新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题16数列放缩证明不等式必刷100题(原卷版+解析)

专题16数列放缩证明不等式必刷100题任务一:邪恶模式(困难)1-100题提示:几种常见的数列放缩方法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.一、单选题1．2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和，那么下列结论正确的是A． B． C． D．2．已知数列满足，，且，，则下列说法中错误的是（）A． B．C． D．3．已知数列满足，，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．4．已知数列满足，，若，对任意的，恒成立，则的最小值为（）．A． B． C． D．35．已知数列的前项和为，满足，则下列说法正确的是（）A．当时，则 B．当时，则C．当时，则 D．当时，则第II卷（非选择题）二、解答题6．已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）设，证明：.7．已知数列的前n项和为，对任意正整数n，点都在函数的图象上，且在点处的切线的斜率为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：.8．已知等差数列的前n项和为，且，又．求数列的通项公式；若数列满足，求证：数列的前n项和．【答案】（1）（2）证明见解析9．已知等差数列满足，，的前n项和为．（1）求及；（2）记，求证：．10．公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，成等比．（1）求数列的通项公式；（2）设，证明对任意的，恒成立．11．已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且a1＝2．数列{bn}满足b1＝0，b2＝2，，n＝2，3，…．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）证明：对于n∈N*，．12．已知函数的导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．若（1）当时，试比较与的大小；（2）记试证.13．已知数列满足．⑴求;⑵求数列的通项公式；⑶证明：14．数列满足：；数列满足：，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，证明：；（3）设，证明：.15．在下列条件：①数列的任意相邻两项均不相等，且数列为常数列，②，③中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.已知数列的前n项和为，___________.（1）求数列的通项公式和前n项和；（2）设，数列的前n项和记为，证明：.16．已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前项和，求证：，.17．已知数列中，，（1）求的通项公式；（2）设，，求证：18．数列满足，是的前n项的和，．（1）求；（2）证明：．19．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（1）求证：；（2）求证：．20．已知数列的首项，，、、．（1）证明：对任意的，，、、；（2）证明：.21．已知数列满足，.（1）证明：数列是等差数列；（2）令，证明：.22．已知正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，证明：当时，.23．已知数列的前n项和为，若.（1）求通项公式；（2）若，为数列的前n项和，求证：.24．已知数列满足，，.（1）设，求证：数列是等比数列；（2）设数列的前项和为，求证：，.25．已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．26．已知数列的前n项和为，，．（1）求证为等比数列；（2）求证：．27．已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：对于任意的，.28．已知数列满足，，，.（1）（i）证明：数列是等差数列；（ii）求数列的通项公式；（2）记，，，证明：当时，.29．已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.（3）若数列满足，求证：.30．已知数列的首项，其前项和为，且满足，，其中．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．31．已知数列满足，的前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，证明：.32．已知数列，满足，（1）若，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式：（2）若，（i）求证：；（ii）33．已知数列满足，，（1）求;（2）若数列满足，，求证：．34．设等差数列的前项和为，.（1）求与；（2）设，证明：.35．已知数列满足：，，.（1）求证是等差数列并求；（2）求数列的前项和；（3）求证：.36．已知数列满足，（1）求证：是等比数列；并写出的通项公式（2）求证：对任意，有37．已知是正项等比数列的前n项和，且，是，的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．38．已知数列满足，前项和满足是正项等比数列，且是和的等比中项.（1）求数列和的通项公式；（2）求证：.39．已知各项均为正数的数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求；（3）若数列满足，，求证：.40．已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：．41．已知各项为正数的数列满足：且．（1）证明：数列为等差数列．（2）若，证明：对一切正整数n，都有42．已知数列满足：，.（I）求证：数列是等比数列；（II）设的前项和为，求证.43．记为等差数列的前项和，若，.（1）求和；（2）当时，证明：.44．已知正项数列满足，.（1）证明：数列是等比数列；（2）证明：.45．已知数列的前n项和记为，且满足n、、成等差数列．Ⅰ求，的值，并证明：数列是等比数列；Ⅱ证明：．46．给定数列，若满足且，且对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”．1已知数列的通项公式，证明：为“指数型数列”；2若数列满足：，；①判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；②若数列的前项和为，证明：.47．已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：．48．已知函数，数列中，若，且.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的前项和为，求证：.49．设为数列的前项和，．（1）求证：数列是等比数列；（2）求证：．50．已知数列中，，其前项和满足：．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．51．已知数列的各项均不为零．设数列的前项和为，数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（Ⅲ）证明：.52．数列前项和为，已知（1）求数列的通项公式；（2）证明．53．已知数列满足，.(1)若为不恒カ0的等差数列，求；(2)若，证明：.54．数列的前n项和为，且满足，Ⅰ求通项公式；Ⅱ记，求证：．55．已知正项数列满足.（1）求证:，且当时，；（2）求证:.56．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝b1＝1，S2＝.(1)若b2是a1，a3的等差中项，求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)若an∈N＋，数列{}是公比为9的等比数列，求证：＋＋＋…＋＜.57．已知数列，，二次函数的对称轴为.(1)证明：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求证：.58．已知数列的前项和满足：.（1）数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，求证：.59．已知数列满足，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求证：．60．数列满足，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）设，求证：.61．设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求数列的通项公式；(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.62．