福建省福州市福建匠心恒一教育科技有限公司2024-2025学年高三上学期第一次月考（10月）数学试题

2024-2025学年第一学期高三第一次月考数学试卷考试时间：120分钟；试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．已知集合,则（）A．B．C．D．2．已知复数,则（）A．B．C．D．3．下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（）A．B．C．D．4．设,则a,b,c的大小关系为（）A．B．C．D．5．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．7．若函数在上是单调函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知函数满足则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数为R上的奇函数，且在R上单调递增若，则实数a的取值可以是（）A．B．0C．1D．210．已知函数,则（）A．1是的极小值点B．的图象关于点对称C．有3个零点D．当时，11．已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（）A．关于点对称B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数是偶函数，则实数___________．13．已知定义在R上的奇函数满足,当时，,则方程在内的所有根之和为___________．14．已知函数．若过点可以作曲线三条切线，则m的取值范围是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数在点处的切线平行于x轴．（1）求实数a；（2）求的单调区间和极值．16．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且．（1）求A；（2）若的角平分线与交于点,求．17．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若,求曲线在处的切线方程；（3）当时，试讨论函数的零点个数．18．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．19．若函数在上存在,使得,则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点．（1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；（2）已知函数,存在,使得,且是上的“双中值函数”，是在上的中值点．①求a的取值范围；②证明：．

2024-2025学年第一学期高三第一次月考参考数学答案题号12345678910答案CDDDBABBCDAB题号11答案ABD1．C【分析】利用两集合的交集定义即得．【详解】由题意,则．故选：C．故选：C2．D【分析】利用复数除法运算求出，再求出复数的模．【详解】复数,则，所以．故选：D3．D【分析】根据函数的奇偶性先排除AB选项，再结合函数的单调性选择正确答案．【详解】对A:因为函数的定义域为,定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误；对B:,所以函数为偶函数，故B错误；对C:根据正切函数的性质可知，函数在不具有单调性，故C错误；对D:函数的定义域为,故函数为奇函数，又，所以函数在上单调递增．故选：D4．D【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解．【详解】因为,所以,因为,所以．因为，所以,所以．故选：D5．B【分析】利用导数和函数单调性的关系求解即可．【详解】,若函数在上单调递增，则在上恒成立，故在上恒成立，故．故选：B6．A【分析】求出函数的零点排除两个选项，再求出函数的极大值，结合图形即可判断得解．【详解】函数定义域为,由,得或,即函数有两个零点0,2，BC错误；,当时，,当时，,函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在处取得极大值，D错误，A符合题意．故选：A7．B【分析】利用导数可知函数在区间上为增函数，由此可知该函数在区间上也为增函数，且有,进而可得出关于a的不等式组，即可解得实数a的取值范围．【详解】，当时，，所以，函数在区间上为增函数，由于该函数在上是单调函数，则该函数在上为增函数，所以,解得．因此，实数a的取值范围是．故选：B．【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了导数的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．8．B【分析】依据题意先赋值代入等量关系式求出,再赋值得,进而依据此计算规则逐步求出,即求出是周期为6的周期函数，再依据此计算规则结合和求出,进而结合周期即可求解．【详解】取代入,得即,由题解得,令代入得,故，所以是周期为6的周期函数，又,所以，所以，故选：B【点睛】思路点睛：依次赋值和代入分别得到和,再依据所得条件推出即函数周期为6和，进而根据周期性和即可求解．9．CD【分析】先利用函数是奇函数，将不等式转变为,再利用函数在R上单调递增，将不等式转变为,求解即可．【详解】因为函数是奇函数，则不等式,可变形为,因为函数在R上单调递增，则不等式成立，则,解得，1,2符合题意，故选：CD．10．AB【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明得函数图象的对称点判断选项B;利用函数单调性和零点存在定理判断选项C;利用单调性比较函数值的大小判断选项D．