数学层级训练：函数的奇偶性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.1。4函数的奇偶性知识点一：奇偶函数的概念1．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有A．f（x）－f(－x）〉0B．f(x）－f（－x）≤0C．f(x）·f(－x)≤0D．f(x)·f（－x）〉02．已知函数f(x)＝eq\r（x－2）＋eq\r（－x＋2)，则f(x)是A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数3．已知函数y＝f（x）是定义在区间[a－1,3］上的偶函数，那么a＝__________.4．若f(x)是奇函数，则f(1＋eq\r（2）)＋f（eq\f（1,1－\r（2)))＝__________.知识点二：奇偶函数的图象特征5．下列命题正确的是A．偶函数的图象一定与y轴相交B．奇函数的图象一定通过原点C．不存在既是奇函数又是偶函数的函数D．偶函数的图象关于y轴对称6．奇函数y＝f（x)（x∈R）的图象必过点A．（a,f(－a))B．(－a，f(a））C．(－a，－f（a))D．（a，f(eq\f(1,a)））7．已知f（x）是定义在(－3，3)上的奇函数,当0〈x<3时,f（x)的图象如图所示，那么不等式f(x）〈0的解集为A．（－3，－2）∪（0,1）B．（－2，－1)∪(0，1)C．(－3，－1)∪（0，1)D．(0，1)∪（1，3）8．下图是根据y＝f（x)绘出来的，则表示偶函数的图象是图中的__________．（把正确答案的序号都填上)能力点一：判断函数的奇偶性9．下列函数中不是偶函数的是A．y＝－3x2B．y＝3x2＋|x｜C．y＝eq\f（1,x2－1）D．y＝x2－x＋110．判断下列函数的奇偶性:（1)f(x）＝|x＋a|－|x－a|（a∈R）;（2)f（x）＝x(eq\f（1，2x－1)＋eq\f(1，2）);(3）f（x)＝eq\f（\r(1－x2)，|x＋2|－2）.11．判断函数f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x1－x,x<0,，x1＋x，x〉0)）的奇偶性．能力点二：利用奇偶性求解析式12．若f(x）是定义在R上的奇函数,当x<0时，f(x）＝x(x－1)．求当x≥0时，f（x）的解析式．能力点三:利用奇偶性确定字母范围13．设f(x)在R上是偶函数，在区间（－∞，0)上递增，且有f(2a2＋a＋1)〈f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．能力点四：综合应用14．若函数y＝f（x＋2)是偶函数,则y＝f(x)的对称轴方程是A．x＝0B．x＝2C．x＝－2D．x＝115．已知f（x）是偶函数,g（x)是奇函数，它们的定义域均为｛x｜x≠±1},若f（x）＋g(x)＝eq\f（1，x－1），则f(x）＝__________,g(x）＝__________.16．已知函数f（x）＝x5＋ax3＋bx－8,且f(－2）＝10，则f（2)＝__________。17．已知函数f（x)，x∈R，若对于任意实数a,b都有f（a＋b）＝f(a）＋f(b）．求证：f(x)为奇函数．18．函数f(x)＝eq\f（ax＋b，1＋x2）是定义在（－1,1)上的奇函数,且f（eq\f（1，2)）＝eq\f(2,5）.(1）确定函数f(x)的解析式；（2)用定义证明f（x)在（－1，1)上是增函数；(3)解不等式：f（t－1)＋f(t）〈0.答案与解析基础巩固1．C2.D3。－24．0∵f（x)是奇函数，∴f(eq\f(1,1－\r(2）)）＝f[－（1＋eq\r(2)）]＝－f(1＋eq\r（2))．∴f（1＋eq\r(2)）＋f(eq\f(1,1－\r(2)))＝f（1＋eq\r（2))－f(1＋eq\r（2)）＝0.5．D6．C由f(－a)＝－f(a）知,(－a，f（－a)）即(－a，－f(a)）在y＝f(x）的图象上．7．C∵f（x)是定义在（－3,3)上的奇函数，∴图象关于原点对称,易知f（x)〈0的解集为(0，1）∪（－3,－1)．