已知函数，数列满足，，.（1）求证：；（2）求证：.63．已知数列{an}满足.(Ⅰ)若方程f(x)=x的解称为函数y=f(x)的不动点,求an+1=f(an)的不动点的值；(Ⅱ)若,求证：数列{lnbn}是等比数列，并求数列{bn}的通项．(Ⅲ)当任意时，求证：.64．数列{an}满足a（1）求证数列{a（2）证明：对一切正整数n，有1a65．已知数列满足条件：,（1）判断数列是否为等比数列；（2）若，令,证明66．已知数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）证明：．67．已知数列满足：是公差为1的等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：68．已知正项数列满足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．（1）求的通项公式；（2）求证＜1（n∈N+）69．已知等差数列的各项均为正数，＝3，前n项和为Sn，是等比数列，＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．（1）求数列与的通项公式；（2）求证：对一切都成立．70．已知正项数列的前项和为，满足．（1）求数列的前项和；（2）记，证明：．71．已知数列满足，且点在函数的图象上．（1）求证：是等比数列，并求的通项公式：（2）若，数列的前n项和为，求证：．72．已知数列满足，且当时，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记，，证明：当时，．73．已知数列满足，．（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求证：．74．已知正项数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，，求证：．75．数列满足，，，.（1）求，及(用表示)；（2）设，求证：；（3）求证：.76．已知是公比的等比数列，且满足，，数列满足：.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求证：.77．设数列的前项和为，且满足，.（1）求（用表示）；（2）求证：当时，不等式成立.78．已知函数，满足：①对任意，都有；②对任意都有．（1）试证明：为上的单调增函数；（2）求；（3）令，试证明：79．已知正项数列满足，.（1）试比较与的大小，并说明理由；（2）设数列的前项和为，证明：当时，.80．已知数列满足．（1）求数列的通项；（2）设，若，求证：．81．已知数列和满足，且对任意的，，.（1）求，及数列的通项公式；（2）记，，求证：，.82．已知数列的前n项和为，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．83．正项数列的前项和为，满足对每个，成等差数列，且成等比数列.（1）求的值；（2）求的通项公式；（3）求证：84．数列，，（1）是否存在常数，，使得数列是等比数列，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由.（2）设，，证明：当时，.85．已知数列满足.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明；（Ⅲ）证明：.86．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，，．（1）求、的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有．87．已知数列满足，且.（1）证明：；（2）证明：.88．已知数列、满足，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：；（Ⅲ）设数列的前项和为，求证：当时，．89．已知数列满足，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若，记数列的前项和为，证明：．90．在数列中，已知，其中.（1）求的值，并证明：；（2）证明：；（3）设，求证：.91．已知数列满足：，，前项和为的数列满足：，，又.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.92．已知数列，.(1)记，证明:是等比数列；(2)当是奇数时，证明:；(3)证明:.93．已知数列满足,,,.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的通项公式;(3)证明:.94．已知数列的首项，其前和为，且满足.（1）用表示的值；（2）求数列的通项公式；（3）当时，证明：对任意，都有.95．已知数列，的前项和分别为，，且，，．（1）求，的通项公式；（2）求证：．96．已知数列，，的前n项和为．（1）若，，求证：，其中，；（2）若对任意均有，求的通项公式；（3）若对任意均有，求证：．97．已知数列，，，设，其中表示不大于的最大整数．设，数列的前项和为．求证：（1）判断与的大小，并说明理由；（2）证明：；（3）证明：当时，．98．已知数列中，.（1）证明：是等比数列；（2）当是奇数时，证明：；（3）证明：.99．已知数列满足：．（1）证明：当时，；（2）证明：．100．已知数列满足，，，记，分别是数列，的前项和，证明：当时，（1）；（2）；（3）.专题16数列放缩证明不等式必刷100题任务一:邪恶模式(困难)1-100题提示:几种常见的数列放缩方法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.一、单选题1．2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和，那么下列结论正确的是A． B． C． D．【答案】C【分析】由时，，由裂项相消求和以及不等式的性质可得,排除，再由前3项的和排除，，从而可得到结论.【详解】由时，，可得，时，，可得,排除，由，可排除,故选C.2．已知数列满足，，且，，则下列说法中错误的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析得出，可判断出CD选项的正误；分析得出，利用累加法可判断出A选项的正误；当时，分析得出，利用放缩法可判断D选项的正误.【详解】由已知，数列满足，，且，，即，故，由，，有，，故与同号，因为，则，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，则，所以，，D错；，C对；因为，则，，，，累加得，所以，，可得，A对；当时，，故，B对.故选：D.3．已知数列满足，，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用数列的单调性可判断A选项的正误；利用放缩法得出，，利用放缩法可判断BCD选项的正误.【详解】由，可得出，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，即，所以，数列为单调递增数列，故，A错；在等式的两边同时除以可得，其中且，所以，，，，，累加得，所以，，则，故.故D错误；对于，所以，，，，，累加得，可得，则，所以，，故，.故选：B.4．已知数列满足，，若，对任意的，恒成立，则的最小值为（）．A． B． C． D．3【答案】D【分析】先根据已知的递推关系式得到，然后结合基本不等式得到，进而得到，最后利用此不等式对放缩，并利用等比数列的前项和公式求解即可．【详解】由，得，又，所以．由，可得，当且仅当时等号成立，因为，，所以，所以，所以，所以，所以．又对任意的，恒成立，所以，故的最小值为3．故选：D5．已知数列的前项和为，满足，则下列说法正确的是（）A．当时，则 B．当时，则C．当时，则 D．当时，则【答案】B【分析】利用不等式放缩和裂项相消法对各选项进行分析和计算，即可求出结果.【详解】对于选项A，当时，，所以，故选项A错误；对于选项B，当时，，又，所以所以，故选项B正确；对于选项C，当时，，所以，故选项C错误；对于选项D，当时，，所以，故选项D错误；故选：B.第II卷（非选择题）二、解答题6．已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）设，证明：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）根据1，结合等差数列的定义可证结论；（2）由（1）知，，根据放大后裂项求和，可证不等式成立.【详解】（1）因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知，，所以，当时，，所以.7．已知数列的前n项和为，对任意正整数n，点都在函数的图象上，且在点处的切线的斜率为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）把点的坐标代入函数的解析式中，结合进行求解即可；（2）根据导数的几何意义，运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行证明即可.【详解】（1）解：依题意可知，当时，，当时，也符合上式，∴；（2）证明：∵，∴，，∴，∴，∴原不等式成立.8．已知等差数列的前n项和为，且，又．