高考 一轮复习-函数与方程

科教学设计

学生姓名教师姓名班主任

日期时间段年级课时

学案11函数与方程

导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二

次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值.

课前准备区回扣教材夯实基础__________________________________________

【自主梳理】

1.函数零点的定义

(1)对于函数y=f(x)(xw力,把使成立的实数x叫做函数p=f(x)(才巳功

的零点.

(2)方程Ax)=O有实根o函数y=f(x)的图象与—有交点=函数y=F(x)有

2.函数零点的判定

如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有一

那么函数y=f(x)在区间________内有零点，即存在c£(a,吩,使得________,这个

也就是f(x)=0的根.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理.

3.二次函数尸af+bx+c(a>0)的图象与零点的关系

4>04=021<0

二次函数了=。V2

+Ax+c5

Q>0)的图象X1=XX

A2

与X轴的交点_,—无交点

零点个数

4.用二分法求函数以才)零点近似值的步骤

第一步，确定区间［a,b］,验证,给定精确度J

第二步，求区间(a,力)的中点c；

第三步，计算______：

①若,则。就是函数的零点；

②若,则令b=c［此时零点加£(a,c)］；

③若,则令a=c［此时零点照£(c,6)］;

第四步，判断是否达到精确度£：即若后一引《£,则得到零点近似值a(或b)；否则

重复第二、三、四步.

【自我检测】

x?+2x—3,

1.(2010・福建)F(x)=的零点个数为

一2+Inxx>0

()

A.0B.1C.2D.3

2.若函数尸f(x)在R上递增，则函数y=f(x)的零点

()

A.至少有一个B.至多有一个

C.有且只有一个D,可能有无数个

3.如图所示的函数图象与J轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是

4.设人力=3'+3*—8,用二分法求方程3'+3*—8=0在*£(1,2)内近似解的过程中

得F(D<0,A1.5)>0,Al.25)<0,则方程的根所在的区间是

()

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)

C.(1.5,2)D.不能确定

5.(2011-福州模拟)若函数F(x)的零点与gj)=4*+2*—2的零点之差的绝对值不超

过0.25,则f(x)可以是

()

A.F(x)=4x—1B.f(x)=(x-\Y

C.f(x)=ex—1D.f(x)=ln(x—0.5)

课堂活动区突破考点研析热点

探究点一函数零点的判断

【例1】判断函数y=lnx+2*—6的零点个数.

变式迁移1(2011•烟台模拟)若定义在R上的偶函数F(x)满足〃*+2)=〃X),且当

>£[0,1]时，f(x)=x,则函数y=F(x)—log31x|的零点个数是

()

A.多于4个B.4个

C.3个D.2个

探究点二用二分法求方程的近似解

【例21求方程2/+3X—3=C的一个近似解(精确度0.1).

变式迁移2(2011•淮北模拟)用二分法研究函数/•(分=,+皿卜+0的零点时，第一

次经计算/'(0)<0,>0,可得其中一个零点刘仁,第二次应计算.以

上横线上应填的内容为

()

人(°'号B.(0,1)

小)同乖9

探究点三利用函数的零点确定参数

【例3】已知a是实数，函数/(才)=2aV+2x—3—a,如果函数尸F(x)在区间[―1,1]

上有零点，求a的取值范围.

变式迁移3若函数f(x)=4、+a-2'+a+l在(-8,十8)上存在零点，求实数&的

取值范围.

⑥课堂小结

1.全面认识深刻理解函数零点：

(1)从“数”的角度看：即是使〃x)=0的实数”;

(2)从“形”的角度看：即是函数/'(*)的图象与x轴交点的横坐标；

(3)若函数FJ)的图象在处与x轴相切，则零点刘通常称为不变号零点；

(4)若函数F(x)的图象在才=前处与x轴相交，则零点刘通常称为变号零点.

2.求函数F(x)的零点的方法：

(1)(代数法)求方程F(x)=O的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；

(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数尸，(*)的图象联系起来，

并利用函数的性质找出零点；

(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)・f(b)<0表明：用二分

法求函数的近似零点都是指变号零点.

3.有关函数零点的重要结论：

(D若连续不间断的函数1J)是定义域上的单调函数，则人0至多有一个零点；

(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变.

