高考数学选填压轴题型第4讲多元问题的最值问题专题练习(原卷版+解析)

4/4第4讲多元问题的最值问题一、方法综述多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。解决问题的常见方法有：导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等。二、解题策略类型一导数法例1．已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为（）A． B．C． D．【举一反三】【2020·浙江学军中学高考模拟】）已知不等式对任意实数恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．类型二消元法例2．已知实数，，满足，，则的最小值是（）A． B． C． D．【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2021年3月测试理科数学（一卷）试卷【举一反三】【2020重庆高考一模】若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是．类型三基本不等式法例3．【2020宜昌高考模拟】已知变量满足，若目标函数取到最大值，则函数的最小值为（）A．1 B．2 C． D．【举一反三】【2019湖南五市十校12月联考】已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A．B．C．D．【2020·陕西西北工业大学附属中学高考模拟】已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．类型四换元法例4．【2020浙江高考模拟】已知，则的最大值是__________．【举一反三】【2020阜阳市三中调研】已知实数满足,则有（）A．最小值和最大值1B．最小值和最大值1C．最小值和最大值D．最小值1,无最大值【2019山东济南期末考】已知函数，若对任意，不等式恒成立，其中，则的取值范围是()A．B．C．D．三、强化训练1．已知函数对，总有，使成立，则的范围是（）A． B． C． D．【来源】天津市第一中学2021届高三下学期第四次月考数学试题2．设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（）A． B． C． D．3．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）4．已知实数，不等式对任意恒成立，则的最大值是（）A． B． C． D．25．已知函数，当时设的最大值为，则当取到最小值时（）A．0 B．1 C．2 D．【来源】浙江省宁波市华茂外国语学校2020届高三下学期3月高考模拟数学试题6．已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为（）A． B． C． D．7．函数．若存在，使得，则的取值范围是（）．A． B． C． D．8．若存在实数，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知函数的定义域为，，若存在实数，，，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．设定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（）A． B． C． D．【来源】河南省鹤壁市高级中学2020届高三下学期线上第四次模拟数学（文）试题12．函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（）A．4 B． C．8 D．【来源】2020届四川省巴中市高三第一次诊断性数学（理）试题第4讲多元问题的最值问题一、方法综述多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。解决问题的常见方法有：导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等。二、解题策略类型一导数法例1．已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】的定义域为，，∴为奇函数，又在上单调递增，∴，∴，又，则，，∴恒成立；设，则，当时，∴在内单调递减，的最大值为从负数无限接近于，，∴，，故选：B.【举一反三】【2020·浙江学军中学高考模拟】）已知不等式对任意实数恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】原不等式可以化为，设f(x)=,所以，所以只有a+4>0，才能有恒成立.此时,设g(x)=，所以所以故选A类型二消元法例2．已知实数，，满足，，则的最小值是（）A． B． C． D．【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2021年3月测试理科数学（一卷）试卷【答案】B【解析】由，可得，，由可得所以，由可得即，解得，所以，令，，由可得，由可得或，，，，，所以的最小值为，即的最小值为.故选：B.【举一反三】【2020重庆高考一模】若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是．【答案】2﹣log23【解析】分析：由基本不等式得2a+2b≥，可求出2a+b的范围，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．解：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b≥，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=因为t≥4，所以，即，所以故答案为2﹣log23类型三基本不等式法例3．【2020宜昌高考模拟】已知变量满足，若目标函数取到最大值，则函数的最小值为（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】试题分析：因为（当且仅当时取等号）,所以.则,记,则在上单调递增,所以,应选D.