求数列的通项公式；若数列满足，求证：数列的前n项和．【答案】（1）（2）证明见解析【分析】直接利用等差数列前n项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．【详解】解：设的公差为d,因为，又．所以，解得．故．证明：由于，所以，所以．9．已知等差数列满足，，的前n项和为．（1）求及；（2）记，求证：．【答案】（1），（2）见详解【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式可求解。（2）由（1）的结论，利用裂项求和即可得出，再利用单调性即可证明结论。【详解】（1）设等差数列的公差为d，，解得，（2）由（1）可知：所以，10．公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，成等比．（1）求数列的通项公式；（2）设，证明对任意的，恒成立．【答案】（1）；（2）见解析．【详解】试题分析：（1）由已知，把此等式用公差表示出来，解得后可得通项公式；（2）由（1）计算出，为了证明不等式，要想办法求出和，但此和不可能求出，为了证不等式，由（），这样和通过放缩后就可求得，从而证得不等式成立．试题解析：（1）设数列的公差为由题∵，∴（2）由（1）得，∴，当时，成立.当时，，∴成立，所以对任意的正整数，不等式成立．考点：等差数列的通项公式，放缩法证明不等式．11．已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且a1＝2．数列{bn}满足b1＝0，b2＝2，，n＝2，3，…．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）证明：对于n∈N*，．【答案】（Ⅰ）＝2n，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析.【分析】（Ⅰ）利用Sn，可得2Sn＝（n+1）an，再写一式2Sn+1＝（n+2）an+1，两式相减可得，利用叠乘法，可求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）根据b1＝0，b2＝2，，利用叠乘法，可求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）先证明，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论．【详解】（Ⅰ）解：∵Sn，∴2Sn＝（n+1）①，∴2Sn+1＝（n+2）②，∴①﹣②可得2＝（n+2）﹣（n+1），∴当n≥2时，∵＝2∴数列{}的通项公式为＝2n；（Ⅱ）解：∵b1＝0，b2＝2，，n≥2，∴n≥3时，＝0，＝2满足上式，∴数列{}的通项公式为；（Ⅲ）证明：当k≥2时，∴∵＝0，∴2n﹣1﹣1∴对于n∈N*，12．已知函数的导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．若（1）当时，试比较与的大小；（2）记试证.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据条件得到解析式，得到，再求出的通项，从而得到的通项，再对二项展开，从而得到与的大小；（2）对进行放缩，然后得到的值，证明不等式.【详解】（1）.，故，当时，，当时，适合上式，因此.从而，当时，故（2），，.13．已知数列满足．⑴求;⑵求数列的通项公式；⑶证明：【答案】解：⑴；⑵；⑶证明过程见详解．【分析】⑴根据，逐项求解，即可求出结果；⑵由，得到是等比数列，进而可求出结果.⑶先由得到．再由放缩法，即可得出结果.【详解】(1)因为数列满足所以，，故．⑵因为所以所以是以为首项，2为公比的等比数列．可得即．(3)因为所以．又因为所以故此．14．数列满足：；数列满足：，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，证明：；（3）设，证明：.【答案】（1），（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）当时，,与条件等式两边相减，即得数列的通项公式，再利用累乘法求数列的通项公式；（2）利用错位相减法求得，再利用单调性证明得解；（3）只需证明，再通过放缩和裂项相消证明不等式.（1）当时，;当时，与条件等式两边相减，得所以.所以=1,.故有所求通项公式分别为和（2）①②①-②：所以，所以所以递增所以又当时，所以（3）只需证明当时，.所以故原不等式成立15．在下列条件：①数列的任意相邻两项均不相等，且数列为常数列，②，③中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.已知数列的前n项和为，___________.（1）求数列的通项公式和前n项和；（2）设，数列的前n项和记为，证明：.【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）选①：由题意，，所以或，又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，所以数列为，即，构造等比数列即可求解；选②：由，，两式相减可得，以下过程与①相同；选③：由，可得，又，时，，所以，因为，所以也满足上式，所以，即，以下过程与①相同.然后由分组求和法可得前n项和；（2）由（1）求出，，则，利用裂项相消求和法求出前n项和记为即可证明.（1）解：选①：因为，数列为常数列，所以，解得或，又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，所以数列为，所以，即，所以，又，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，即；选②：因为，，所以两式相减可得，即，以下过程与①相同；选③：由，可得，又，时，，所以，因为，所以也满足上式，所以，即，以下过程与①相同；所以；（2）解：由（1）知，，所以，所以.16．已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前项和，求证：，.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）由项和转换可得，结合，可得，分析即得解；（2）由可得，利用对数运算性质可得，利用放缩即得证（1）由，结合，因此，由，得，又，得，从而是首项为2公差为3的等差数列，故的通项公式为.（2）由，故即可得，从而，∵，∴，于是，∴.17．已知数列中，，（1）求的通项公式；（2）设，，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据当时，变形为，得到数列等比数列，再利用累加法求解；（2）由（1）得到时，，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）因为当时，变形为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以，，所以.（2）由（1）知：当时，，所以，.18．数列满足，是的前n项的和，．（1）求；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）通过累乘法求通项，再求前n项和即可.（2）通过二项展开式直接放缩即可求解．【详解】解：（1）当时，由②-①得，即．，又得，故．（2）证明：因此，另一方面，易证则．因此，有，当时，，左边等号成立．19．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）运用基本不等式放缩；（2）放缩后构造成等差数列求和．【详解】（1）在条件中，令，得，，，又由条件，有，上述两式相减，注意到得．，，故，，，，即证．（2），，；．20．已知数列的首项，，、、．（1）证明：对任意的，，、、；（2）证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）推出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而可求得的通项公式，然后利用配方法可证得结论成立；（2）取，由（1）中的结论结合等比数列求和可证得所证不等式成立.【详解】（1）对任意的，，则，因为，可得，，，以此类推，可知，对任意的，，且有，所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，所以，，解得，，对任意的，，，得证；（2）由（1）可知，对任意的，有取，所以，，故原不等式成立.21．已知数列满足，.（1）证明：数列是等差数列；（2）令，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）依题意可得，再两边取倒数，即可得到，从而得证；（2）由（1）可得，则，利用放缩法得到，再利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解：（1）因为，所以，因为，所以﹐所以所以又因为.所以是以1为首项，公差为1的等差数列.（2）由（1）得，所以，所以，所以，所以即.22．已知正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，证明：当时，.