湖北省随州市曾都区2024-2025学年九年级上学期10月多校联考数学试题

曾都区八角楼初级中学教联体2024-2025学年度上学期九年级第一阶段质量监测数学（试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本部分共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．函数图象的顶点坐标是（）A． B． C． D．3．一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A． B．且 C． D．且4．将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（）A． B． C． D．5．通过观察下列表格，可知一元二次方程的一个解x所在的范围是（）x1.11.21.31.41.51.61.71.81.9-0.89-0.76-0.61-0.44-0.25-0.040.190.440.71A． B． C． D．6．如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（）A． B． C． D．7．已知抛物线的对称轴为直线，记，，则下列选项中一定成立的是（）A． B． C． D．8．若二次函数在时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（）A． B． C． D．9．若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（）① ②③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本部分共5个小题，每小题3分，共15分）11．若a是关于x的方程的一个根，则的值是______．12．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为______．13．定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“奇妙方程”．已知是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为______．14．若实数满足，则的结果为______．15．如图，正方形OABC的边长为6，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线的图象上，则a的值为______．三、解答下列各题（本部分共9个大题，共75分）16．（6分）用适当的方法解方程：（1）； （2）．17．（6分）已知关于x的一元二次方程．（1）求证：该方程总有实数根；（2）设该方程的两个实数根分别为，，若，，求a的取值范围．18．（6分）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线．（1）方程的解是______；（2）若，则方程的解有______个，抛物线与直线有______个公共点；（3）不等式的解集是______．19．（8分）如图，抛物线经过，两点，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，对称轴所在的直线交x轴于点E，连接AD，点F为AD的中点，求出和线段EF的长．20．（8分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．（1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？（2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率．21．（9分）如图，用长为22m的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为14m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为______m；（2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽；（3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？22．（10分）材料一：经过一点的直线解析式总可以表示为：比如过一点的直线解析式可以表示为：．材料二：二次函数的图象若与直线有两点交点，，则此二次函数可表示为：，我们称此形式为“广义的二次函数交点式”；（1）由材料一：直接写出直线经过的定点坐标；（2）由材料二：若二次函数经过，，，试求该二次函数的解析式；（结果写成一般式）（3）若一次函数与（2）中的抛物线交于点，试用k表示出另一交点的横坐标．23．（10分）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量n（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格x（元/千克）3035404550日销售量n（千克）6004503001500（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数的知识确定n与x之间的函数表达式，并直接写出n与x的函数表达式为______；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（）的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润-日支出费用）24．（12分）如图1，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设的面积为S，求S的最大值；（3）当时，求直线AP的函数表达式及点P的坐标．参考答案题号12345678910答案ADBABCCCCB1．A【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的三个要素：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．据此判断即可．【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；B．该方程未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C．该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D．该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：A．2．D【分析】本题考查了二次函数图象的顶点坐标，解题关键是能将一般式化为顶点式，将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标．【详解】解：∵，∴顶点坐标为；故选D．3．B【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，一元二次方程方程有两个不等实数根，则；方程有两个相等实数根，则；方程没有实数根，则．根据一元二次方程的定义和根的判别式列式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴且，∴且．故选：B．4．A【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．【详解】解：∵抛物线的图象向下平移3个单位长度，∴根据“上加下减，左加右减”规律可得平移后抛物线的解析式是，故选：A．5．B【分析】本题考查估算一元二次方程的解，根据图表，找到相邻两个x的值，使的值为一正一负，即可得出结果．【详解】解：由表格可知，当时，，当时，，∴当时，存在一个x的值，使，∴一元二次方程的一个解x所在的范围是；故选B．6．C【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．【详解】解：∵∴图象的开口向下，对称轴是直线，∴当时，y随x的增大而减小，∴关于对称轴的对称点为，∵，∴．故选：C．7．C【分析】本题考查了抛物线的对称轴公式以及实数大小的比较，解题关键是利用作差法比较实数大小．由抛物线对称轴公式，计算得出，再利用作差法比较m和n的大小即可．【详解】解：∵该抛物线的对称轴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴．故选：C．8．C【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，y的值随x值的增大而减小，由于时，y的值随x值的增大而减小，于是得到．【详解】解：抛物线的对称轴为直线，∵，∴抛物线开口向上，当时，y的值随x值的增大而减小，而时，y的值随x值的增大而减小，，故选：C．9．