数学导学案：2任意角的三角函数（第2课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第2课时三角函数线1.了解三角函数线的定义和意义。2。会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.掌握三角函数线的简单应用.三角函数线(1）有向线段：带有的线段叫做有向线段.(2)定义：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合,角α的始边与x轴的非负半轴重合）。过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点,这样就有sinα＝，cosα＝，tanα＝.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的线、线、线，统称为三角函数线.①三角函数线的位置:正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上;正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外.②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向单位圆与α的终边（或反向延长线)的交点。③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值,与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值。④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后.⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号;三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.【做一做1－1】如图所示,P是角α的终边与单位圆的交点,PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的(）A。正弦线是PM，正切线是A′T′ B.正弦线是MP,正切线是A′T′C.正弦线是MP，正切线是AT D。正弦线是PM,正切线是AT【做一做1－2】不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是（）A。总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B。总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C。正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D.正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在答案：(1）方向（2）MPOMAT正弦余弦正切【做一做1－1】C【做一做1－2】D三角函数线的应用剖析:三角函数线是三角函数值的直观表达形式，从三角函数线的方向可看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值大小。三角函数线的主要作用是解三角方程和不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是以后画三角函数图象的基础。题型一解三角方程【例1】在单位圆中画出满足sinα＝eq\f(1,2）的角α的终边，并写出α组成的集合。分析：先作出直线y＝eq\f（1,2）与单位圆的交点P,Q，再连接OP，OQ即得。反思：形如sinα＝m，cosα＝n，tanα＝t的等式,可借助于三角函数线写出α组成的集合.其步骤是：①在单位圆中画出α的终边；②在[0,2π）内找出满足条件的角；③用终边相同的角的集合写出。题型二解简单的三角不等式【例2】解不等式sinα≥－eq\f（1,2）。分析：由于sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π,6）））＝sineq\f(7,6）π＝－eq\f（1，2)，则在坐标系中画出－eq\f（π，6)和eq\f(7,6)π，确定α的终边位置。反思：解简单的三角不等式时，常借助于三角函数线，转化为终边在某区域内的角的范围.如本题转化为求终边在优弧对应的扇形区域内角的范围.题型三易错辨析易错点错解函数的定义域【例3】求函数y＝eq\r(1＋2cosx）＋lg（2sinx＋eq\r(3))的定义域.＞－eq\f（\r（3),2).所以2kπ＋eq\f（4π,3）≤x≤2kπ＋eq\f（8π,3)且2kπ－eq\f(π,3)＜x＜2kπ＋eq\f（4π,3）,其中k∈Z。其交集为空集，故无定义域。错因分析：因两个不等式中的k各自独立，因此上述两集合是有公共部分的,如图所示。反思：解三角不等式组时,先解每个三角不等式，再取它们的交集.取交集时,要注意各自解集中k的独立性。答案：【例1】解:如图，作直线y＝eq\f（1，2）交单位圆于点P，Q,连接OP，OQ,则射线OP，OQ为角α的终边．由于sineq\f（π，6)＝eq\f(1，2），sineq\f(5π,6）＝eq\f(1，2）,则OP是eq\f（π，6)的终边，OQ是eq\f（5π,6）的终边．所以α＝eq\f（π，6）＋2kπ或α＝eq\f(5π，6）＋2kπ，k∈Z。则α组成的集合为S＝eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f（π，6）＋2kπ或α＝\f(5π，6）＋2kπ，k∈Z）)）)。【例2】解:如图所示，作直线y＝－eq\f（1，2）交单位圆于A，B两点，则∠xOA＝eq\f(7π,6)，∠xOB＝－eq\f（π,6）.过在直线AB上方的圆弧上任一点P作PM⊥x轴于M，则MP＝sinα.则α的终边不能与直线AB下方的圆弧有交点，则有2kπ－eq\f(π,6)≤α≤2kπ＋eq\f（7π,6)(k∈Z)．即原不等式的解集是eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f（π，6)≤α≤2kπ＋\f(7，6)π，k∈Z)）））。【例3】正解：要使函数有意义，则需同时满足1＋2cosx≥0且2sinx＋eq\r(3）＞0，即cosx≥－eq\f（1，2)，且sinx＞－eq\f（\r(3）,2）.由cosx≥－eq\f(1，2)，知2kπ－eq\f（2π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z。由sinx＞－eq\f（\r（3）,2），知2nπ－eq\f（π,3)＜x＜2nπ＋eq\f（4π，3）,n∈Z,∴x的取值范围是｛x|2kπ－eq\f(π,3）＜x≤2kπ＋eq\f（2π，3），k∈Z}．1．下列各式正确的是（）A.sin1＞ B。sin1＜C.sin1＝ D.sin1≥2．已知tanx＝1,则x＝________。3．不等式cosx＞0的解集是________。4．在单位圆中画出满足cosα＝的角α的终边，并写出α组成的集合。5．求函数y＝的定义域.答案：1．B1和的终边均在第一象限,且的正弦线大于1的正弦线,则sin1＜。2．x＝＋kπ(k∈Z）3．｛x|2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z}．如图所示，OM是角x的余弦线，则有cosx＝OM＞0，∴OM的方向向右．∴角x的终边在y轴的右方．∴2kπ－＜x＜2kx＋，k∈Z.4。解:如图所示，作直线x＝交单位圆于M，N,连接OM，ON，则OM，ON为α的终边．由于＝,＝，则M