第06讲等式与不等式(原卷版+解析)

第06讲等式与不等式一、单选题1．（2021·陕西省子洲中学高二开学考试（理））数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A． B．C． D．2．（2021·广东高三月考）在西方，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，这个比例被称为黄金分制比例．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分便很好地体现了黄金分割比例，其中矩形，矩形，矩形，矩形，矩形为黄金矩形．若画中点G与点K间的距离超过，点C与点F间的距离不超过，则该名画中，A与B间的距离可能为（）（参考数据：）A． B． C． D．3．（2022·全国高三专题练习（理））数学中有些优美的曲线显示了数学形象美､对称美､和谐美，曲线：就是四叶玫瑰线，则不等式表示区域所含的整点(即横､纵坐标均为整数的点)个数为（）A．1 B．4 C．5 D．94．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于5．（2022·上海）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（）A．里 B．里 C．里 D．里6．（2021·安徽高三月考（理））不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知则该方程的整数解有（）组．A．1 B．2 C．3 D．47．（2021·云南昆明市·（文））十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论错误的是（）A． B．C． D．8．（2021·河北张家口市·高三期末）太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到老子楼观台､三茅宫､白云观的标记物；到中医､气功､武术及中国传统文化的书刊封面､会徽､会标这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”.已知函数，则以下图形中，阴影部分可以用不等式组表示的是（）A． B．C． D．二、多选题9．（2020·江苏省海头高级中学）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（）A．若，则与的大小关系随m的变化而变化B．若，则C．若，则D．若，则一定有10．（2021·全国高一专题练习）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程，在复数集内的根为，，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11．（2021·江苏宿迁·高一期末）公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型（如图所示），以线段为直径作半圆，，垂足为，以的中点为圆心，为半径再作半圆，过作，交半圆于，连接，设，，则下列不等式一定正确的是（）．A． B．C． D．12．（2020·江苏省东台中学）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是（）①由图1和图2面积相等得；②由可得；③由可得；④由可得.A．① B．② C．③ D．④三、填空题13．（2021·全国）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门步有树，出南门步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里步）________里.14．（2021·江苏）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，，则是的更为精确的近似值．已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为________．15．（2020·江苏扬州·高二期中）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，符合条件的a共有_________个.16．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是的更为精确的近似值.我们知道，我国早在《周髀算经》中就有“周三径一”的古率记载，《隋书•律历志》有如下记载：“南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间．密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五．约率，圆径七，周二十二”，这一记录指出了祖冲之关于圆周率的两大贡献：其一是求得圆周率；其二是得到的两个近似分数即：约率为22/7，密率为355/113，他算出的的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界纪录一千多年，他对的研究真可谓“运筹于帷幄之中，决胜于千年之外”，祖冲之是我国古代最有影响的数学家之一，莫斯科大学走廊里有其塑像，1959年10月，原苏联通过“月球3”号卫星首次拍下月球背面照片后，就以祖冲之命名一个环形山，其月面坐标是：东经148度，北纬17度.纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为____________第06讲等式与不等式一、单选题1．（2021·陕西省子洲中学高二开学考试（理））数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质，分别表示和，根据长度关系，判断选项．【详解】由图可知，，，在中，，显然，即．故选：B.2．（2021·广东高三月考）在西方，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，这个比例被称为黄金分制比例．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分便很好地体现了黄金分割比例，其中矩形，矩形，矩形，矩形，矩形为黄金矩形．若画中点G与点K间的距离超过，点C与点F间的距离不超过，则该名画中，A与B间的距离可能为（）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据黄金矩形的定义，列式后表示，，根据题中的条件，表示的范围.【详解】由黄金矩形的定义可知，所以，所以．，所以，即，对照各选项，只有B符合．故选：B．3．（2022·全国高三专题练习（理））数学中有些优美的曲线显示了数学形象美､对称美､和谐美，曲线：就是四叶玫瑰线，则不等式表示区域所含的整点(即横､纵坐标均为整数的点)个数为（）A．1 B．4 C．5 D．9【答案】C【分析】由于，所以转化为，化简得，从而可求得整点的个数【详解】解：因为，所以可化为，得，圆含9个整点，经检验，只有和共5个整点满足.故选：C4．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于【答案】A【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.由杠杆的平衡原理：，．