图2所示.（1）求证：：（2）在棱上取点，使平面平面，求平面与所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）余弦值为.【解析】(1)在矩形中,连接交于点,由题知,,,所以,即,又,所以,所以,即,故在翻折后的四棱锥中,有,又,所以平面,又平面,所以;(2)如图所示,以点为原点,方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,在矩中,经计算可得,因此,过点作于点,因为平面平面,平面平面,所以平面,所以,又由(1)知,且,所以平面,所以,即有,因为点在上,设,则,由解得,即,设平面的一个法向量为,,由,令,即,又平面的一个法向量为,所以,所以平面与所成锐二面角的余弦值为.2.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期2月质量检测】如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形且，平面底面，且是正三角形，是中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）因为侧面是正三角形，是的中点，所以.因为侧面底面，侧面底面，平面，所以底面.又平面，所以.因为底面为矩形且，所以.所以，所以.所以，即.又因为，、平面，所以平面；（2）因为，侧面是正三角形，是的中点，所以.由勾股定理得，，，所以.设点到平面的距离为，由，得，即，解得.3.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底】已知底面为正三角形的斜三棱柱中，分别是棱，的中点，点在底面投影为边的中点，，.（1）证明：//平面；（2）若，，点为棱上的动点，当直线与平面所成角的正弦值为时，求点的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）点靠近点的六等分点处.【解析】（1）因为斜三棱柱斜三棱柱各侧面均为平行四边形则是的中点又分别是棱，的中点，则又则四边形为平行四边形则为的中点则在三角形中，//连接则//所以//又平面平面；则//平面；（2）点在底面投影为边的中点，所以平面,又因为三角形为正三角形，为中点，所以分别以所在直线为分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：因为，，，则，，所以，，，，，，，，，设则所以设平面的一个法向量则，，令，，所以.设AM与平面所成角为所以令同联立可得当时，即点靠近点的六等分点处时，符号条件.4.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）】已知四棱柱中，底面为菱形，，为中点，在平面上的投影为直线与的交点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接，由于为中点，且，故为中点，故四边形为平行四边形,由于四棱柱且故四边形为平行四边形,由于底面为菱形，故，且，由于，故四边形为平行四边形，所以故：平面ABCD又平面平面故平面平面（2）由（1）BH，BD，两两垂直，以B为原点如图建立空间直角坐标系.设平面的法向量为，故，令，故设平面的法向量为，故，令，故由图像得二面角为锐角，故故5.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】在如图所示的圆柱中，AB为圆的直径，是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱的母线．（1）求证：平面ADE；（2）设BC=1，已知直线AF与平面ACB所成的角为30°，求二面角A—FB—C的余弦值．【答案】（1）见解析（2）.【解析】（1）连接，因为C，D是半圆的两个三等分点，所以，又，所以均为等边三角形.所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE.因为EA，FC都是圆柱的母线，所以EA//FC.又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE.又平面，所以平面平面ADE，又平面，所以平面ADE.（2）连接AC，因为FC是圆柱的母线，所以圆柱的底面，所以即为直线AF与平面ACB所成的角，即因为AB为圆的直径，所以，在，所以，所以在因为，又因为，所以平面FBC，又平面FBC，所以.在内，作于点H，连接AH.因为平面ACH，所以平面ACH，又平面ACH，所以，所以就是二面角的平面角.在，在，所以，所以，所以二面角的余弦值为.6.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（五）】如图，在四棱锥中，面，，且，，为的中点．（1）求证：平面平面；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）证明：在直角梯形中，由已知可得，，可得，过作，垂足为，则，求得，则，∴．∵面，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）解：由（1）知，，则为二面角的平面角为，则．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，．设平面的一个法向量为，由，取，得．∴直线与平面所成角的正弦值为：．7.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第一次高考模拟】如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：AE⊥PB；（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接BD，设AE的中点为O，∵AB∥CE，AB＝CECD，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE，△ABE为等边三角形，∴OD⊥AE，OB⊥AE，折叠后，又OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（2）在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，∴直线PB与平面ABCE夹角为∠PBO，又OP＝OB，∴OP⊥OB，∴O、Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴（，0，），（，，0），设平面PCE的一个法向量为（x，y，z），则，即，令x得（，﹣1，1），又OB⊥平面PAE，∴（0，1，0）为平面PAE的一个法向量，设二面角A﹣EP﹣C为α，则|cosα|＝|cos|，由图可知二面角A﹣EP﹣C为钝角，所以cosα．8.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟卷（二）】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，试判断棱上是否存在与点不重合的点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）答案见解析.【解析】（1）因为四边形是平行四边形，，所以，又，所以，所以，又，且，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，分别以所在直线为轴、轴，平面内过点且与直线垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，由，，可得，所以，假设棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，设，则，，设平面的法向量为，则,即，令，可得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则:，解得或者（舍）.所以存在，使得直线与平面所成角的正弦值为.9.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷二】如图，已知等腰梯形中，，，，于点，现将△沿翻折到△的位置，使得二面角的大小为120°，若点为的三等分点，且.（1）求证：平面；（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的三等分点且，连接，，∵，∴且.在等腰梯形中，，，，，∴且，∴且，即四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）法一：∵，△沿翻折到△的位置，∴平面，又二面角的大小为120°，即.以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，∴，，，则，.设是面的法向量，则，即，令，得.易知：平面的一个法向量为，∴，即面和面所成锐二面角的余弦值为.法二：过作，则，过作于，连接，则，∴为面和面所成锐二面角的平面角.在中，，，，∴，即面和面所成锐二面角的余弦值为10.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期二模】直角三角形中，是的中点，是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面．（1）当时，证明：平面；（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】（1）在中，，即，则，取的中点，连接交于，当时，是的中点，而是的中点，∴是的中位线，∴.在中，是的中点，∴是的中点.在中，，∴，则.又平面平面，平面平面，∴平面.又平面，∴.而，∴平面.（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，由（1）知是中点，，而平面平面.∴平面，则.假设存在满足题意的，则由.可得，则.设平面的一个法向量为，则即令，可得，，即.∴与平面所成的角的正弦值.解得（舍去）.综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为.11.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期考前冲刺卷】如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且、、、四点共面.（1）证明：平面平面；（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图，连接，因为几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，所以，，，因为，，所以四边形为平行四边形，，，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为因为平面，所以平面平面.（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，则、、、、，，，，，则，整理得，令，则，设平面的一个法向量为，则，整理得，令，则，，因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，所以，解得，即，因为平面，所以即直线与平面所成的角，在中，因为，，所以，故直线与平面所成的角为.12.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期一模】如图1，在等边中，点D､E分别为边､上的动点且满足，记.将沿翻折到的位置并使得平面平面，连接，得到图2，点N为的中点.（1）当平面时，求的值；（2）试探究：随着入值的变化，二面角的大小是否改变？如果是，请说明理由；如果不是，请求出二面角的正弦值大小.【答案】（1）；（2）二面角的大小不变，正弦值为.【解析】（1）证明：取的中点为P，连接，，因为，，所以，又，所以，即N，E，D，P四点共面，又面，面，平面平面，所以，即为平行四边形，所以，且，即，即.（2）取的中点O，由平面平面，且，所以平面，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，所以，.设平面的法向量为，则，即，令，即，又平面的法向量，所以，即随着值的变化，二面角的大小不变.且，所以二面角的正弦值为.13.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）】在四棱锥中，底面ABCD是边长为的正方形，平面底面ABCD，.（1）求证：；（2）点M，N分别在棱，，，，求直线PB与平面