课后练习区精题精练规范答题

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.(2010•天津)函数F(x)=2*+3x的零点所在的一个区间是

()

A.(—2,-1)B.(—1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

2.(2011•福州质检)已知函数fJ)=log2X—©”,若实数司是方程〃>)=0的解，且

0<水胸，则〃加)的值

()

A.恒为负B.等于零

C.恒为正D.不小于零

3.下列函数图象与¥轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()

4.函数F(x)=5—2)5—5)—1有两个零点汨、如且汨<如则()

A.Xi<2,2<A2<5

B.Xi>2,尼>5

C.刘<2,彳2>5

D.2<小<5,及>5

[4A-4,xWl

5.(2011•厦门月考)设函数f(x)=,，g(x)=log2*,则函数方(x)

[x—4x+3,JV>1

=f(x)—g(x)的零点个数是

()

A.4B.3C.2D.1

题号12345

答案

二、填空题(每小题4分，共12分)

6.定义在R上的奇函数/'(»满足：当x>0时，/'a)=2006'+log2oo6A-,则在R上，函

数F5)零点的个数为________.

7.(2011•深圳模拟)已知函数F(x)=x+2*,g(x)=x+lnx,的零

点分别为乂，照，*3,则M,X2,*3的大小关系是.

8.(2009•山东)若函数/'(4)=4一才一百(a0,且aWl)有两个零点，则实数a的取值

范围是.

三、解答题(共38分)

9.(12分)己知函数f(x)=x—x+1+:.

证明：存在加£(0,1),使/加=用.

10.(12分)已知二次函数fix)=4V-2(p-2)x-2p2-p+1在区间［-1,1］内至少存在

一个实数c,使f(c)>0,求实数p的取值范围.

11.(14分)(2011•杭州调研)设函数f(x)=aV+6x+c,且/'(1)=-5，3a>2c>2力，求

证:

⑴心。且一

(2)函数FJ)在区间(0,2)内至少有一个零点;

(3)设小，放是函数/'(力的两个零点，则、一生

答案自主梳理

1.(l)ra)=O⑵X轴零点2.f(a)・f(b)<0(a,6)f(c)=0c3.(击,0)

(检0)(T1.0)两个一个无4.f(zz)•/*(/?)<0f(c)①/(冷=0©f(a)•f(r)<0

③F(c)•HZ>)<0

自我检测

1.C［当xWO时，令夕+2%—3=0,

解得>=-3；

当王>0时，令-2+lnx=0,解得x=e?,

所以已知函数有两个零点.］

2.B3.B4.B5.A

课堂活动区

【例11解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)=O,转化为方程根的个

数，解出方程有几个根，函数尸f(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法

判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一

性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧.

解方法一设/U)=ln*+2%—6,

Vy=lnx和y=2x—6均为增函数，

・・・F(x)也是增函数.

又・"(1)=0+2—6=—4<0,f(3)=ln3>0,

・・・F(x)在(1,3)上存在零点.又f(x)为增函数，

:.函数在(1,3)上存在唯一零点.

方法二在同一坐标系画出尸Inx与y=6—2x的图象，由图可知两图象只有一个交

点，故函数y=ln>+2%—6只有一个零点.

变式迁移1B［由题意知『5)是偶函数并且周期为2.由7*Cr)-log3|x|=0,得〃>)

=logs1^1,令尸f(x),y=10ga|x|,这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右

【例21解题导引①用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的

各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在

区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；

②在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的

区间［a,⑸长度尽可能小，且满足f(a)-F(b)<0；

③求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度£,是指在计算

过程中得到某个区间(a,力)后，直到|&一引<£时，可停止计算，其结果可以是满足精确度

的最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一.

解设f(x)=2x+3x—3.

经计算，/,(0)=-3<0,Al)=2>0,

所以函数在(0,1)内存在零点，

即方程+3x—3=0在91)内有解.

取(0,1)的中点0.5,经计算F(0.5)<0,

又AD>0,所以方程2/+3才-3=0在(0.5,1)内有解，

如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表.

(a,8)(a,b)

的中点(甯

(0,1)0.5AO.5)<0

(0.5,1)0.75f(0.75)>0

(0.5,0.75)0.625f(0.625X0

(0.625,0.75)0.6875AO.6875)<0

(0.6875,0.75)10.6875-0.751=0.0625<0.1

至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间(0.6875,0.75)内，可以将区间

端点0.6875作为函数f(x)零点的近似值.因此0.6875是方程2?+3A—3=0精确度0.1

的一个近似解.

变式迁移2D［由于/(0)<0,^>0,而〃力=/+1«¥+号中的f及5(*+习在

卜2'+8)上是增函数，故/'(力在卜/+8)上也是增函数，

故f(x)在(0,习上存在零点，所以照£(0,

第二次计算应计算0和9在数轴上对应的中点

m31解若a=0,f(x)=2x—3,显然在［-1,1］上没有零点，所以aWO.

