第05讲数列(原卷版+解析)

第05讲数列一、单选题1．（2021·贵州高三月考（理））《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则春分当日日影长为（）A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．6尺2．（2021·全国）如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具．在某种玩法中，按一定规则移动圆环，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，数列满足，且，则解下5个环所需的最少移动次数为（）A．5 B．10 C．21 D．423．（2021·全国高二课时练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？两鼠相逢需要的天数最小为（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2021·全国高二课时练习）“手指推大厦”是科技馆中常见的一个游戏，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，体现了“多米诺骨牌效应”的科学原理.已知“手指推大厦”所用骨牌满足的数学表达式是，其中为第块骨牌的体积（或质量），为第1块骨牌的体积（或质量），为后一块骨牌与其前一块骨牌的体积（或质量）的比值.现在有，两副质地不同的骨牌，它们第一块骨牌的体积不相同，但值相同，记，分别是，两副骨牌第块的体积，已知，，，则的值是（）A．5 B．4 C．3 D．25．（2021·江苏南京·高三开学考试）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第次操作中去掉的线段长度之和不小于，则的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．96．（2022·全国高三专题练习）《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是（）A．1＋B．C．D．7．（2021·皮山县高级中学高二期中（理））“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第项，则的值为（）A．208 B．209 C．210 D．2118．（2021·陕西汉中·高三月考（理））意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，，，，，，…，该数列的特点是前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，数列的前项和为，则下列结论错误的是（）A． B．C． D．二、多选题9．（2021·全国高二课时练习）（多选）中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗．禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还升、升、升粟，1斗为10升，则（）A．，，依次成公比为2的等比数列 B．，，依次成公比为的等比数列C． D．10．（2021·全国）（多选）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则（）A．此数列的第20项是200B．此数列的第19项是182C．此数列的通项公式为D．84不是此数列中的项11．（2021·江苏省前黄高级中学）素数（大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛.1934年，一个来自东印度（现孟加拉国）的学者森德拉姆发现了以下以他的名字命名的“森德拉姆素数筛选数阵”，这个成就使他青史留名．4710131619…71217222732…101724313845…132231404958…162738496071…193245587184……该数阵的特点是每行、每列的数均成等差数列，如果正整数n出现在数阵中，则一定是合数，反之如果正整数n不在数阵中，则一定是素数，下面结论中正确的是（）A．第4行第10列的数为94 B．第7行的数公差为15C．592不会出现在此数阵中 D．第10列中前10行的数之和为125512．（2020·江苏姜堰中学高二月考）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记为第个图形的边长，记为第个图形的周长，为的前项和，则下列说法正确的是（）A． B．C．若为中的不同两项，且，则最小值是1 D．若恒成立，则的最小值为三、填空题13．（2021·江苏南通·高三）《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作．在《孙子算经》中有“物不知数”问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当时，则符合条件的所有a的和为________．14．（2020·江苏姜堰中学高二月考）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内使三行、三列、两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示．一般地，将连续的正整数1，2，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的对角线上数的和为，例如，，，……，那么10阶幻方的对角线上数的和__．15．（2021·河南新乡·高二期末（理））南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列，设该数列前项和为，若数列满足，则___________.16．（2022·全国）1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC､ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形(图1为第一个图形)中的所有线段长的和为，若存在最大的正整数a，使得对任意的正整数n，都有，则a的值为___________.五、解答题17．（2021·山东日照·高三开学考试）我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他各数均为它肩上两数之和．（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，，，，，…，写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；（2）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围．18．（2021·福建三明一中高三）黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题．黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手．已知正项数列的前n项和为﹐且满足（1）求；（2）求（其中表示不超过x的最大整数）19.（2021·全国高二单元测试）牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，设的零点为，取，（1）求的次近似值；（2）设，数列的前项积为．