数学成长训练第一讲四柱坐标系与球坐标系简介

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1.如图,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5)，C1（6，分π2式,5）,则此长方体外接球的体积为________。解析：据顶点的柱坐标求出长方体的三度,其外接球的直径恰为长方体的对角线长.由长方体的两个顶点坐标为A1（4,0,5),C1（6,π2,5)，可知OA=4，OC=6,OO1=5,则对角线长为那么球的体积为·π·()3=.答案：2.已知点M的直角坐标为（1，—3,4),则它的柱坐标为_______。解析：设点M的柱坐标为（ρ,θ,z）,则,解之,得ρ=2，θ=，z=4.∴点M的柱坐标为（2，，4）。答案:（2，，4)3。设点M的柱坐标为(2，，7),则它的直角坐标为_______。解析：设点M的直角坐标为(x，y,z)，则∴点M的直角坐标为（,1，7).答案:（,1，7）4。已知点M的球坐标为（2,,),则它的直角坐标为_______.解析:设M的直角坐标为（x,y，z），则∴点M的直角坐标为（—1,1,—).答案：(—1,1，-)5.两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A（25，arctan,θa)、B(25,π—arctan,θB）,求出这两个截面间的距离.解析：根据已知可得球半径为25，这样,我们就可以在Rt△AOO1和Rt△BOO1中求出OO1及OO2的长度来,可得两个截面间的距离为O1O2。解:由已知,OA=OB=5,∠AOO1=arctan,∠BOO1=π—arctan，在△AOO1中,tan∠AOO1==∵OA=25，∴OO1=7。在△BOO2中,∠BOO2=arctan,tan∠BOO2==。∵OB=25，∴OO2=20。则O1O2=OO1+OO2=7+20=27。∴两个截面间的距离O1O2为27。6。在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系。有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A（R，,)、B（R,，)，飞机应该走怎样的航线最快,所走的路程有多远？解析:我们根据A、B两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走AB两地的大圆时,飞机最快，所走的路程实际上是要求我们求出过A、B两地的球面距离。解:如图所示，因为A(R,,），B（R，,),可知∠O1AO=∠O1BO=，∴∠AO1O=∠BO1O=.又∠EOC=,∠EOD=，∴∠COD=-=.∴∠COD=∠AO1B=。在Rt△OO1B中，∠O1BO=，OB=R，∴O1B=O1A=R.∵∠AO1B=,∴AB=R.在△AOB中,AB=OB=OA=R，∴∠AOB=。则经过A、B两地的球面距离为R。走经过A、B两地的大圆，飞机航线最短，其距离为R。7.结晶体的基本单位称为晶胞，图（1）是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图（2)，建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.解析：在空间直角坐标系中，我们需要找点的(x,y,z)；在柱坐标系中，需要找到（ρ,θ，z)；在球坐标系中，需要找到（r,φ,θ）。解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为（0，0,0)，（1，，0),（，，)，（1,,），（,,）,它们的柱坐标分别为(0,0，0）,(1，0,0），(，，0），（1，，0）,(，,0)；中层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为，所以,这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(,，0)，(，arccos,arctan）,(，arccos,arctan2)，(,，),它们的柱坐标分别为（，0,)，(,arctan,），（,arctan2，),(，,);上层的钠原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1,所以，这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1，0,0），（,,0),（,arctan，），（，，），（,arctan，）,它们的柱坐标分别为(0,0,1),（1，0,1)，(,,1)，(1,,1），（,，1).8.距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离试用两点的坐标表示这两点间的距离。解：(1）在平面直角坐标系中，已知P1(x1,y1）,P2(x2，y2），则|P1P2｜=.（2）在空间直角坐标系中,如图，设P1(x1，y1，z1）、P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1)、P2(x2，y2,z2）在xOy平面上的射影分别为M、N,那么M、N的坐标为M（x1,y1,0）、N(x2，y2,0）,在xOy平面上，|MN｜=.过点P1作P2N的垂线,垂足为H,则｜MP1|=|z1|，|NP2|=|z2|，所以｜HP2|=|z2—z1|.在Rt△P1HP2中，｜P1H|=|MN｜=,根据勾股定理,得|P1P2｜==。因此,空间中点P1(x1,y1,z1)，P2(x2，y2,z2)之间的距离｜P1P2|=.(3)我们来确定P1、P2两点在柱坐标系中的距离公式:根据空间点P的直角坐标（x，y，z）与柱坐标（ρ，θ，z)之间的变换公式：P1（x1，y1，z1）,P2（x2,y2,z2）,有可得｜P1P2｜=（4)我们来确定P1、P2两点在球坐标系中的距离公式：空间点P的直角坐标（x，y，z）与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为P1（x1,y1,z1),P2（x2，y2，z2)，有及可得｜P1P2|=走近高考1.已知点P的柱坐标为（2，,5）,点B的球坐标为（6,,)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为（）A.P点（5,1，1），B点B.P点(1,1，5)，B点C。P点,B点(1，1,5)D。P点(1,1,5)，B点解析:此题考查空间直角坐标系与空间极坐标系的互化.只要我们记住互化公式,问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为柱坐标与直角坐标的互化公式为解：设P点的直角坐标为（x，y，z）,x=·cos=·=1，y=·sin=1，z=5。设B点的直角坐标为（x，y,z），x=·sin·cos=··=，y=·sin·sin=··=，z=·cos=·=所以,点P的直角坐标为(1，1,5），点B的直角坐标为（).选B.答案：B2。设点M的直角坐标为(1,1，1),求它的柱坐标.解