数学成长训练：向量加法运算及其几何意义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1。已知四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是（）A。+=B.+=C.+=D.+=解析:+=≠，故A错。+≠，故B错。+=+==,故C正确。+≠，故D错.答案：C2.在四边形ABCD中，=+，则四边形ABCD是（）A。矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形解析：∵=+,∴+=，又A、B、C、D为四边形的顶点，根据向量求和的平行四边形法则得ABCD为平行四边形.答案：D3.已知向量a∥b，且|a｜＞|b｜＞0,则向量a+b的方向（)A.与向量a方向相同B.与向量a方向相反C.与向量b方向相同D.与向量b方向相反解析:∵a∥b,且｜a|＞｜b|＞0，∴a与b为非零的共线向量.当a与b方向相同时，a+b与a方向相同，当a与b方向相反时，由于|a|＞|b｜，∴a+b与a方向相同,综上，a+b与a方向相同。答案:A4.a，b为非零向量,且｜a+b|=｜a|+｜b|,则(）A。a∥b，且a与b方向相同B.a，b是共线向量C.a=—bD.a，b无论什么关系均可解析:当a与b不共线时，｜a+b|＜|a｜+｜b|，当a与b方向相反时，|a+b|＜｜a｜+｜b｜，故a∥b且a与b方向相同时方满足｜a+b｜=|a｜+|b｜。答案:A5.-+—+等于（）A.B。C.D。0解析:-+—+=(+）—（+）+=-+=。答案：A6.在平行四边形ABCD中,若｜+｜=|+|，则必有（）A.ABCD是菱形B。ABCD是矩形C。ABCD是正方形D。以上皆错解析：在平行四边形中，+=，+=+=.∵｜+|=|+|,∴|｜=||.∴ABCD为矩形。答案：B7.已知正方形ABCD的边长为1，则｜+++｜为（)A。1B.C.3D.2解析:｜+++｜=|2|=2|｜=.答案:D8。若三个向量a、b、c满足a+b+c=0，则a、b、c可以组成（)A.一条直线B。三个点C.三角形D.不确定解析：当a、b、c共线时，不能构成三角形，当a、b、c不共线时，由向量加法的三角形法则可知能构成三角形.答案：D9.若向量a、b满足|a｜=8,｜b｜=12，则|a+b|的取值范围是______________。解析：应用不等式｜|a|-|b||≤|a+b｜≤｜a｜+｜b｜求解.答案：［4，20]10.已知｜｜=｜｜=1，且∠AOB=60°,则|+｜=____________.解析:设，则OACB为菱形，且∠AOB=60°。∴||=。答案：11。一艘船从3km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，同时河水的流速为3km/h，求船实际航行速度的大小和方向.解析：设表示船向垂直于对岸方向行驶的速度，表示水流速度，以AD、AB为邻边作ABCD,则就是船的实际航行速度.在Rt△ABC中,|｜=3km/h，||=3km/h,∴||=.tan∠CAB==1，∴∠CAB=45°。答：船实际航行速度的大小为km/h，方向与水流方向间的夹角为45°.12.设O是△ABC内任一点，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，证明++=++.证明:因为+，，,所以。因为D、E、F分别为各边的中点,所以=，=,=.所以++=（++）=0。所以走近高考13。(2006全国高考Ⅰ)设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0。如果平面向量b1,b2，b3满足|bi｜=2|ai｜,且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1,2,3，则……（)A.-b1+b2+b3=0B.b1-b2+b3=0C.b1+b2—b3=0D。b1+b2+b3解析：不妨设a1、a2、a3的模相等，且夹角都为120°.∵|bi｜=2｜ai|,且将ai顺时针旋转30°后与bi同向，即b1+b2+b3=2(a1+a2+a3)=0。故选D.答案:D14.(2005山东高考模拟一）下列命题：①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么，a+b的方向必与a、b之一的方向相同;②△ABC中，必有+=0；③若+=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若a、b均为非零向量，则｜a+b｜与|a|+｜b|一定相等。其中真命题的个数为（）A.0B。1