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用结合已知条件可得，而，从而得，进而可求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，则，再利用放缩法可得，从则得，化简可得结果【详解】（1）由得，则，化简得，又，故.当时，解得，因此数列的通项公式为.（2）由题意，.由于，且，所以，化简得.23．已知数列的前n项和为，若.（1）求通项公式；（2）若，为数列的前n项和，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先求首项，再应用与的关系，构造两式并相减消去，得到递推关系从而证明是等比数列，求出通项公式；（2）化简通项，法一放缩变形为可裂项形式，再裂项求和证明不等式，注意放缩成立条件，法二放缩为等比数列再公式法求和.【详解】（1）由①，令，得.当时，有②，①②两式相减得，即，又，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故；（2）法一：，当时，，当时，，，则故.综上，.法二：由真分数性质，若则，，，.故命题得证.24．已知数列满足，，.（1）设，求证：数列是等比数列；（2）设数列的前项和为，求证：，.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）直接利用定义证明即得证；（2）分析得到，再利用等比数列求和得证.【详解】解：（1），，则，又，所以数列是等比数列；（2）由（1）得，，，，，，，，当时，，又，综上，，.25．已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）递推相减之后得到，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，则．（2）先由放缩法得到，进而累加相消得出结果.【详解】（1）因为，所以，两式相减得，因此．当时，，又，则，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，则．（2）由（1）得，则．26．已知数列的前n项和为，，．（1）求证为等比数列；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得，即，可证明是等比数列；（2）有（1）知，即，合理利用放缩然后利用裂项相消可得证明.【详解】证明：（1）∵数列的前n项和为，，，∴，∴，，∴是以为首项，以4为公比的等比数列．（2）∵是以为首项，以4为公比的等比数列，∴，∴．∴．，，所以，当时，∴．综上所述，．27．已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：对于任意的，.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由，所以，可得，当时有，又，即可得解；（2）首先由，通过放缩和裂项可得：，求和即可得解.【详解】（Ⅰ）数列是公差为的等差数列，且，可得，，，又，（Ⅱ），当时，，又，又，28．已知数列满足，，，.（1）（i）证明：数列是等差数列；（ii）求数列的通项公式；（2）记，，，证明：当时，.【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）；（2）证明见解析.【分析】（1）（i）根据与相除可得，变形得，从而可证数列是等差数列；（ii）根据（i）中等差数列的通项公式可得结果；（2）求出，根据可证，根据可证.【详解】（1）（i）当时，，所以，两式相除得，所以，所以，所以.又，故，故也成立.∴，∴为等差数列（ii）由（i）得，，即.（2）因为，∴∴，又，所以，.29．已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.（3）若数列满足，求证：.【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）证明数列是等差数列，即得数列的通项公式，求出即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求出数列的和；（3）利用放缩法证明不等式即可.【详解】（1）数列满足，，所以（常数），所以数列是等差数列，故，数列是公比为的正数的等比数列，，且，，8成等差数列．所以，解得．所以．故，.（2）数列满足，所以，．（3）数列满足，所以，，，，．30．已知数列的首项，其前项和为，且满足，，其中．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．【答案】（1）；（2）答案见解析【分析】(1)由题可得，又有当时，得，所以，故可判断数列是公比为4的等比数列，则可得其通项公式；（2）由（1）得，利用不等式放缩得，叠加即可证明.【详解】（1）因为，所以当时，，所以；又当时，，所以，得，故有，所以数列是公比为4的等比数列，则有；（2）由（1）得因为，所以，又，所以，综上所以有31．已知数列满足，的前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由求得，令，由得出，两式作差可得出，推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；（2）推导出，然后利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得成立.【详解】（1）当时，，，当时，，，作差得，整理得，且，又，所以，数列是以为首项，以为公比等比数列，，因此，；（2）当时，；当时，，.综上所述，对任意的，.32．已知数列，满足，（1）若，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式：（2）若，（i）求证：；（ii）【答案】（1）证明见解析；；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（1）将代入化简，得到即可求解；（2）判断数列的单调性可得，通过适当放缩得到和，进一步化简可得结果.【详解】（1）∵∴与同号，∴，∴，即∴数列是等差数列，公差为，首项为∴；∴，（2）（i）由（1）知∵∴是递减数列，且∴（ii），∴，∴，由（i）知∴，∴综上所述，33．已知数列满足，，（1）求;（2）若数列满足，，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）用累乘法求得通项；（2）求出满足不等式，从开始用放缩法，然后利用累加法求和可证结论．【详解】（1）由题意（），∴，也适合．所以（）；（2）由已知，，，当时，，因此，则综上，．34．设等差数列的前项和为，.（1）求与；（2）设，证明：.【答案】（1），；（2）证明见解析．【分析】（1）把已知用和表示后解得，然后可得通项公式和前项和公式；（2）写出，利用放缩法有，然后求和可证明不等式成立．【详解】（1）设等差数列的公差为，则由得，解得，∴，；（2）由（1），∴．35．已知数列满足：，，.（1）求证是等差数列并求；（2）求数列的前项和；（3）求证：.【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）利用等差数的定义结合已知的递推式证明即可；（2）由（1）可知，然后利用错位相减法求；（3）由及可得，从而再利用放缩法可证得结果.【详解】（1）证明：，∴是首项为，公差为1的等差数列，∴，∴.（2）∵，∴，两式相减得：，，∴.（3）证明：∵，∴，∴，当时，，∴，∴，∴.36．已知数列满足，（1）求证：是等比数列；并写出的通项公式（2）求证：对任意，有【答案】（1）见解析，（2）见解析【分析】（1）由已知式求得，写出，然后作差得递推关系，凑配后可得是等比数列，从而可得通项公式．（2）用放缩法求和，但前2项不放缩．【详解】（1）证明：，，时，，相减可得：，即，变形为：时也成立.是等比数列，首项为3，公比为3．∴，∴．（2）37．已知是正项等比数列的前n项和，且，是，的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．【答案】（1）（2）见解析【分析】（1）由题得，解方程组得，，即得数列的通项公式；（2）①当，2时不等式显然成立；②当时，，再证明即得解.【详解】（1）设数列的公比为q，由题意得，则，因为，所以两边同时除以得，因为，所以，代入，解得，所以．（2）①当，2时不等式显然成立；②当时，．所以综合得原不等式成立.38．已知数列满足，前项和满足是正项等比数列，且是和的等比中项.（1）求数列和的通项公式；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析；【分析】（1）根据题中的条件利用数列的通项与前n项和的关系求解数列的通项公式，根据等比中项的概念求解数列的公比，从而得到其通项公式；（2）根据（1）中的结论合理放缩，结合等比数列的求和公式证明结论.【详解】（1）当时，由，得，相减得.当时，符合上式，.设的公比为，由题意得，即，又.（2）证明：由题意得，.39．已知各项均为正数的数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求；（3）若数列满足，，求证：.