令/=4+8&(3+&)=8#+24&+4=0,

板出-3土巾

解得a=--->一.

①当片一3；于时,/'5)=0的重根刀=三亚£［—1,1］,

当a=-节亚时，f(x)=0的重根刀=攵/^［—1,1］,

・・.y=F(x)恰有一个零点在［-1,1］上；

②当/'(-1)•Al)=(a-l)(a-5)<0,

即1<水5时，y—F(x)在［-1,1］上也恰有一个零点.

③当y=f(x)在［-1,1］上有两个零点时，则

S0「水0

4=8#+24a+4>0d=84+24a+4>0

V-1〈击,或《—1<—y-<l

f120f1co

<f-120-1《0

解得a25或a<—MW

综上所述实数a的取值范围是於1或忘一3；巾.

变式迁移3解方法一(换元)

设2"=则函数F(x)=4"+a•2'+a+l化为g(t)=F+ar+a+1(fG(0,+00)).

函数f(x)=4'+a•2"+a+l在(-8,+8)上存在零点，等价于方程£2+arH-r3+1=0,

①有正实数根.

(1)当方程①有两个正实根时.

4=3—4a+120

a应满足,力+，2=—a>0,

8•t2=a+l>0

解得：一l〈aW2—24；

(2)当方程①有一正根一负根时，只需力-t2=a+l<0,

即石<一1；

(3)当方程①有一根为。时，a=-l,此时方程①的另一根为1.

综上可知aW2—2，^.

方法二令g(t)=y+at+nM(££(0,+°°)).

(1)当函数g(£)在(0,+8)上存在两个零点时，

4=才一4a+120

-f>0,

{g0=£?+1>0

解得一KW2-2隹；

(2)当函数g(E)在(0,+8)上存在一个零点，另一个零点在(一8,0)时，实数々应满

足g(0)=a+l<0,

解得水一1；

(3)当函数g1)的一个零点是0时，g(O)=a+l=O,&=-1,此时可以求得函数g1)

的另一个零点是1.

综上⑴(2)⑶知

课后练习区

1.B［因为F(-l)=g-3<0,A0)=l>0,

所以f(x)在区间(—1,0)上存在零点.］

2.A

3.C［能用二分法求零点的函数必须在给定区间［a,3上连续不断，并且有

F(a)・F(6)<0.A、B中不存在/'(力<0,D中函数不连续.］

4.C

5.B［当后1时，函数/'(*)=4x—4与以x)=log2X的图象有两个交点，可得力(x)

有两个零点，当彳>1时，函数/V)=V—4x+3与g(x)=log2X的图象有1个交点，可得函

数力(力有1个零点，，函数力(x)共有3个零点.］

6.3

解析函数f(x)为R上的奇函数，因此F(0)=0,当x>0时，f(x)=2006'+log2oocx

在区间(0,内存在一个零点，又FJ)为增函数，因此在(0,+8)内有且仅有一个零

点.根据对称性可知函数在(一8,0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.

7.Xi<X2<x3

解析令x+2'=0,即2r=-x,设y=2r,y=—x；

令x+lnx=0,即Inx=~x,

设y=lnx,y=~x.

在同一坐标系内画出y=2x,y=lnx,y=­x,如图：汨<0<照<1,令x—5一1=0,

贝J|(0)2—5—1=0,

.・3=呼

即X3］,所以为〈彳2〈照.

1

8.8>\

解析设函数y=4(a>0,且2W1)和函数y=>+a,则函数f(x)=ar—x—a(a>0,且a#1)

有两个零点，就是函数y=4(a>0,且aWl)与函数尸x+a有两个交点，由图象可知当0<水1

时两函数只有一个交点，不符合；当心1时，因为函数y=a*(a1)的图象过点(0,1),而直

线尸x+a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围

是a>l.

9.证明令g(x)=f(x)-*.............................................................................................(2

分)

・・・以0)=/^)=A|)4=-?

:.«(0)•g焉)<0......................................................................................................................(8

分)

又函数g(>)在(0,J)上连续，...............................................(10

分)

所以存在的£(0,1),使gO>)=0.

即/(刖)=刘................................................................(12

分)

10.解二次函数F(x)在区间［—1,1］内至少存在一个实数C,

使〃c)>0的否定是:对于区间［―1,1］内的任意一个x都有F(x)W0................................

(4分)

1W0[2p2+3p—9^0

此时即2