专题05 勾股定理的实际应用模型（解析版）

专题05勾股定理的实际应用模型勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。模型1、梯子滑动模型相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。梯子滑动模型解题步骤：1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。例1．（2023秋·四川成都·八年级校考期中）如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m。（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？【答案】（1）2.4米；（2）1.3m【分析】（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案；（2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案．【详解】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7，∴AC＝=（米），答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，∴A′C＝AC−A′A＝2.4−0.9＝1.5（m），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2＋B′C2＝A′B′2，∴1.52＋B′C2＝2.52，∴B′C＝2（m），∴BB′＝CB′−BC＝2−0.7＝1.3（m），答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．【点睛】此题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．例2．（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为（

）A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米【答案】C【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．【详解】解：在Rt△ABC中，AB==2.5（米），∴A′B=2.5米，在Rt△A′BD中，BD==2（米），∴BC+BD=2+0.7=2.7（米），故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了厘米．

【答案】9【分析】根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离．【详解】解：依题意得：，设滑动后点A、B的对应位置是，由勾股定理得，(厘米)，当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)，∴(厘米)，∴滑块B滑动的距离为：(厘米)，故答案为：9．例4．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，明明在距离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．若明明收绳6m后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？【答案】船向岸A移动了米【分析】先求出，在根据勾股定理求出、的长度，即可得出答案．【详解】解：明明收绳6米后，船到达D处，，由题可知，，在中，，，，，，∴船向岸A移动了米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．模型2、轮船航行模型相关模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。航行模型解题步骤：1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。例1．（2023春·广东中山·八年级校联考期中）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是nmile．【答案】25【分析】先根据题意可知是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可．【详解】根据题意可知，∴．在中，，，∴（nmile）．故答案为：25．【点睛】本题主要考查了应用勾股定理解决实际问题，勾股定理是求距离的常用方法．例2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？【答案】30（海里/时）【分析】根据题意，利用勾股定理求得AB的长，再利用速度=路程÷时间即可求得答案．【详解】解：依题意可知：∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，（海里），BC＝17海里，∴AB＝＝＝15（海里），∴乙船的航速为（海里/时）．【点睛】本题考查了利用勾股定理解决直角三角形的实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．例2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）如图，甲、乙两只捕捞船同时从港口出发捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时千米的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，于是甲船立即加速后保持匀速沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇．

(1)求的度数；(2)求乙船航行多少小时被甲船追上．【答案】(1)；(2)4小时．【分析】（1）根据题意可得：，，，，从而可得，进而可得，然后利用平角定义求出，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；(2)过点作，垂足为，根据题意可得：千米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，进行计算即可解答．【详解】（1）解：如图：

由题意得：，，，，，，，的度数为；（2）过点作，垂足为，由题意得：，在中，，千米，千米，在中，，千米，小时，乙船航行4小时被甲船追上．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．模型3、信号站（中转站）选择模型相关模型背景：信号塔、中转站等。解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。信号塔、中转站模型解题步骤：1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；3）根据斜边长相等建立方程求解。例1．（2023春·山西朔州·八年级统考期末）根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点和点处，于A，于B．已知，，求该幼儿园应该建在距点A为多少处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．