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）利用递推公式，结合累加法即可容易求得通项公式；（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法即可容易求得；（3）利用（1）中所求，即可求得，以及，对进行放缩，即可容易求得.【详解】（1）∵，∴，∴，∴，当时，也适合，∴.（2）由（1）知，∴.（3）∵，所以，令，所以，因为，所以，所以，所以.40．已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：．【答案】（1）．（2）见解析【分析】（1）令求得的值，令，由得出，两式相减得出，由此可得出数列为常数列，进而可求得数列的通项公式；（2）利用放缩法得出，再利用不等式的基本性质和裂项求和法可证得所证不成立成立.【详解】（1）当时，，即，当时，①，②，①②，得：，即，，且，数列是以每一项均为的常数列，则，即；（2）由（1）得，，.41．已知各项为正数的数列满足：且．（1）证明：数列为等差数列．（2）若，证明：对一切正整数n，都有【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．【分析】（1）根据所给递推公式，将式子变形，即可由等差数列定义证明数列为等差数列.（2）根据数列为等差数列，结合等差数列通项公式求法求得通项公式，并变形后令.由求得的取值范围，即可表示出，由不等式性质进行放缩，求得后，即可证明不等式成立.【详解】（1）证明：各项为正数的数列满足：则，，同取倒数可得，所以，由等差数列定义可知数列为等差数列．（2）证明：由（1）可知数列为等差数列．，则数列是以为首项，以为公差的等差数列.则，令，因为，所以，则，所以，所以，所以由不等式性质可知，若，则总成立，因而，所以所以不等式得证.42．已知数列满足：，.（I）求证：数列是等比数列；（II）设的前项和为，求证.【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析.【分析】（I）证明出为非零常数，即可得出结论；（II）利用（I）中的结论，确定数列的首项和公比，求出该数列的通项公式，进而得出，利用放缩法得出，然后分和两种情况证明不等式，由此可得出结论.【详解】（I），，因此，数列是等比数列；（II），所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，，当时，；当时，，.综上所述，对任意的，.43．记为等差数列的前项和，若，.（1）求和；（2）当时，证明：.【答案】（1），；；（2）证明见解析.【分析】（1）根据，，利用“”法求解.（2）由（1）知，，则，再利用数列求和证明.【详解】（1）设公差为，则，解得，所以，；（2）当时，，所以当时，，，，当时，.综上所述，原命题成立.44．已知正项数列满足，.（1）证明：数列是等比数列；（2）证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）将题干中的等式因式分解后得出，由此得出，再利用定义证明出数列为等比数列；（2）求出，利用放缩法得出，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.【详解】（1），.，，，即，则有且，数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）得，即，得，.45．已知数列的前n项和记为，且满足n、、成等差数列．Ⅰ求，的值，并证明：数列是等比数列；Ⅱ证明：．【答案】(I)；见解析(II)见解析【分析】Ⅰ先根据已知条件把1，2代入，即可求出前两项，再根据n、、成等差数列，得到一个新等式，两个相结合即可证明结论．Ⅱ根据第一问的结论得到数列的通项，对通项进行适当的放缩即可证明．【详解】解：Ⅰ由已知n、、成等差数列，可得；令，可得，令，可得，，；得：，即；，；有，可得．数列是以2为首项，2为公比的等比数列．Ⅱ由Ⅰ，．．．．．．46．给定数列，若满足且，且对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”．1已知数列的通项公式，证明：为“指数型数列”；2若数列满足：，；①判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；②若数列的前项和为，证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)①数列是“指数型数列”，证明见解析；②证明见解析【分析】1利用“指数型数列”的定义即可证明是指数型数列；（2）①数列是“指数型数列”，证明即得证；②先由题得，再利用等比数列的求和公式即得解证.【详解】(1)解：对于数列，任意，，所以是指数型数列.(2)①数列是“指数型数列”，证明如下：，，所以数列是等比数列，，，故数列是“指数型数列”．②由①可得，；故.47．已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1⇒Sn﹣Sn﹣1＝Sn•Sn﹣1（n≥2），取倒数，可得1，利用等差数列的定义即可证得：数列{}是等差数列；（2）利用进行放缩并裂项求和即可证明【详解】（1）当时，，，即从而构成以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）可知，，．则当时．故当时又当时，满足题意，故．法二：则当时，那么又当时，，当时，满足题意.48．已知函数，数列中，若，且.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）将代入到函数表达式中，得，两边都倒过来，即可证明数列是等比数列；（2）由（1）得出an的通项公式，然后根据不等式＜在求和时进行放缩法的应用，再根据等比数列求和公式进行计算，即可证出．【详解】（1）由函数，在数列中，若，得：，上式两边都倒过来，可得：＝＝﹣2，∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3＝3（﹣1）．∵﹣1＝3．∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1），可知：＝3n，∴an＝，n∈N*．∵当n∈N*时，不等式＜成立．∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣•＜．∴．49．设为数列的前项和，．（1）求证：数列是等比数列；（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）令，由求出的值，再令，由得，将两式相减并整理得，计算出为非零常数可证明出数列为等比数列；（2）由（1）得出，可得出，利用放缩法得出，利用等比数列求和公式分别求出数列和的前项和，从而可证明出所证不等式成立.【详解】（1）当时，，解得；当时，由得，上述两式相减得，整理得.则，且.所以，数列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）可知，则．因为，所以.又因为，所以．综上，．50．已知数列中，，其前项和满足：．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）由，可得，即数列时以1为首项公比为2的等比数列，即可求解．（Ⅱ），当时，，当时，，即有．【详解】（Ⅰ）由，于是，当时,，即，，∵，数列为等比数列，∴，即．（Ⅱ），∴当时，，当时，显然成立，综上，对于任意的，都有．51．已知数列的各项均不为零．设数列的前项和为，数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（Ⅲ）证明：.【答案】（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）证明见解析，；（Ⅲ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）直接给n赋值求出，的值；（Ⅱ）利用项和公式化简，再利用定义法证明数列是等比数列，即得等比数列的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，再利用等比数列求和证明不等式.【详解】（Ⅰ），令，得，，；令，得，即，，．证明：（Ⅱ），①，②②①得：，，，从而当时，，④③④得：，即，，．又由（Ⅰ）知，，，．数列是以2为首项，以为公比的等比数列，则.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，因为当时，，所以.于是.52．数列前项和为，已知（1）求数列的通项公式；（2）证明．【答案】（1）；（2）证明见详解.【分析】(1)由已知结合可得，变形得，利用叠加法可求.(2)由可得，用放缩法证明不等式.【详解】(1)由,得，以上两式相减得，则.两边同除以，可得.，，…，，以上个式子相加得，又，则，所以.(2)证明：因为，所以.所以.记，则，当时，，可得，所以.所以.53．已知数列满足，.(1)若为不恒カ0的等差数列，求；(2)若，证明：.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【分析】(1)通过对变形、整理可以知道,设,利用等式恒成立列方程组求解即可；(2)利用放缩可以知道,通过叠加可以知道,利用，并项相加可以得到.【详解】(1)数列为不恒为0的等差数列,

