数学成长训练：二倍角的正弦、余弦、正切公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1.化简等于(）A。2B.1C解析：原式=答案：A2。cos4-sin4等于(）A。0B.C.1D.-解析:原式=(cos2+sin2)(cos2-sin2)=cos=.答案:B3.下列各式中，值为的是(）A。sin15°cos15°B.2cos2—1C.D。解析：对于A,sin15°cos15°=sin30°=。对于B，2cos2-1=cos=。对于C，=cos15°。对于D,=tan45°=.故选D。答案：D4.等于()A。3B。C。1D。-1解析:∵,∴原式=.答案：A5。设f(tanx)=tan2x,则f（2)等于(）A。B.C。—D.4解析:∵f（tanx)=tan2x,求f(2)即令tanx=2。∴tan2x=。答案:B6。已知0＜θ＜,化简所得结果是()A.cosθ—sinθB.sinθ—cosθC.cosθD.2cosθ解析:原式=,∵0＜θ＜,∴cosθ＞sinθ。∴原式=cosθ-sinθ.答案:A7。化简等于（)A。cot2αB.tan2αC.cotαD.tanα解析:原式====tan2α.答案:B8.当0＜x＜时，函数f(x）=的最小值是（）A。B。C。2D.4解析：∵0＜x＜，∴cosx≠0.把f（x）的分子，分母同时除以cos2x得f(x)=。∵0＜x＜,∴0＜tanx＜1。∴f（x)min=4.答案：D9.函数f(x）=cosx—cos2x(x∈R）的最大值等于_______________.解析：原式=f（x)=cosx—（2cos2x—1）=cosx-cos2x+=-（cos2x-cosx+）+=-(cosx—）2+。∵x∈R,∴—1≤cosx≤1。∴cosx=时，f(x)max=.答案：10.已知sinα=cos2α，α∈（,π），则tanα=_____________.解析：由sinα=cos2α,得sinα=1-2sin2α，即2sin2α+sinα—1=0。sinα=或sinα=-1(舍去),∴α=。∴tanα=tan=。答案：11.求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x—2的取值范围、最小正周期以及为增函数的区间.解:y=(sin2α+cos2α）+sin2α+2cos2x—2=1+sin2x+cos2x-1=sin（2x+).（1)∴-≤y≤.(2)T==π.（3)2kπ—≤2x+≤2kπ+(k∈Z）。解之,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∴增区间为［kπ—,kπ+］,k∈Z.12.已知cos(+x)=,＜x＜，求的值.解:方法一:∵原式==sin2x·=sin2x·=sin2x·tan（+x）。①由＜x＜,知＜+x＜2π,又由cos（+x）=,得sin（+x）=，∴tan（+x）=。又sin2x=—cos(2x+)=-cos[2（+x）］=—［2cos2（+x）—1］=1-2cos2（+x)=1-2×。将上述结果代入①式有：原式=×（）=.方法二:∵=。①由cos（+x）=,得coscosx-sinsinx=.∴有cosx—sinx=.②∴（cosx-sinx）2=,即2sinxcosx=。③又（cosx+sinx)2=1+2sinxcosx=1+=。∵＜x＜,cosx＞0,sinx＜0,且|cosx｜＜|sinx|，∴cosx+sinx＜0。∴cosx+sinx=.④将②③④代入①得原式=.走近高考13。（2006陕西高考,17）已知函数f(x)=sin(2x-）+2sin2（x-）(x∈R),（1)求函数f(x)的最小正周期;（2）求使函数f(x)取得最大值的x的集合。解:(1）f（x）=sin2（x—）+1-cos2(x—)=2［sin2（x—）—cos2(x—)]+1=2sin［2（x—)-］+1=2sin(2x—)+1，∴T==π。(2）当f（x）取最大值时，sin（2x-）=1,有2x-=2kπ+，k∈Z，∴x=kπ+(k∈Z）。∴所求x的集合为{x∈R｜x=kπ+，k∈Z}。14。(2006辽宁高考，17)已知函数f(x)=sin2x+2sinx·cosx+3cos2x，x∈R，求:(1)函数f（x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合；（2）函数f(x)的单调增区间。解:（1）方法一：∵f（x）=+sin2x+）=2+sin2x+cos2x=2+sin(2x+）,∴当2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z)时，f（x)取得最大值2+.因此，f(x）取得最大值的自变量x的集合是{x｜x=kπ+,k∈Z}。方法二:∵f(x)=（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+sin(2x+）,∴当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z）时，f（x)取得最大值2+。因此,f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x｜x=kπ+，k∈Z｝.（2)f(x)=2+sin（2x+)。由题意得2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z），即kπ—≤x≤kπ+（k∈Z）。因此,f(x）的单调增区间是［kπ—,kπ+］（k∈Z).15.（2006安徽高考,17）已知＜α＜π,tanα+cotα=。(1)求tanα的值；（2）求的值.解:(1）∵tanα+cotα=,∴3tan2α+10tanα+3=0.解得tanα=—3或tanα=-。∵＜α＜π，∴—1＜tanα＜0.∴tanα=-。（2)∵tanα=—，∴==16.（2006重庆高考，18）设函数f（x）=cos2ωx+sinωxcosωx+a(其中ω＞0，a∈R),且f（x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求ω的值;(2)如果f(x）在区间[-,]上的最小值为3,求a的值。解:(1)f(x)=cos2ωx+sin2ωx++a=sin(2ωx+)++a依题意得2ω·+=，解之,得ω=.(2)由（1)知f(x）=sin(x+)++a,又当x∈[-，］时，x+∈［0，］。故-≤sin（x+）≤1，从而f(x）在［—,］上取得最小值—++a.因此，由题设知-++a=3,故a=。17。(1)(2006全国高考卷Ⅱ，3）函数y=sin2xcos2x的最小正周期是（)A。2πB.4πC.D。（2）(2006全国高考卷Ⅱ,10)f(sinx）=3—cos2x,则f(cosx)等于()A。3-cos2x