第23讲 空间几何外接球

第23讲空间几何外接球1.已知在三梭锥中，，，则该三棱锥内切球的体积为（）A． B． C． D．【解析】如图，将三棱锥放入长方体中，设，，，则，，，所以，，则三棱锥的体积，，设三棱锥内切球的半径为，则球心到三棱锥四个面的距离都为，设三棱锥的表面积为，则，因此，所以三棱锥内切球的体积故选：D2.在四棱锥中，已知底面，且，则该四棱锥外接球的体积为（）A． B． C． D．【解析】如图所示，连接，设的中点为G，因为，所以是底面外接圆的直径，又，所以，又，得，又底面，则，所以，即是球的直径，则的中点Q为球心，连接，易知，所以，且底面.在中，，则，又在中，球半径，则该四棱锥外接球的体积.故选：C3.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，且，，则球的表面积为（）A． B． C． D．【解析】三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，且，，把三棱锥补成一个长方体，如图所示：∴长方体的外接球即是三棱锥的外接球，∵，，∴长方体的外接球的半径为：，∴球的表面积为：，故选：D．4.半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为()A.eq\r(5)π∶6 B.eq\r(6)π∶2C．π∶2 D．5π∶12【解析】将半球补成球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线就是它的外接球的直径．设正方体的棱长为a，球体的半径为R，则(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，即R＝eq\f(\r(6),2)a，∴V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(2,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a))3＝eq\f(\r(6),2)πa3，V正方体＝a3，∴V半球∶V正方体＝eq\f(\r(6),2)πa3∶a3＝eq\r(6)π∶2，故选B.5.已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面，，，若球的表面积为，则四棱锥的体积为（）A．4 B． C． D．【解析】，，，与全等，，易知、、、四点共圆，则，，所以，四边形的外接圆直径为，设四棱锥的外接球半径为，则，解得，由底面，底面,所以又,且，所以平面,又面PAB，所以同理可证：设为为的中点,则由直角三角形的性质可得：所以四棱锥外接球的球心，即为其直径，即，所以故选：B6.已知在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝SC＝2eq\r(2)，二面角B－AC－S的大小为eq\f(2π,3)，则三棱锥S－ABC的外接球的表面积为()A.eq\f(124π,9)B.eq\f(105π,4)C.eq\f(105π,9)D.eq\f(104π,9)【解析】如图，取AC的中点D，连接BD，SD，则∠BDS＝eq\f(2π,3)，AC＝2eq\r(2)，BD＝eq\r(2)，SD＝eq\r(6).过点D作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OS，可得OD2＝R2－(eq\r(2))2，在△OSD中，∠ODS＝eq\f(π,6)，利用余弦定理可得R2＝R2－2＋(eq\r(6))2－2×eq\r(R2－2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)，解得R2＝eq\f(26,9)，所以其外接球的表面积为4πR2＝eq\f(104π,9).7.在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（）A． B． C． D．【解析】由已知是正三棱锥，设是正棱锥的高，由外接球球心在上，如图，设外接球半径为，又，则，由得，解得，所以表面积为．故选：D．8.正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.eq\f(81π,4)B．16πC．9πD.eq\f(27π,4)【解析】如图，正四棱锥P－ABCD的底面中心为H.在底面正方形ABCD中，AH＝eq\r(2)，又PH＝4，故在Rt△PAH中，PA＝eq\r(PH2＋AH2)＝eq\r(42＋\r(2)2)＝3eq\r(2).则由正四棱锥的性质可得，其外接球的球心O在PH所在的直线上，设其外接球的直径为PQ＝2r.又A在正四棱锥外接球的球面上，所以AP⊥AQ.又AH⊥PH，由射影定理可得PA2＝PH×PQ，故2r＝PQ＝eq\f(PA2,PH)＝eq\f(3\r(2)2,4)＝eq\f(9,2)，所以r＝eq\f(9,4).故该球的表面积为S＝4πr2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))2＝eq\f(81π,4).【方法总结】解决此类问题的关键在于利用几何体的结构特征确定球的球心，利用球的截面的性质，球心和球的截面的中心连线垂直于截面．结合相关几何量之间的数量关系可确定球心．9.在四面体中，，，直线，所成的角为60°，，，则四面体的外接球表面积为（）A． B． C． D．【解析】当四面体如下图示，过作且，连接、、，且与交于O点，则△为等边三角形，为矩形且O点为外接圆圆心，即，又，，∴面，面，则面面，过为中点，连接、，若为面外接圆圆心，为四面体的外接球球心，则，，有，如下图示，∴四面体的外接球半径，则外接球表面积为.当四面体如下图示，过作且，连接、、，且与交于O点，则△为等腰三角形，为矩形且O点为外接圆圆心，即，又，，∴面，面，则面面，过为中点，连接，若为面外接圆圆心，为四面体的外接球球心，则，，如下图示，∴四面体的外接球半径，则外接球表面积为.故选：CD10.在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（）A． B． C． D．【解析】中，，所以，，设是中点，则是外心，又是等边三角形，所以，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以的外心即中三棱锥外接球的球心，所以球半径，球体积为．故选：C．11.在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是。【答案】解：引理：正三棱锥的对棱互垂直，证明如下：如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，，，，，平面，，同理：，，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，，，，，平面，，，，，平面，，故三棱锥的三棱条侧棱两两互垂直，，即，外接球的表面积是12．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)【解析】球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的eq\f(1,2)，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，故该圆柱的体积为V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2×1＝eq\f(3π,4).13．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，则三棱锥P－ABC的外接球的体积为()A.eq\f(27,2)πB.eq\f(27\r(3),2)πC．27eq\r(3)πD．27π【解析】因为PA＝PB＝PC，△ABC是正三角形，所以△PAB≌△PAC≌△PBC，由PA⊥PB知，PA⊥PC，PB⊥PC，以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(图略)，则三棱锥P－ABC的外接球可看成正方体的外接球，因为正方体的体对角线长为3eq\r(3)，所以其外接球的半径为R＝eq\f(3\r(3),2)，外接球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(27\r(3),2)π.故选B.14．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【解析】如图，SC为球O的直径，O为球心，因为SA＝AC，所以AO⊥SC，同理SB＝BC，所以BO⊥SC，BO∩AO＝O，所以SC⊥平面ABO.又平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，AO⊥SC，AO⊂平面SAC，所以AO⊥平面SBC，所以AO⊥BO.设球的半径为R，则AO＝BO＝SO＝CO＝R，所以V三棱锥S－ABC＝2×eq\f(1,3)S△ABO×SO＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AO×BO×SO＝eq\f(1,3)R3＝9，所以R＝3，所以球O的表面积为S＝4πR2＝36π.15．类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念，已知球O的一个内接四面体A－BCD中，AB⊥BC，BD过球心O，若该四面体的体积为1，且AB＋BC＝2，则球O的表面积的最小值为________．【解析】在Rt△ABC中，由AB⊥BC，且AB＋BC＝2，得2＝AB＋BC≥2eq\r(AB·BC)，得AB·BC≤1，当且仅当AB＝BC＝1时，AB·BC取最大值1，∵BD过球心O，且四面体A－BCD的体积为1，∴三棱锥O－ABC的体积为eq\f(1,2)，则O到平面ABC距离的最小值为eq\f