【答案】1km【分析】设，则．再根据勾股定理列出关于x的等式，解出x的值，即得解．【详解】解：由题意，设，则．∵在中，，∴．∵在中，，∴．∵，∴，即，解得：．答：该幼儿园E应该建在距点A为1km处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．根据勾股定理正确列出方程是解题关键．例2．（2023·广东汕尾·八年级校考期中）如图，在一棵树（）的高处（）有两只猴子，其中一只爬下树走向离树（）的池塘，而另一只则爬到树顶（）后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？【答案】15米【分析】设BD=x米，则AD=（）米，CD=（）米，利用勾股定理得出方程求解即可．【详解】解：设BD=x米，则AD=（）米，CD=（）米，∵，∴，解得．即树的高度是10+5=15（米）．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定【答案】B【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可．【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，∴，∴，∴，解得：x＝16，则煤栈E应距A点16km．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键．模型4、台风（噪音）、爆破模型相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。台风、爆破模型解题步骤：1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。例1．（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答：．【答案】需要封锁【分析】过C作CD⊥AB于D．狗跟勾股定理可得AB=50米，再由，可得CD=24米，即可求解．【详解】解：公路AB需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．根据题意得：BC=40米，AC=30米，∠ACB=90°，∴米，∵，∴米，∵24米＜25米，∴有危险，公路段需要暂时封锁．故答案为：需要封锁【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．例2．（2023·重庆·八年级专题练习）为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为，假使宣讲车周围以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶．(1)村庄能否听到广播宣传请说明理由．(2)已知宣讲车的速度是，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间【答案】(1)村庄能听到广播宣传，理由见解析(2)【分析】（1）根据村庄到公路的距离为米米，即可得出村庄能听到广播宣传．（2）根据勾股定理得到米，求得米，即可得出结果．【详解】（1）解：村庄能听到广播宣传，理由如下：村庄到公路的距离为米米，村庄能听到广播宣传．（2）如图：假设当宣传车行驶到点开始能听到广播，行驶到点刚好不能听到广播，则米，米，由勾股定理得：米，米，能听到广播的时间为：分钟，村庄总共能听到的宣传．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，结合生活实际，便于更好地理解题意是解题的关键．例3．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为秒．【答案】9【分析】过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，，使得米，根据勾股定理得出，的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可．【详解】解：过点作，，米，米，在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响，米，米，由勾股定理得：米，米，即米，千米/小时米/秒，影响时间应是：秒．故答案为：9．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．例4．（2023春·湖南八年级期中）如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离．（1）台风中心经过多长时间从移动到点？（2）已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？【答案】（1）台风中心经过16小时时间从B移动到D点（2）他们要在20时到24时时间段内做预防工作【分析】（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间＝路程÷速度进行计算；（2）根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间＝路程÷速度计算，然后求出时间段即可．【详解】解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD==240km，所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点，答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点；（2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，∴BE=BD-DE=240-30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，∵台风速度为15km/h，∴210÷15=14时，270÷15=18，∵早上6：00接到台风警报，∴6+14=20时，6+18=24时，∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，此题的难点在于第二问，需要正确理解题意，根据各自的速度计算时间，然后进行正确分析．模型5、超速模型相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。超速模型解题步骤：1）根据勾股定理计算行驶的距离；2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度；3）比较实际行驶速度和规定速度。例1．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．

(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．【答案】(1)见解析，80米(2)超速，见解析【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度；（2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可．【详解】（1）过点A作，交l于点D．

，

在中，，由勾股定理得，

新路长度是80米．（2）该车超速

在中，，由勾股定理得，

该车经过区间用时∴该车的速度为

该车超速．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．例2．（2023春·山西大同·八年级校考阶段练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？【答案】（1）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．【分析】（1）根据题意求得米，米，得到米，米，根据勾股定理即可得到结论；（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．【详解】解：(1)出发秒钟时，米，米米，米米，米（米）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰(2)设出发秒钟时，两赛车距A点的距离之和为35米，由题意得，，解得此时AC1=20，AB1=15，此时即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．例3．（2023秋·湖南邵阳·八年级武冈市第二中学校考开学考试）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？【答案】该河的宽度BC为120米【分析】根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离．【详解】根据题意可知AB＝50米，AC＝BC+10米，设BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，即（x+10）2＝502+x2，解得x＝120．答：该河的宽度BC为120米．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，根据题意构建直角三角形及三边的数量关系是解题的关键.模型6、风吹莲动模型相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。解题关键：“莲花”高度为不变量。风吹莲动模型解题步骤：1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。例1．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．

A．10 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．【点睛】本题考查正确运用勾股定理．从实际问题抽象出勾股定理是解题的关键．例2．（2023春·重庆渝北·八年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（

）．

A．B．C．D．【答案】B【分析】设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．【详解】解：设绳索有尺长，

则，即，∴，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．例3．（2023春·河南商丘·八年级校联考期末）将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则不可以是（

）

A．7 B．15 C．16 D．17【答案】D【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，

，如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在中，，，，此时，的取值范围是．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．模型7、折竹抵地模型相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。解题关键：“竹子”高度为不变量。折竹抵地模型解题步骤：1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。例1．（2023春·山东德州·八年级统考期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺，在中，，即．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．例2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期末）如图所示，在一次暴风雨后，一棵大树从离地面处被折断，经测量树的顶端与地面的接触点A离树根部C的距离，若在该树正上方离地面处有高压电线，请判断该树在折断前是否接触到电线？并说明你的理由．