【详解】对于A,函数,令,解得或,故当时,当时，,当时,则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故1是的极小值点，故A正确；对于B,因为,所以的图象关于点对称，故B正确；对于C,,易知的单调性一致，而,故有2个零点，故C错误；对于D,当时，,而在上单调递增，故,故D错误．故选：AB．11．ABD【分析】根据函数的图象变换判断A的真假，根据函数图象的对称性，结合换元思想判断B的真假；结合函数的周期性及特殊点的函数值，可判断CD的真假．【详解】对于A:把的图象向左平移1个单位，可得的图象，又为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故A正确；对于B:由为奇函数，则,又为的导函数，所以,即,则,又为奇函数，所以,即．由上得,故,故,即,即是奇函数，故B正确；对于C:由于,故,即,故4是的一个周期，又,即,所以为周期为4的周期函数，因为,令可得,即,所以,故C错误；对于D:因为是R上的奇函数，故,结合得，，故,故D正确．故选：ABD【点睛】关键点点晴：（1）若函数为奇函数，则,两边求导，可得,所以为偶函数．即奇函数的导函数为偶函数；（2）若函数为偶函数，则,两边求导，可得,所以为奇函数．即偶函数的导函数为奇函数．12．【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解．【详解】定义域为R,,所以,故,故答案为：13．12【分析】结合已知条件画出图象，由与图象交点的特征求得方程在内的所有根之和．【详解】因为,所以的图象关于直线对称，又函数在R为奇函数，且当时，,由此画出在区间上的图象如下图所示．，由图可知，与图象的4个交点，其中两个关于直线对称，两个关于直线对称，所以方程在内的所有根之和为．故答案为：1214．【分析】切点为，则求导后可得斜率，设切线为：，可得,设，求,利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图像交点的个数，结合图像即可得出答案．【详解】设切点为．由可得，所以在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线为：,因为切线过点,所以，即,即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线与图像交点的个数，设，则由可得,由可得：或,所以在和上单调递减，在上单调递增当x趋近于正无穷，趋近于0，当x趋近于负无穷，趋近于正无穷，的图像如下图，且，要使与的图像有三个交点，则．15．（1）1（2）答案见解析【分析】（1）对函数求导，依题意只需使即可求得实数a;（2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值．【详解】（1）由可得：，由题意，,解得;（2）由（1）得,则,当时，,则在上是减函数；当时，在上是增函数．故时，函数有极小值为,无极大值．故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为,无极大值．16．（1）．（2）【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；（2）利用等面积法以及余弦定理即可求解．【详解】（2）解法一：如图，由题意得，,所以,即，又,所以,所以,即,所以．解法二：如图，中，因为，由余弦定理得，，所以,所以，所以，所以,所以．17．（1）答案见解析（2）（3）答案见解析【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）由题意的零点个数转化为直线与曲线的交点个数问题，令，利用导数判断的单调性，作出其图象，数形结合，即可求得答案．【详解】（1）,当时，恒成立，故在R上单调递增，当时，令,解得,所以当时，单调递增；当时，单调递减；综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由,则,得,曲线在处的切线的斜率为故曲线在处的切线的方程为,即;（3）由于，即，即的零点个数可看作直线与曲线的交点个数同题；令，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故,当时，,当时，,当x趋向于负无穷时，趋向于负无穷，当x趋向于正无穷时，趋向于0，作出函数的图象如图：当，即时，直线与曲线中的有2个交点，当，即时，直线与曲线的有1个交点，当，即时，直线与曲线中的无交点，故时，函数的零点个数是2；时，函数的零点个数是1；时，函数的零点个数是0；18．（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）对求导得，对a分和来讨论的单调性即可；（2）要证,只需证,结合（1）的结论得，即证恒成立．令,利用导数求出的最大值即可得证．【详解】（1）,定义域为，则,①当时，在上单调递增；②当时，当时，在上单调递增；当，在上单调递减．综上，①当时，在上单调递增，②当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）当时，要证,只需证,由（1）得，，即证恒成立．令,则，当时，单调递增，当时，单调递减，的最大值为，即．恒成立，原命题得证．19．（1）是上的“双中值函数”，理由见解析（2）①；②证明见解析【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可；（2）①根据定义知,利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为,构造差函数,利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明．【详解】（1）函数是上的“双中值函数”．理由如下：因为,所以．因为,所以令,得,即,解得．因为,所以是上的“双中值函数”．（2）①因为,所以．因为是上的“双中值函数”，所以．由题意可得．设,则．当时，,则为减函数，即为减函数；当时，,则为增函数，即为增函数，故．因为,所以