若任意的，恒成立，求整数的最小值．20．（2020·全国高三）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，…，第行的第3个数字为，（1）求；（2）求.21．21.（2021·全国高三专题练习）九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子.中国的末代皇帝溥仪(1906–1967)也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环(如图).现假设有个圆环，用表示按某种规则解下个圆环所需的最小移动次数.已知数列满足下列条件：，，，记的前项和为，（1）求；（2）求.22.（2021·全国高三专题练习）我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，表示数列的前项之和，（1）求（2）求使不等式成立的最小正整数的值第05讲数列一、单选题1．（2021·贵州高三月考（理））《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则春分当日日影长为（）A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．6尺【答案】D【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为.故选：D2．（2021·全国）如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具．在某种玩法中，按一定规则移动圆环，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，数列满足，且，则解下5个环所需的最少移动次数为（）A．5 B．10 C．21 D．42【答案】C【分析】根据已知的数列递推公式，得到与的等量关系，即可计算出解下个圆环需最少移动的次数.【详解】由，，得．故选：C．3．（2021·全国高二课时练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？两鼠相逢需要的天数最小为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】设大鼠、小鼠每天所打的厚度分别构成数列，，则均为等比数列，设它们的前项和分别为，，利用求和公式结合题设条件可得，故可求两鼠相逢需要的天数的最小值.【详解】设大鼠、小鼠每天所打的厚度分别构成数列，，它们的前项和分别为，，则是以1为首项，2为公比的等比数列，是以1为首项，为公比的等比数列，故，．令，即，故，令，则为递增数列，，故的解为，故的最小值为3.故选：B．4．（2021·全国高二课时练习）“手指推大厦”是科技馆中常见的一个游戏，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，体现了“多米诺骨牌效应”的科学原理.已知“手指推大厦”所用骨牌满足的数学表达式是，其中为第块骨牌的体积（或质量），为第1块骨牌的体积（或质量），为后一块骨牌与其前一块骨牌的体积（或质量）的比值.现在有，两副质地不同的骨牌，它们第一块骨牌的体积不相同，但值相同，记，分别是，两副骨牌第块的体积，已知，，，则的值是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】由题意可得①，②，③，解方程组，结合题设即可求解【详解】由题可知，和组成的数列都是以为公比的等比数列.由题意可列出如下的方程：①，②，③，由①可得④，由②可得⑤，由③可得⑥，由④⑤⑥得，，所以，即.因为，和都是整数，所以符合条件的解只有，这一组.综上所述，，故选：D.5．（2021·江苏南京·高三开学考试）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第次操作中去掉的线段长度之和不小于，则的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】可分析得到第次操作去掉的线段长度之和为，即，解指数不等式，利用估计即可【详解】第一次操作去掉的线段长度为，第二次操作去掉的线段长度之和为，第三次操作去掉的线段长度之和为，，第次操作去掉的线段长度之和为，由题意可知，，则，则，所以，即，又，带入上式，可得故选：C6．（2022·全国高三专题练习）《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是（）A．1＋B．C．D．【答案】B【分析】根据题意得到每天截取的线段长度构成了以为首项，为公比的等比数列，然后用等比数列的前项和公式求和，根据其和小于即可说明命题.【详解】该命题说明每天截取的线段长度构成了以为首项，为公比的等比数列，因为，所以能反映命题本质的式子是.故选：B.7．（2021·皮山县高级中学高二期中（理））“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第项，则的值为（）A．208 B．209 C．210 D．211【答案】C【分析】设第个数为，观察图中数据可得，，，，利用叠加法可求.【详解】设：第个数为，则，，，，，叠加可得：，，故选：C8．（2021·陕西汉中·高三月考（理））意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，，，，，，…，该数列的特点是前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，数列的前项和为，则下列结论错误的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】斐波那契数列满足递推关系，列举出前项可知A正确；利用累加的方式可确定BC的正误；根据递推关系可确定D正确.【详解】斐波那契数列满足递推关系：，对于A，斐波那契数列的前项为，，，，，，，，，A正确；对于B，，，，…，，各式相加得：，B正确；对于C，，，，…，，各式相加得：，C错误；对于D，，D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的应用，解题关键是能够根据规律总结出“斐波那契数列”的递推关系式，采用累加法或根据递推关系直接推导即可得到结果.二、多选题9．（2021·全国高二课时练习）（多选）中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗．禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还升、升、升粟，1斗为10升，则（）A．，，依次成公比为2的等比数列 B．，，依次成公比为的等比数列C． D．【答案】BD【分析】根据等比数列的定义，等比数列的前项和公式计算后判断．【详解】由条件，知，，依次成公比为的等比数列，又，所以，所以．故选：BD．10．（2021·全国）（多选）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则（）A．此数列的第20项是200B．此数列的第19项是182C．此数列的通项公式为D．84不是此数列中的项【答案】AC【分析】由已知数列可得为偶数时，，为奇数时，，然后逐个分析判断即可【详解】观察此数列，为偶数时，，为奇数时，，所以此数列的通项公式为，所以C正确；，A正确；，B错误；，所以，故D错误．