【答案】不会【分析】先利用勾股定理求出，比较折断前大树高度与高压电线高度判断即可解题．【详解】解：不会，理由为：根据勾股定理可得：，∴折断前大树高度为：，∴该树在折断前不会接触到电线．【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理计算是解题的关键．例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考阶段练习）八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．若松松同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线（

）米．A．7 B．8 C． D．【答案】A【分析】设风筝下降到点M处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解．【详解】解：如图，设风筝下降到点M处，连接，则，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴在中，，∴，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键．模型8、不规则图形面积模型相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。面积模型解题步骤：1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。例1．（2022·四川广元·八年级期末）如图，四边形是我县某校在校园一角开辟的一块四边形的“试验田”，经过测量得知．求四边形的面积．【答案】四边形ABCD的面积234m2．【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明△ADC为直角三角形，最后利用三角形面积公式即可求解．【详解】解：连接AC，如图，在△ABC中，AB＝24m，BC＝7m，，∴AC＝＝25（m）．在△ADC中，CD＝15m，AD＝20m．AC＝25m，∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，∴△ADC为直角三角形，∠D＝90°．∴S△ADC＝×AD×DC＝×20×15＝150（m2），又∵S△ABC＝×AB×BC＝×24×7＝84（m2），∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234（m2），答：四边形ABCD的面积234m2．【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式等，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明△ADC为直角三角形．例2．（2022·天津河西·八年级期末）如图，将平面直角坐标系放在所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，．(1)写出另两个顶点的坐标；(2)求此三角形的周长；(3)的面积为______．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根据图形直接写出答案；（2）由勾股定理求得三角形的三边长度，进而得到其周长；（3）利用分割法求面积．【详解】(1)由图可得：；；(2)，，∴的周长为；(3)由题意知，．故答案是：9.5．【点睛】本题主要考查了勾股定理和坐标与图形性质，求非直角三角形的面积时，利用“分割法”求其面积．例3．（2022·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．【答案】(1)(2)①5；②(3)<(4)【分析】（1）利用构图法求出的面积，即可求解；（2）①利用勾股定理，即可求解；②类比①的方法，即可求解；（3）构造出三边长分别为的三角形，即可求解；（4）先画出三边长分别为、、的，再利用构图法求解，即可求解．(1)解：的面积为；故答案为：(2)解：①；故答案为：5；②线段的长可表示为；故答案为：(3)解：如图，根据题意得：，，，∴，∵，∴；故答案为：<(4)解：解：如图，，，，【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题，课后专项训练1．（2023·重庆·八年级校考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况即可：直吸管下端恰好位于罐底的圆周上；直吸管下端恰好位于罐底的中心；分别计算出直吸管插在罐内部分长度，即可求得直吸管露在罐外部分的长度范围．【详解】解：如图，当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，∵，，∴由勾股定理得：，∴；当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高，即为，∴，综上所述，直吸管露在罐外部分的长度范围为．故选：A【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据情况应用勾股定理，进行分类讨论是解本题的关键．2．（2023·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（

）

A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm【答案】A【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解．【详解】解：依题意，，在中，，∵，，在中，，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．4．（2023春·山西阳泉·八年级校联考期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．【详解】解：过作于，如图所示：

由题意可知，，根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得，它要飞回巢中所需的时间至少是（），故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键．5．（2023·广西贺州·八年级统考期中）如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（

）．

A．3米 B．4米 C．5米 D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度（米），地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．6．（2022·广东中山·八年级校考期中）如图，有一个长方体池子，底面是边长为丈（1丈＝10尺）的正方形，中间有芦苇，把高出水面2尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，则芦苇长尺．