可设,

,

,

,

,

,

整理得:,

,

计算得出:或(舍),

，

；

(2)易知,

,

，

两端同时除以,得：，

，

，

，

叠加得：，

又，

又，

，

，

.54．数列的前n项和为，且满足，Ⅰ求通项公式；Ⅱ记，求证：．【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析【解析】【分析】Ⅰ直接利用递推关系式求出数列的通项公式．Ⅱ利用等比数列的前n项和公式和放缩法求出数列的和．【详解】解：Ⅰ，当时，，得，又，，数列是首项为1，公比为2的等比数列，；证明：Ⅱ，，时，，，同理：，故：．55．已知正项数列满足.（1）求证:，且当时，；（2）求证:.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）由a1﹣a12=a2＞0，解得0＜a1＜1．用数学归纳法证明即可，（2）记f（x）=ln（1+x）﹣，x＞0，求导，利用导数判定单调性，再利用放缩法即可证明．【详解】证明：（1）由，解得．下用数学归纳法证明：当时，①当时，．所以不等式成立；②假设当时，不等式成立，即则当时，有,.则当时，不等式也成立．综合①②，当时，都有．（2）记当时，所以在上是增函数，则，即令，则，从而有．56．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝b1＝1，S2＝.(1)若b2是a1，a3的等差中项，求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)若an∈N＋，数列{}是公比为9的等比数列，求证：＋＋＋…＋＜.【答案】（1）an＝2n－1，bn＝3n－1或an＝6－5n，bn＝(－4)n－1.（2）证明见解析．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.利用等比数列的性质求出d，q，再求出通项公式.（2）利用数列{ban}是公比为9的等比数列，求出d＝2，q＝3.再放缩成能利用裂项求和的方法即可.【详解】(1)解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.因为S2＝，所以a1＋a1＋d＝.而a1＝b1＝1，则q(2＋d)＝12.①因为b2是a1，a3的等差中项，所以a1＋a3＝2b2，即1＋1＋2d＝2q，即1＋d＝q.②联立①②，解得或所以an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，bn＝3n－1或an＝1＋(n－1)·(－5)＝6－5n，bn＝(－4)n－1.(2)证明：因为an∈N＋，ban＝b1qan－1＝q1＋(n－1)d－1＝q(n－1)d，所以＝＝qd＝9，即qd＝32.③由(1)，知q(2＋d)＝12，即q＝.④因为a1＝1，an∈N＋，所以d∈N.根据③④，知q＞1且q为正整数．所以d可为0或1或2或4.但同时满足③④两个等式的只有d＝2，q＝3，所以an＝2n－1，Sn＝＝n2.所以＝＜＝(n≥2)．当n≥2时，＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＝1＋＝－＜.显然，当n＝1时上式也成立．故n∈N＋，＋＋…＋＜.57．已知数列，，二次函数的对称轴为.(1)证明：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求证：.【答案】（1）（2）见解析【分析】(1)先由题得，再利用等差数列的定义证明数列是等差数列，并求的通项公式.(2)，先证明.因为，再证明.【详解】由已知得，整理得，左右同时乘以得，，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，所以.（2），，k=1,2,…n；所以又因为，k=1,2,…n；所以；所以58．已知数列的前项和满足：.（1）数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析．【解析】试题分析：(1)结合通项公式与前n项和的关系可得数列是首项为，公比也为的等比数列，则.(2)指数裂项求和放缩可得，据此裂项求和可得．据此即可证得题中的结论.试题解析：（1）解：当时，，所以，当时，，即，，，所以数列是首项为，公比也为的等比数列，所以.（2）证明：．由，所以，所以．因为，所以，即．59．已知数列满足，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求证：．【答案】见解析【解析】试题解析：证明：（1）∵，∴，∴3分∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列．5分证法2：由已知即，即（常数）3分∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列．5分（2）由（1）得，所以，6分一方面，∵7分∴9分另一方面，∵11分∴13分故不等式成立．14分60．数列满足，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）设，求证：.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）分别令，，可得；（2）借助题设条件运用数列的递推关系求解；（3）借助题设运用放缩法和不等式的性质推证.试题解析：（1）令，得；令，有，得；令，有，得.（2）∵，（1）式所以，当时，，（2）式两式相减得：，∴.当时，也适合，∴.（3），当时，；当时，；当时，，，综合可得：.61．设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求数列的通项公式；(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.【答案】(Ⅰ)4(Ⅱ)(Ⅲ)见解析【详解】(Ⅰ)依题意,,又,所以；(Ⅱ)当时,,两式相减得整理得,即,又故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以.(Ⅲ)当时,；当时,；当时,,此时综上,对一切正整数,有.(1)直接将n换为2代入递推式求解；（2）借助进行递推转化，进而构造数列为等差数列是解题的关键，考查了学生对式子的操作能力和转化能力.(3)借助放缩法进行证明，放缩的关键是62．已知函数，数列满足，，.（1）求证：；（2）求证：.【答案】（1）见详解；（2）见详解.【分析】（1）先用数学归纳法证明；再的正负即可得出结论；（2）用放缩法得到，进而可证明结论成立.【详解】（1）首先用数学归纳法证明，时，显然成立；假设，则，因为在上单调递增，所以即也有成立.从而，所以；（2），所以，.63．已知数列{an}满足.(Ⅰ)若方程f(x)=x的解称为函数y=f(x)的不动点,求an+1=f(an)的不动点的值；(Ⅱ)若,求证：数列{lnbn}是等比数列，并求数列{bn}的通项．(Ⅲ)当任意时，求证：.【答案】(Ⅰ)0或1或；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析.【分析】(Ⅰ)由题意解方程即可确定不动点；(Ⅱ)利用递推关系结合等比数列的定义可得数列是等比数列，据此即可确定数列的通项公式；(Ⅲ)结合指数函数的增长速度比一次函数的增长速度快，利用放缩法结合等比数列前n项和公式即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)由方程an+1=f(an)得,解得an=0,或an=−1,或an=1.(Ⅱ)，，两式相除得，据此可得，由可以得到，则，又，得.故数列是以为首项，3为公比的等比数列..从而.(Ⅲ)对于任意，，从而.64．数列{an}满足a（1）求证数列{a（2）证明：对一切正整数n，有1a【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）可在递推式an+1=3an+2n的两边同时加上2n+1可得an+1+2n+1=3(an+2试题解析：(1)由an+1=3an+所以是以3位首项,3为公比的等比数列(2)由(1)知又,故65．已知数列满足条件：,（1）判断数列是否为等比数列；（2）若，令,证明【答案】（1）当时，不是等比数列当时，是等比数列；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意得，讨论，两种情况，利用等比数列的定义可得结论；（2）由⑴知，可得，根据裂项相消法求和，再由放缩法可得结论.【详解】（1）由题意得又所以，当时，不是等比数列当时，是以为首项，2为公比的等比数列．（2）由⑴知，故66．已知数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）证明：．【答案】(1)(2)详见解析【分析】(1)本题可通过得出，然后根据以及等比数列的定义即可得出数列的通项公式，最后根据数列的通项公式即可得出结果；(2)本题可通过放缩法将转化为，再通过等比数列前项和公式即可得出结果．【详解】(1)因为，所以，，因为，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，所以，．(2)由(1)可知，所以成立．67．已知数列满足：是公差为1的等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由于是公差为1的等差数列，可得，又化简可求数列{an}的通项公式；