故选：AC．11．（2021·江苏省前黄高级中学）素数（大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛.1934年，一个来自东印度（现孟加拉国）的学者森德拉姆发现了以下以他的名字命名的“森德拉姆素数筛选数阵”，这个成就使他青史留名．4710131619…71217222732…101724313845…132231404958…162738496071…193245587184……该数阵的特点是每行、每列的数均成等差数列，如果正整数n出现在数阵中，则一定是合数，反之如果正整数n不在数阵中，则一定是素数，下面结论中正确的是（）A．第4行第10列的数为94 B．第7行的数公差为15C．592不会出现在此数阵中 D．第10列中前10行的数之和为1255【答案】ABD【分析】根据题意分析出第行等差数列的公差为，第列等差数列的公差为，再结合题中材料与所学数列知识对各选项进行分析即可.【详解】根据题意，第行等差数列的公差为，第列等差数列的公差为.设为第行第列的数字.对于A，因为第4行数构成的是以13为首项，9为公差的等差数列，所以，故A正确.对于B，第7行的数公差为，故B正确.对于C，假设592不会出现在此数阵中，则是素数，而是合数，所以假设错误，即592会出现在此数阵中，故C错误.对于D，第10列中前10行的数构成以为首项，公差为的等差数列，其和为，故D正确.故选:ABD12．（2020·江苏姜堰中学高二月考）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记为第个图形的边长，记为第个图形的周长，为的前项和，则下列说法正确的是（）A． B．C．若为中的不同两项，且，则最小值是1 D．若恒成立，则的最小值为【答案】ACD【分析】对于A，从前后两个图之间的关系可求出，对于B，由题意可知，数列是1为首项，为公比的等比数列，从而可求出，对于C，由结合，可得，而，从而可求出的值，则可求出的值，进而可求得最小值，对于D，由在上递增和在上递增，可求得结果.【详解】解：对于A，由题意可知，下一个图形的边长是上一个图边长的，边数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为，所以数列是公比为，首项为3的等比数列，所以，所以A正确，对于B，由题意可知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的，所以数列是1为首项，为公比的等比数列，所以，所以B错误，对于C，由，，得，所以，所以，因为，所以当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以最小值是1，所以C正确，对于D，因为在上递增，所以，即，令，则在上递增，所以，即，即，因为恒成立，所以的最小值为，所以D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，考查数列单调性的应用，解题的关键是正确理解题意，求出数列和的通项公式，考查计算能力，属于较难题三、填空题13．（2021·江苏南通·高三）《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作．在《孙子算经》中有“物不知数”问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当时，则符合条件的所有a的和为________．【答案】8184【分析】由题设a=3m+2=5n+3,m,n∈N*，则3m=5n+1，对m分类分析，可知m=5k十2，得到a=15k+8，k∈Z，由a∈[1,500]求得a的取值，再由等差数列的前n项和求得答案.【详解】由题意知，a=3m+2=5n+3,m,n∈N*，则时，不存在；当时，不存在，当时，，满足题意；当时，不存在当时，不存在，故，则共33个数，且这些数构成以8为首项，15为公差的等差数列，这33个数的和为.故答案为：818414．（2020·江苏姜堰中学高二月考）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内使三行、三列、两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示．一般地，将连续的正整数1，2，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的对角线上数的和为，例如，，，……，那么10阶幻方的对角线上数的和__．【答案】505．【分析】推导出，由此利用等差数列求和公式能求出结果．【详解】解：根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，，，，，所以.故答案为：505．15．（2021·河南新乡·高二期末（理））南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列，设该数列前项和为，若数列满足，则___________.【答案】【分析】根据题意得出等比数列的首项为，公比，从而求出，即可求出数列的通项公式，即可得解.【详解】解：因为每一行的数字之和构成的数列为等比数列，且第一行数字和为，第二行数字和为，第三行数字和为，所以该等比数列首项为，公比，所以，所以，所以.故答案为：.16．（2022·全国）1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC､ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形(图1为第一个图形)中的所有线段长的和为，若存在最大的正整数a，使得对任意的正整数n，都有，则a的值为___________.【答案】1010【分析】由题设知每次的增量是前一次增量的倍，增量通项为，进而可得，结合题设恒成立即可求最大的正整数a.【详解】由题设知：且，图2相对图1：线段长度之和的增量为，图3相对图2：线段长度之和的增量为，图4相对图3：线段长度之和的增量为，…图n相对图：线段长度之和的增量为，∴，要使对任意的正整数n成立，∴，即，又a为正整数，∴.故答案为：1010.【点睛】关键点点睛：根据题意写出线段和在每次操作后增量的通项，进而得到第n次线段和，结合数列不等式恒成立求参数的最大值.四、解答题17.（2021·山东日照·高三开学考试）我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他各数均为它肩上两数之和．（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，，，，，…，写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；（2）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）首先找出递推关系，利用递推关系即可计算出数列的通项公式.（2）根据数列的通项公式带入求出列的通项公式，从而求出数列的通项公式，再利用裂项相消即可求出即可计算实数的取值范围.【详解】解：（1）由“杨辉三角”的定义可知：，时，所以有故（2）数列满足，①当时，，②得：，故：，数列满足：，则：，由于恒成立，故：，整理得：，因为在上单调递减，故当时，，所以．18．（2021·福建三明一中高三）黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