【答案】10【分析】设芦苇长尺，则尺，尺，中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：如图，设芦苇长尺，则尺，尺，在中，由勾股定理得：，解得：，即芦苇长10尺，故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．7．（2023·四川巴中·八年级统考期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了米．【答案】9．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．【详解】在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．8．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，露在水面的鱼线长为3m，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为4m，若的长为1m，则钓鱼竿的长为m．【答案】5【分析】根据题意设，利用钓鱼竿长度不变得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：设，∵，∴，即，解得：，∴，∴，故答案为：5．【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键．9．（2023·浙江·八年级假期作业）在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距？【答案】15【分析】利用，再结合勾股定理求出即可．【详解】解：设，则，，，故，解得；．故答案为：15．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用得出是解题关键．10．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图所示，一架长为米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端距离墙角处米，如果梯子顶端沿墙下滑米，梯子的底端沿水平方向滑动米．

【答案】【分析】两次运用勾股定理可求得．【详解】解：在中，米，米，米，米．在中，米，米，米，所以米．即梯子底端滑动了米．故答案为：．【点睛】此题考查了学生对勾股定理的理解及运用能力，解答此题时要注意梯子在滑动前后的长度不变．11．（2023春·山西大同·八年级统考阶段练习）如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为海里．

【答案】25【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了20海里，15海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【详解】解：连接如图，∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴，

在中，（海里），（海里），根据勾股定理得（海里）．故答案为：25．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理进是解决问题的关键．12．（2023秋·山东威海·七年级统考期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为m．【答案】10【分析】先根据题意得出，，在设，得到，最后根据勾股定理求解即可．【详解】解：由题意可知：，，，，设，则，在中，，∴，解得，∴，故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，读懂题意并熟练运用勾股定理是解题的关键．13．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为米．

【答案】9【分析】设旗杆的高度为x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设旗杆的高度为x米，根据勾股定理，得，解得：；故答案为：9．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，从题意中勾画出勾股定理这一数学模型是解决问题的关键．14．（2023春·四川南充·八年级校考期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是．

【答案】/16米【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图，由题意得，

在直角三角形中，根据勾股定理得：（米）．所以大树的高度是（米）．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．15．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为akm/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是。【答案】【分析】先根据勾股定理得出AC的长，再根据时间、路程、速度之间的关系分别求出小明、小亮同时到达C和D时a的值，即可得出而答案【详解】解：在Rt中，，，，∴小亮到C所用时间(分);小亮到D所用时间(分)∴小明、小亮同时到达C时，小明、小亮同时到达D时，∴a的取值范围是：【点睛】本题考查了勾股定理的应用，以及路程问题，熟练掌握相关的知识是解题的关键16．（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为米．

【答案】2.7【分析】在中，根据勾股定理求出的长，再在中，求出的长，最后由进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，根据题意得：，

，在中，米，米，米，在中，米，米，米，米，小巷的宽度为2.7米，故答案为：2.7．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．17．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，方格中每个小正方形的边长都为1．(1)求图①中正方形的面积．(2)在图②中画一个边长为的正方形，使它的顶点在格点上．【答案】(1)10(2)图见解析【分析】（1）利用勾股定理求出的值，再根据正方形的面积公式即可得；（2）根据，结合网格特点画图即可得．(1)解：，图①中正方形的面积．(2)解：如图②，正方形即为所求．【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键．18．（2023秋·广东·八年级专题练习）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接．(1)求的长，(2)求门槛的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得到，然后根据勾股定理求解即可；（2）由题意可得，设，则，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵O是的中点∴∵∴；（2）设，则．∵，尺寸∴解得：∴．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键．19．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上．在小岛A处周围80海里范围内均有暗礁，小船继续向正东方向航行是否有触礁危险？请说明理由．

【答案】无触礁危险．理由见解析【分析】过点A作垂直于的延长线于点D，由题意得到，在根据勾股定理求出的长，即可得到答案．【详解】解：无触礁危险．过点A作垂直于的延长线于点D

结合题意可知，，，，，在中，，，，，继续前行无触礁危险【点睛】本题主要考查用勾股定理解直角三角形，掌握勾股定理是解题的关键．20．（2023春·吉林四平·八年级统考期末）如图，某海滨浴场岸边A处救生员发现海中的处有人求救，救生员没有直接从处游向处，而是沿岸边自A处跑到离处最近的点，然后从点游向处，经测量，，若救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是，请分析救生员的选择合理吗？