（2），从而可利用叠加法求解可得．【详解】（1）∵是公差为1的等差数列，∴，∵∴；

（2）因为，＜2-1．68．已知正项数列满足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．（1）求的通项公式；（2）求证＜1（n∈N+）【答案】（1）＝（n+1）2；（2）见解析【解析】【分析】（1）由等差数列的定义可知数列是首项是2，公差为1的等差数列，从而求出的通项公式，即可求出{an}的通项公式；（2）根据，代入，可证得不等式成立．【详解】（1）已知正项数列满足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．得数列是首项是2，公差为1的等差数列，∴∴＝（n+1）2（2）证明：∴＜1﹣﹣+…+﹣＝1﹣＜169．已知等差数列的各项均为正数，＝3，前n项和为Sn，是等比数列，＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．（1）求数列与的通项公式；（2）求证：对一切都成立．【答案】（1）＝2n+1，＝8n﹣1；（2）见解析【解析】【分析】（1）由为等差数列，为等比数列，根据＝3，＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．列出，d，，q的关系式，求出，d，，q即可；（2）由（1）得数列的前n项和Sn，再由裂项相消法计算，最后用放缩法即可证明.【详解】（1）设等差数列的公差为d（d＞0），等比数列的公比为q，则，解得或（舍）所以＝3+2（n﹣1）＝2n+1，＝8n﹣1．（2）因为Sn＝3+5+…+（2n+1）＝n（n+2）所以＝＝．故对一切都成立．70．已知正项数列的前项和为，满足．（1）求数列的前项和；（2）记，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）根据，整理后，根据等差数列的性质可知是首项为1，公差为1的等差数列（2）先对进行放缩，然后利用分母有理化进行裂项后求和.（1）解：由题意得：等式两边同乘，得整理得，由，得，即是首项为1，公差为1的等差数列∴，；（2），∴，，∴，综上可证：．71．已知数列满足，且点在函数的图象上．（1）求证：是等比数列，并求的通项公式：（2）若，数列的前n项和为，求证：．【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意得，推得，即可证明是等比数列，然后结合等比数列的定义和通项公式即可求得结果；（2）推得，由不等式的性质和等比数列的求和公式、数列的单调性，即可求证.【详解】（1）由点在函数的图象上，可得，所以，即，也即，由，所以，所以是首项和公比均为的等比数列，则，所以；（2），所以，．72．已知数列满足，且当时，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记，，证明：当时，．【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【分析】（1）作比构造出新数列的递推关系，从而满足等差数列定义，求得通项公式.