8．（3）能力提升9．D10．解：(1)f(x）的定义域（－∞,＋∞)关于原点对称．a≠0时，f（－x)＝|－x＋a｜－|－x－a｜＝|x－a｜－｜x＋a｜＝－f(x）．a＝0时，f（x）＝｜x|－|x｜＝0。∴f(－x）＝f(x）＝0，且f（－x)＝－f（x）＝0.综上,知当a≠0时，f（x)为奇函数;当a＝0时，f(x）既是奇函数又是偶函数．（2）由2x－1≠0，得x≠0,∴f（x)的定义域关于原点对称．∵f（－x）＝－x(eq\f（1,2－x－1)＋eq\f（1,2)）＝－x（eq\f(2x,1－2x)＋eq\f(1,2））＝x（eq\f（2x，2x－1)－eq\f（1，2））＝x(eq\f(1，2x－1)＋eq\f(1,2）)＝f（x），∴f(x)是偶函数．(3）f（x)的定义域为［－1，0)∪（0,1],则f（x)＝eq\f（\r(1－x2),｜x＋2｜－2）＝eq\f(\r(1－x2),x)，f(－x）＝eq\f(\r(1－－x2）,－x)＝－eq\f(\r（1－x2),x)＝－f(x)．∴f(x）是奇函数．11．解：f(x）的定义域是（－∞,0)∪(0，＋∞),并且当x〉0时，－x〈0，∴f(－x）＝（－x）［1－(－x)］＝－x(1＋x）＝－f（x）;当x〈0时，－x>0，∴f（－x）＝－x（1－x)＝－f（x）．故f（x)是奇函数．12．解：∵f(x)是奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－x）（－x－1）＝x（－x－1）＝－x（x＋1）;当x＝0时，f（0）＝－f(0）,即f(0)＝0。∴x≥0时，f(x)＝－x(x＋1)．13．解：∵f（x)在R上是偶函数,在区间(－∞,0)上递增,∴f(x)在（0,＋∞)上递减．∵2a2＋a＋1＝2（a＋eq\f（1，4）)2＋eq\f（7，8）〉0，2a2－2a＋3＝2（a－eq\f(1,2）)2＋eq\f（5,2)>0，且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3）,∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，即3a－2>0。解之，得a>eq\f(2，3).14．B∵y＝f（x＋2)是偶函数,∴f(x＋2)＝f(－x＋2)．∴f(x)的对称轴为x＝2。15。eq\f（1，x2－1)eq\f(x,x2－1)∵f(x)＋g（x)＝eq\f(1,x－1）,①∴f(－x)＋g(－x）＝eq\f（1,－x－1），即f(x)－g（x）＝－eq\f（1,x＋1）.②由①②联立方程组可求得答案．16．－26设g（x）＝x5＋ax3＋bx，x∈R，∵g(－x)＝－g(x）,∴g（x）为奇函数．而f(x)＝g（x)－8，又f（－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(2)＝－g(－2）＝－18.∴f（2)＝g(2）－8＝－26。拓展探究17．证明：令a＝0，则f（b)＝f（0)＋f(b），∴f(0）＝0.又令a＝－x,b＝x,代入f(a＋b)＝f（a)＋f（b)得f(－x＋x)＝f(－x）＋f(x），即0＝f（－x)＋f(x）．∴f(－x)＝－f（x)．∴f(x）为奇函数．18．解：(1）依题意,得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（f0＝0,，f\f（1，2）＝\f(2,5)，))即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(b,1＋02)＝0,\f（\f(a,2）＋b,1＋\f(1,4）)＝\f(2,5))）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，，b＝0.）)∴f(x)＝eq\f(x，1＋x2)。（2)任取－1〈x1〈x2〈1，则Δx＝x2－x1〉0，Δy＝f(x2）－f（x1)＝eq\f（x2,1＋x\o\al（2,2))－eq\f(x1,1＋x\o\al（2,1))＝eq\f（x2－x1·1－x1·x2，1＋x\o\al（2,1)1＋x\o\al（2