C【分析】本题考查一元二次方程配方及一次函数的性质，先配方得到p，q，再根据一次函数的性质判断即可得到答案；【详解】解：方程配方得，，∴，，∴直线经过一、二、四象限，不经过三象限，故选：C．10．B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，交y轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与x轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，①，②，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，交y轴于负半轴，∴，，，∴，∴，故①正确；∵二次函数的图象与x轴相交于点，，∴二次函数的对称轴为直线，①，②，由①+②得：，∵，∴，∴，即，故②错误；当时，二次函数有最小值，由图象可得，对任意实数m，，∴对任意实数m，均成立，故③正确；∵点，在抛物线上，且，∴，故④错误；综上所述，正确的有①③，共2个，故选：B．11．2024【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据题意把代入，得，再把代入化简计算即可．【详解】解：∵a是关于x的方程的一个根，∴把代入，得：，∴，∴，故答案为：2024．12．/【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当时，y随x的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解．【详解】解：由题意得，，对称轴，∴当时，y随x的增大而增大，∵当时，；时，，∴当时，函数值y的取值范围为，故答案为：．13．2【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，理解“美妙方程”的定义是解答本题的关键．由“美妙方程”的定义得，根据方程有两个相等的实数根得，把代入即可求解．【详解】解：∵是“奇妙方程”，∴，∵方程有两个相等的实数根，∴，∴，解得：，∴．故答案为：214．1【分析】设，则原方程转化为关于t的一元二次次方程，通过解方程求得t的值，即的值．本题主要考查了换元法，因式分解法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．【详解】解：设，则原式等于，整理得，解得（舍弃），，即．故答案为：1．15．【分析】连接OB，过B作轴于D，若OA与x轴负半轴的夹角为15°，那么；在正方形OABC中，已知了边长，易求得对角线OB的长，进而可在中求得BD、OD的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．【详解】解：如图，连接OB，过B作轴于D；∵四边形是正方形，∴．∵OA与x轴负半轴的夹角为15°，∴∵正方形的边长为6，∴；中，，，则，；故，代入抛物线的解析式中，得：，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，求出是解答本题的关键．16．（1），（2），【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：（1）配方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∴，∴，；（2）解：∴，．17．（1）见解析；（2）．【分析】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键．（1）直接利用根的判别式进行证明即可；（2）利用根与系数的关系可得，根据方程的根，列出不等式求解即可．【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程，．该方程总有实数根．（2）解：∵关于x的一元二次方程，∴，∵，，∴，解得，∴a的取值范围为．方法二：因式分解法可得方程的两根分别为1，，可解18．（1），（2）2，两（3）【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据二次函数的对称性，则，得出二次函数与x轴的另一个交点为，故方程的解是，，（2）作图，得出直线与有两个交点，运用数形结合，即可作答．（3）运用图象性质以及二次函数与x轴的交点，开口方向，即可作答．【详解】（1）解：结合图象，设二次函数与x轴的另一个交点为，∵对称轴为直线，二次函数与x轴的一个交点为，∴，∴，∴二次函数与x轴的一个交点为，∴方程的解是，；故答案为：，；（2）解：如图所示：直线与有两个交点，∴方程的解有2个；∴抛物线与直线有两个公共点；故答案为：2，两；（3）解：由（1）得二次函数与x轴的交点坐标为和∵二次函数的开口方向向下，∴结合图象，得不等式的解集是．19．（1）（2）4；【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法和定理是解题的关键．（1）利用待定系数法解答即可；（2）根据解析式，确定顶点坐标，利用勾股定理计算AD，结合点F为AD的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算线段EF的长．【详解】（1）解：由抛物线经过，两点，∴，∴，∴抛物线的解析式．（2）解：抛物线的解析式，∴．对称轴所在的直线交x轴于点E，∴轴，且，∴，，∴；∵，点F为AD的中点，∴．20．（1）售价应定为每个40元．（2）这两周的平均增长率为10%．【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；（1）设售价应定为每个x元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为8000元，再建立方程解题即可；（2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为y，再结合增长率的含义建立方程求解即可．【详解】（1）解：设售价应定为每个x元，则，整理得：，解得：，；∵更大优惠让利消费者，∴不符合题意，∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个40元．（2）解：由（1）得：当售价为每个40元时，销量为（个），设这两周的平均增长率为y，则，解得：，（不符合题意舍去），∴这两周的平均增长率为10%．21．（1）（2）此时花圃的长为9米，宽为5米（3）这个花圃的面积不能达到；这个花圃面积最大可以做到．【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，列代数式：（1）用篱笆的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD；（2）根据长方形的面积公式列方程求解即可；（3）长方形的面积公式列方程，看方程是否有符合题意的解即可；利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案．【详解】（1）解：设花圃的宽AB为x米，则（米），故答案为：；（2）解：由题意可得：，∴，解得：，，当时，，不符合题意，故舍去；当时，，符合题意；答：此时花圃的长为9米，宽为5米；（3）解：当时，则，∴，∴此时原方程无解，∴这个花圃的面积不能达到，∵，∴，∴这个花圃面积最大可以做到．22．（1）（2）（3）【分析】（1）根据材料一求解即可；（2）根据材料二求解即可；（3）首先联立一次函数和二次函数，然后根据根与系数的关系求解即可．【详解】（1）由材料一得，直线∴直线经过的定点坐标为；（2）由材料二得，∵二次函数与直线交于点和∴该二次函数的解析式为∴；（3）联立一次函数和得∴，整理得，∵一次函数与（2）中的抛物线交于点，∴设另一交点的横坐标为x，∴，∴∴另一交点的横坐标为．【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的性质，求函数表达式，根于系数的关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点．23．（1）（2）这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大（3）2【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，销售问题中数量关系是解题的关键．（1）先判断n与x成一次函数关系，设n与x之间的函数表达式为，运用待定系数法即可求解；（2）设日销售利润为w元，由题意得：，根据一次函数图象的性质即可求解；（3）设日获利为w元，由题意得：，结合二次函数图象的性质，分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：销售价格每增加5元，日销售量减少150kg，∴n与x成一次函数关系，设n与x之间的函数表达式为，将，代入，得：，解得：，∴；（2）解：设日销售利润为w元，由题意得：，∵，抛物线开口向下，∴当时，w有最大值3000．∴这批农