（2）求出Tn，Sn，利用放缩法把Sn变成可以裂项求和的和式，从而证得不等式.【详解】（1）因为当时，，所以，上述两式相除，可得，所以，所以，所以，又，所以，，，所以，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以．（2）因为，所以，所以，所以当时，．73．已知数列满足，．（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析．【分析】（1）由题得，即得数列为等比数列，再求数列的通项公式；（2）对分类讨论利用放缩法求证.【详解】（1）因为，所以，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，故．（2）由，，得，当且为偶数时，，所以；当且为奇数时，为偶数，则，由于，则．综上，．74．已知正项数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，，求证：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）先求首项，再应用与的关系，构造两式并相减消去，得到递推关系从而证明是等差数列，求出通项公式；（2）法一：化简通项，放缩变形为可裂项形式，再裂项求和证明不等式；法二：数学归纳法证明.【详解】（1）当时，，解得或（舍去）；当时，由，两式相减得，即，又，所以，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，故，．（2）由（1）得，故，法一：由所以，即．法二：当时，，，不等式成立；假设当时，不等式成立，即，那么当时，要证，只需证，即证明，.，所以当时，不等式成立．综上，故对任意恒成立．75．数列满足，，，.（1）求，及(用表示)；（2）设，求证：；（3）求证：.【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）由递推关系及可得，，按奇数项、偶数项分别求通项.（2）由（1）所求通项可得，进一步可得通项，再进行放缩变换即可.（3）依（2）进行放缩可求和即可得证.【详解】（1）依题意，.由知，数列是首项为2.公比为2的等比数列.所以.因此，.故数列的通项公式为.（2）证明：由（1）知，，当时，.（3）证明：.76．已知是公比的等比数列，且满足，，数列满足：.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求证：.【答案】（1）；；（2）证明见解析.【分析】（1）先根据条件解得即得通项公式；利用条件可得，再与原式两式相减可得的通项公式；（2）先放缩，再利用裂项相消法证得不等式.【详解】解：（1）因为是公比的等比数列，所以因为，，所以，，所以当时，，当时①②将②乘2得到③①－③，得，所以因为当时，，所以（2）因为而，所以因此77．设数列的前项和为，且满足，.（1）求（用表示）；（2）求证：当时，不等式成立.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据，代入即得，整理可得，为等差数列，即可得解；（2）代入整理，通过放缩即可证明.【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴，为首项为为首项，公差为等差数列，∴.（2）∵，∴时，，时，.78．已知函数，满足：①对任意，都有；②对任意都有．（1）试证明：为上的单调增函数；（2）求；（3）令，试证明：【答案】（1）证明见解析；（2）66；（3）证明见解析.【分析】（1）对①中等式变形，利用定义法判断出的单调性；（2）先假设，根据条件确定出的值，即可求解出的值，再结合（1）的单调性确定出的值，由此计算出结果；（3）根据条件判断出为等比数列并求解出通项公式，利用不等式以及二项展开式采用放缩方法证明不等式.【详解】解：（1）由①知，对任意，都有，由于，从而，所以函数为上的单调增函数；（2）令，则，显然，否则，与矛盾.从而，而由，即得.又由（1）知，即.于是得，又，从而，即.又由知.于是，，，，，，由于，而且由（1）知，函数为单调增函数，因此.从而.（3），，.即数列是以为首项，以为公比的等比数列.∴于是，显然，另一方面，从而.综上所述，.79．已知正项数列满足，.（1）试比较与的大小，并说明理由；（2）设数列的前项和为，证明：当时，.【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，求得数列的通项公式，可求得，然后利用作差法可比较出与的大小；（2）利用不等式的性质得出，然后分和，结合放缩法以及等比数列的求和公式证明出，即可证得结论成立.【详解】（1），即，，，则且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，可得，，；（2）当时，；当时，由（1）可得，则.综上所述，对任意的，.80．已知数列满足．（1）求数列的通项；（2）设，若，求证：．【答案】（1），；（2）证明见解析．【分析】（1）由已知式，用代换得，相减后可求得，同时要验证也符合此表达式即可；（2）求出，用放缩法求和，一个放缩是，另一个放缩是，放缩求和后可证得不等式成立．【详解】（1）∵①，∴时，②，①－②得，，又，也适合上式，∴，；（2）由（1）得，由，得，∴，又，，，，，∴，综上，．81．已知数列和满足，且对任意的，，.（1）求，及数列的通项公式；（2）记，，求证：，.【答案】（1）；；.；（2）证明见解析.【分析】（1）根据递推关系，，得，再利用等比数列通项公式，即可得答案；（2）求出，再利用错位相减法求和，进行不等式的证明；【详解】（1）根据，，得，根据，得，即，故，.同理可得，，.根据，，得，即.又，故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.所以.（2）由（1）知，.当时，，成立；当时，根据，得：.令①则②①-②得：.所以.所以，当时，.又，所以，当时，.综上所述，对任意，恒有.82．已知数列的前n项和为，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先根据和项与通项关系得，再根据等差数列定义以及通项公式得，即得结果；（2）先利用放缩得，（），再利用裂项相消法证得结果.【详解】解：（1）因为，所以，故，即，又因为，所以，故为等差数列，即，亦即；（2）显然当时，，故83．正项数列的前项和为，满足对每个，成等差数列，且成等比数列.（1）求的值；（2）求的通项公式；（3）求证：【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【分析】（1）根据对和成立，得到两个方程，根据成等比数列得到一个方程，三个方程联立组成方程组可解得；（2）根据当时，可得，再两边除以后，可得为等比数列，利用等比数列的通项公式可求得结果；（3）利用进行放缩后，再根据等比数列的求和公式可得结果.【详解】（1）由已知得因为，所以（2）因为成等差数列，所以当时，又符合上式，所以是首项为，公比为的等比数列（3）因为，当时，易知时，原不等式成立；当时，综上，原不等式成立.84．数列，，（1）是否存在常数，，使得数列是等比数列，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由.（2）设，，证明：当时，.【答案】（1）存在；，（2）证明见解析；【分析】（1）设，，由题设导出．存在，使得数列是等比数列．（2），，当时，由得，由此能够导出当时，．【详解】解：（1）设可化为，即故解得可化为又故存在，使得数列是等比数列（2）证明：由（1）得，故时，现证.当时，，而，，故时不等式成立当时，由得，综上可得当时，.85．已知数列满足.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明；（Ⅲ）证明：.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）由，可得证.（Ⅱ）利用得，可得证；.（Ⅲ）由，可得证.【详解】（Ⅰ），所以.（Ⅱ）当时，由得，所以，不等式成立；当时，由得，所以，所以.（Ⅲ），所以，当时，.又因为，所以对一切成立.86．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，，．（1）求、的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有．【答案】（1），；（2）；（3）证明详见解析．【分析】（1）由得，，解得，同理可得；（2）当时，，可得，化简构造数列为常数数列，求出的通项公式；（3）当时，，利用放缩法证明不等式.【详解】（1）由得，，又，所以；当时，得，解得；（2），当时，，所以，化简得：，所以，即，又，所以，故数列为常数数列，所以，得；（3），当时，，数列为等差数列，所以，当时，，原不等式成立，当时，，所以，原不等式成立，综上，对一切正整数，有．87．已知数列满足，且.（1）证明：；（2）证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）对题中的递推关系合理化简证明结论；（2）根据（1）中的结论利用累加法化简证明结论.【详解】证明：（1）由题得，故，由，可知，所以与同号，又，故.（2）由（1）知，故，所以.因为，所以，，相加得.所以，即，于是，因为，，.又由题知，故当时，；当时，；当时，综上，.88．已知数列、满足，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：；（Ⅲ）设数列的前项和为，求证：当时，．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）推导出数列，可得出，利用基本不等式可得出，再由可得出，利用作差法证得，进而可证得结论；（Ⅱ）由可得出，结合可推导出，进而得出，再利用放缩法可证得结论成立；（Ⅲ）由可推导出，进而可得出，再利用累加法及等比数列的求和公式即可证明．【详解】（Ⅰ）因为，则为常数数列，又，，且，则，故，，易知，所以（当且仅当时取等号），因为，因此．又，所以；（Ⅱ）由，有，又，则，则；故，即，所以，当时，；当时，，因此，的前项和；（Ⅲ）由，得，又，则，故，所以，因此，的前项和．89．已知数列满足，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若，记数列的前项和为，证明：．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．【分析】（Ⅰ）利用导数证明出不等式对任意的恒成立，然后利用数学归纳法可证得；（Ⅱ）利用分析法，得出，然后构造函数，利用导数证明出在区间上单调递增，进而可得出，即可证得结论；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可推导出，再由可得出，再利用放缩法结合等比数列的求和公式证明结论．【详解】（Ⅰ）设，其中，，所以，函数在区间上单调递增，则，则.再用数学归纳法证明.①因为，所以，由知；②假设当时，，则当时，因为，所以，由得，综上由①②知对一切恒成立；（Ⅱ）要证，即证，其中，令，则，所以，函数在区间上单