【易错点晴】本题以线性规划的知识为背景考查的是函数的最小值的求法问题.求解时充分利用题设中所提供的有效信息,对线性约束条件进行了巧妙合理的运用,使得本题巧妙获解.解答本题的关键是求出函数中的参数的值.本题的解答方法是巧妙运用待定系数法和不等式的可加性,将线性约束条件进行了合理的运用,避免了数形结合过程的烦恼,直接求出的最大值,确定了参数的值.【举一反三】【2019湖南五市十校12月联考】已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正实数，，满足，得，当且仅当，即时，取最大值，又因为，所以此时，所以，故最大值为1【解题秘籍】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，然后再利用基本不等式，要注意条件：一正二定三相等．【2020·陕西西北工业大学附属中学高考模拟】已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】若当时，恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣．故选B．类型四换元法例4．【2020浙江高考模拟】已知，则的最大值是__________．【答案】【解析】∵∴令，则.∵∴，∴又∵在上为单调递增,∴∴的最大值是，故答案为.【点睛】解答本题的关键是将等式化简到，再通过换元将其形式进行等价转化，最后运用对勾函数的单调性求出该函数的最值，从而使得问题获解.形如的函数称为对勾函数，其单调增区间为，；单调减区间为，.【举一反三】【2020阜阳市三中调研】已知实数满足,则有（）A．最小值和最大值1B．最小值和最大值1C．最小值和最大值D．最小值1,无最大值【答案】B【解析】由,可设,则=,故选B【2019山东济南期末考】已知函数，若对任意，不等式恒成立，其中，则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函数的图象，由图像可知：函数在R上单调递减，，即，由函数在R上单调递减，可得：，变量分离可得：，令，则，又，∴，∴，故选B．三、强化训练1．已知函数对，总有，使成立，则的范围是（）A． B． C． D．【来源】天津市第一中学2021届高三下学期第四次月考数学试题【答案】B【解析】由题意可知：，成立，即，又对，，所以，又可看作与在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，由，，可取，所以的直线方程为，设与平行且与相切于，所以，所以，所以切线为，当与平行且与两条直线的距离相等时，即恰好在的中间，此时与在纵坐标的竖直距离中取得最大值中的最小值，此时，则，又因为，所以，所以，此时或或，所以的范围是，故选：B.2．设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，若对任意的，均有即为，由于,当时，为单调递增函数，又∵函数为偶函数，∴等价于，即（∵）,由区间的定义可知,若，于是,即，由于的最大值为，故显然不可能恒成立；,即,∴,即,故的最大值为,故选：B.3．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）【答案】B【解析】因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，所以将换为，可得，所以函数在上是增函数，所以，所以f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，等价于，即对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，令，则，即，解得或，故选：B4．已知实数，不等式对任意恒成立，则的最大值是（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】令，原不等式整理得，即，∴，即，两边除以得：，所以，因为，故，故为增函数.又，因此在上递减，上递增，又，，且，故.则.故选：B.5．已知函数，当时设的最大值为，则当取到最小值时（）A．0 B．1 C．2 D．【来源】浙江省宁波市华茂外国语学校2020届高三下学期3月高考模拟数学试题【答案】A【解析】，当时设的最大值，在端点处或最低点处取得，最小值为2，最小值为，最小值为4.5，最小值综上可得，取到最小值时0.故选：A6．已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】①当时，在上单调递增，所以，因此满足题意；②当时，在上单调递增，在上单调递减因此⑴当时，在上单调递增，所以，或或⑵当时，在上单调递增，在上单调递减，所以；综上，的取值范围为，故选：D7．函数．若存在，使得，则的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，因此，可化为，即存在，使成立，由于的对称轴为，所以，当单调递增，因此只要，即，解得，又因，所以，当时，，，满足题意，综上，．故选：．8．若存在实数，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】对任意，不等式恒成立，等价于不等式恒成立，等价于恒成立，等价于恒成立，等价于函数的图象和函数的图象分别位于直线的两侧在直角坐标系内画出函数和函数的图象如图所示，由解得,所以两个函数图象的横坐标较小的交点坐标为，由图易得当时，取得最大值，令，解得，所以的取值范围为，故选：B9．已知函数的定义域为，，若存在实数，，，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的定义域为，由，解得，的定义域为，，令，，，则,当时为增函数,，，存在实数,使得，即，解得故选：D10．已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为由恒成立，分别作出及的图象，由图知，当时，不符合题意，只须考虑的情形，当与图象相切于时，由导数几何意义，此时，故.故选：D11．设定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（）A． B． C． D．【来源】河南省鹤壁市高级中学2020届高三下学期线上第四次模拟数学（