【答案】救生员的选择合理，理由见解析．【分析】分别求得两个路线所用的时间，然后比较后即可得到答案．【详解】解：救生员的选择合理，理由如下：由题意得，，，，救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是救生员由点直接游向处需要的时间为：，救生员由点跑到再游向处需要的时间为：，，救生员的选择合理．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并正确的利用勾股定理求斜边的长．21．（2023春·山东聊城·八年级统考期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为8米；（注：）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的王明身高米；(1)求风筝的垂直高度．(2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【答案】(1)米；(2)7米．【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，，所以，（负值舍去），所以，（米），答：风筝的高度为米；（2）解：连接，由题意得，米，

，（米），（米），他应该往回收线7米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形．22．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．(1)求旗杆折断处点距离地面的高度；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长，（3）先求出D点距地米，米，再根据勾股定理可以求得米．【详解】（1）解：由题意可知：米，∵，∴，又∵米，∴，∴米；（2）解：∵D点距地面米，∴米，∴米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图23．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题：(1)根据题意，可知________（填“”“”“”）；(2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．【答案】(1)(2)男孩需向右移动的距离为米【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解；（2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解．【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，，（2）解：连接，则点、、三点共线，在中，（米，（米，在中，（米，，（米，男孩需向右移动的距离为米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键．24．（2023·陕西西安·八年级统考期末）如图，公路AB和公路CD在点P处交汇，点E处有一所学校，EP＝160米，点E到公路AB的距高EF＝80米，假若拖拉机行驶时，周围100米内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路AB上沿方向行驶时，学校是否受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？【答案】0.4分钟【分析】设拖拉机在公路AB上行驶时，从点M到点N学校受到影响，解直角三角形即可得到结论．【详解】：∵EF=80＜100，∴学校是否受到影响，设拖拉机在公路AB上行驶时，从点M到点N学校受到影响，在Rt△MEF中，∵EM=100，EF=80，∴MF==60，∴MN=2MP=120，∵拖拉机的速度是18千米/小时，∴=0.4（分钟），答：学校受到影响的时间为0.4分钟．【点睛】此题考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．25．（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少处？

【答案】【分析】先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得．【详解】解：∵使得两村到站的距离相等，∴，∵，，∴，∴，，∴，设，则，∵，，∴，解得：，∴，答：站应建在离站处．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．25．（2023·山西太原·八年级统考期中）根据道路交通管理条例的规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速点M到测速区间的端点A，B的距离分别为50米、34米，M距公路l的距离（即MN的长）为30米．现测得一辆汽车从A到B所用的时间为5秒，通过计算判断此车是否超速．【答案】此车没有超速【详解】试题分析：在Rt△AMN中根据勾股定理求出AN，在Rt△BMN中根据勾股定理求出BN，由AN+NB求出AB的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断．解：∵在Rt△AMN中，AM=50，MN=30，∴AN==40米，∵在Rt△MNB中，BM=34，MN=30，∴BN==16米，∴AB=AN+NB=40+16=56（米），∴汽车从A到B的平均速度为56÷5=11.2（米/秒），∵11.2米/秒=40.32千米/时＜60千米/时，∴此车没有超速．考点：勾股定理的应用．26．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？【答案】乙船的航速是9海里/时【分析】先用勾股定理求出的长，进而即可求解．【详解】根据题意得：，，∴．∴∴．∴乙船的航速是：（海里/时）．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理，列出算式是关键．27．（2023秋·四川·八年级校考阶段练习）如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．(1)求梯子顶端与地面的距离OA的长．(2)若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．【答案】(1)4米(2)1米【分析】（1）根据勾股定理直接求出OA的长度即可；（2）先求出OC的长度，然后根据勾股定理求出OD的长度，用OD-OB即可得出答案．【详解】（1）解：∵∠AOB=90°，米，米，∴AO＝＝4（米），答：梯子顶端与地面的距离OA的长为4米．（2）解：∵（米），米，∴OD＝＝4（米），∴BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1（米）．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容，如果一个直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么．28．（2023春·山东滨州·八年级校考阶段练习）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？【答案】该校受影响卡车产生的噪声的影响时间为24秒．【分析】根据题意，先在图上画出学校刚好受影响和结束受影响时卡车所在的点C和D，得到AC=AD=100cm，然后用勾股定理求出CB，受影响的过程就是卡车从C到D的路程，再除以卡车速度可以得到受影响的时间．【详解】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响，则有CA＝DA＝100m，在中，CB＝＝60m，∴C