解得，，则.下面比较与10的大小：（作差比较法）因为，因为，所以，即.所以这样可知称出的黄金质量大于.故选：A5．（2022·上海）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（）A．里 B．里 C．里 D．里【答案】D【分析】根据题意得，进而得，再结合基本不等式求的最小值即可.【详解】因为1里=300步，则由图知步=4里，步=2.5里．由题意，得，则，所以该小城的周长为，当且仅当时等号成立.故选:D．【点睛】本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即：，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.6．（2021·安徽高三月考（理））不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知则该方程的整数解有（）组．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】原方程可化为，所以即，再列举每种情况即可.【详解】设此方程的解为有序数对，因为所以当或时，等号是不能成立的，所以即，（1）当时，即（2）当时，即或（3）当时，即综上所述，共有四组解故选：D7．（2021·云南昆明市·（文））十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论错误的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】对ABCD一一验证或证明.【详解】对于A：，即，故A正确；对于B：记在上为减函数，∵，∴，故B正确；对于C：记在上为增函数，∵，∴，故C正确；对于D：，可以取，则，故D错误.故选：D【点睛】四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.8．（2021·河北张家口市·高三期末）太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到老子楼观台､三茅宫､白云观的标记物；到中医､气功､武术及中国传统文化的书刊封面､会徽､会标这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”.已知函数，则以下图形中，阴影部分可以用不等式组表示的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意化简即可得出.【详解】题中的不等式组表示的平面区域为或.故选：B.二、多选题9．（2020·江苏省海头高级中学）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（）A．若，则与的大小关系随m的变化而变化B．若，则C．若，则D．若，则一定有【答案】CD【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A；举反例，如，即可判断B；若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C；利用不等式的性质即可判断D.【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A错误；对于B，当时，，与题设矛盾，故B错误；对于C，若，则，根据“糖水不等式”，，即，故C正确；对于D，若，则，所以，所以，故D正确.10．（2021·全国高一专题练习）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程，在复数集内的根为，，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】AC【分析】由，并展开右式即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：，∴，∴，∴，，，.故选：AC11．（2021·江苏宿迁·高一期末）公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型（如图所示），以线段为直径作半圆，，垂足为，以的中点为圆心，为半径再作半圆，过作，交半圆于，连接，设，，则下列不等式一定正确的是（）．A． B．C． D．【答案】AD【分析】先结合图象，利用垂直关系和相似关系得到大圆半径，小圆半径，，，，再通过线段大小判断选项正误即可.【详解】因为是圆O的直径，则，因为，则，所以，故，易有，故，即，大圆半径，小圆半径，，，故，同理.选项A中，，显然当时是钝角，在上可截取，故，即大圆半径，故，正确；选项B中，当时，大圆半径，有，故错误；选项C中，中，，故，故错误；选项D中，大圆半径，小圆半径，则，而，故，故正确.故选：AD.【点睛】本题解题关键在于将选项中出现的数式均与图中线段长度对应相等，才能通过线段的长短比较反馈到数式的大小关系，突破难点.12．（2020·江苏省东台中学）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是（）①由图1和图2面积相等得；②由可得；③由可得；④由可得.A．① B．② C．③ D．④【答案】ABCD【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案.【详解】对于①：由图1和图2面积相等得，所以，故①正确；对于②：因为，所以，所以，设图3中内接正方形边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以，因为，所以，整理可得，故②正确；对于③：因为为斜边的中点，所以，因为，所以，整理得，故③正确；对于④：因为，所以，整理得：，故④正确；故选：ABCD【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得的表达式，根据图形及题意，得到的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力.三、填空题13．（2021·全国）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门步有树，出南门步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里步）________里.【答案】【分析】根据题意得出，进而可得出，结合基本不等式求的最小值即可.【详解】因为里步，由图可知，步里，步里，，则，且，所以，，所以，，则，所以，该小城的周长为（里）.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．（2021·江苏）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，，则是的更为精确的近似值．已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为________．【答案】【分析】根据题中所给定义及数据，可得第一次使用“调日法”可得近似分数，与比较，进行第二次运算，即可得答案.【详解】因为，所以第一次使用“调日法”可得近似分数为，所以，所以，所以第二次使用“调日法”可得近似分数为.故答案为：15．（2020·江苏扬州·高二期中）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元