专题02 勾股定理中的翻折模型（原卷版）

专题02.勾股定理中的翻折模型翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。【知识储备】勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。模型1.折痕过对角线模型【模型解读】沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEC是等腰三角形。例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（

）A． B．3 C． D．6例2．（2022春·福建泉州·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处．(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积．例3．（2023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为.将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为.模型2.折痕过一顶点模型【模型解读】沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEF是等腰三角形。例1．（2023·浙江宁波·八年级校考期末）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使的对应点落在对角线上，折痕为，则的长为______．例2．（2022·山东德州·八年级统考期末）如图将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上F处，已知，，则______．例3．（2023春·成都市·八年级专题练习）如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点点，若，，则的长为______．例4．（2023·广东·八年级专题练习）如图，矩形中，点、在上，将，分别沿着，翻折，点的对应点和点的对应点恰好重合在点处，则的值是（

）A． B． C． D．例5．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为.（1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？模型3.折痕任意两点模型【模型解读】沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：GC’F是直角三角形。例1．（2022春·河南驻马店·八年级校考期中）如图，在长方形纸片中，，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，的长是．例2．（2022·成都市八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．例3．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图所示，四边形是一张长方形纸片，将该纸片沿着翻折，顶点B与顶点D重合，点A的对应点为点，若，，则的面积为_________．例4．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为_______例5．（2022·上海杨浦·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，点A、D关于直线的对称点分别是点M、N．如果直线恰好经过点C，那么的长是__________．模型4.过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型【模型解读】1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。例1．（2023春·广东阳江·八年级统考期中）如图，中，，，．(1)的长为．(2)把沿着直线翻折，使得点C落在边上E处，求的长．例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（

）

A． B． C． D．例3．（2023秋·上海静安·八年级校考期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为．模型5.过斜边中点所在直线翻折模型【模型解读】1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.例1．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（

）A． B．3 C． D．例2．（2023春·广西·八年级专题练习）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________．例3．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______模型6.过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型【模型解读】1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；例1．（2022·河南·八年级期末）如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（

）A．3 B． C．3或 D．3或例2．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______．模型7其他三角形翻折模型例1．（2022·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．例2．（2022·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．例3．（2023春·北京·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（）A． B．3 C．2 D．例4．（2023·陕西西安·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是．例5．（2023秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，，,，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，，则．例6．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则的长为．课后专项训练1．（2023·河北保定·八年级校考期末）如图，已知中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023春·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图，已知直角三角形，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，连接交于点F．若，，则点E到的距离为（）A． B． C． D．3．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）如图，长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为（

）A．4.8 B．4.6 C．5 D．4.54．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使B点恰好与D点重合，已知AD＝8，CD＝4，则折痕EF的长为（

）A．4 B．5 C． D．5．（2023·广东·八年级期末）如图，在矩形中，，，先将矩形沿着直线翻折，使点落在边上的点处，再将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，则线段的长为()A． B． C． D．6．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为（

）A． B． C． D．7．（2023·甘肃庆阳·九年级校考阶段练习）如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC的处，若，，，则四边形的面积是（

）A． B． C． D．8．（2023·山东济南·七年级期末）如图，折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，折痕为．若，，则的长是______．9．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考期中）如图，在中，，，，点D在边上，连接．将沿翻折后得到，若，则线段的长为______．10．（2023春·北京东城·八年级校考期中）如图，在长方形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．若，则的长为____________．11．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点C与E重合，交于点H，若，，则的长度为．12．（2023春·浙江·八年级专题练习）综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝5，（1）把长方形纸片沿着直线EF翻折，使点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点D的对应点为D′，如图①，则折痕EF长为；（2）在EF，A′D′上取点G，H，沿着直线GH继续翻折，使点E与点F重合，如图②，则折痕GH长为．13．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点F，连接．若点F为的中点，则的长度为．14．（2022·河南驻马店·统考三模）如图，在矩形ABCD中，，，点E是AB边上的动点（不与点A，B重合），连接CE，将沿直线CE翻折得到，连接．当点落在边AD上，且点恰好是AD的三等分点时，的周长为．15．（2023春·重庆南岸·九年级校联考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，点E，F分别为边AB与BC上两点，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，AD=2，则EO的值为．16．（2023·上海松江·八年级期末）如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是________．17．（2023·四川达州·八年级校考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，将斜边翻折使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为18．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，将此三角形沿DE翻折，使得点A与点B重合，则AE长为．19．（2023春·湖南长沙·八年级校考期中）如图、将长方形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求图中的面积．21．（2022秋·福建漳州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．22．（2023秋·山东济南·九年级统考开学考试）在学完矩形的性质后，老师组织同学们利用矩形的折叠开展数学活动．小亮发现矩形折叠后，会出现全等的图形；小颖发现矩形折叠后会得到直角三角形，请利用同学们的发现解决下列问题．(1)如图1，矩形，，，将延对角线翻折得到，点的对应点为点，与