专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型（原卷版）

专题02平行线中的拐点模型之铅笔头模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型2：铅笔头模型图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023上·广东广州·八年级校考期中）如图，已知，，，则的度数是（

）

A． B． C． D．例2．（2023下·绵阳市·七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．例3．（2023下·辽宁鞍山·七年级统考期末）如图，已知，下列结论正确的是（

）

A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEFC．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．例5．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，，，，已知，则的度数为．

例6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：①

②

③

④其中正确的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④例7．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）下列各图中的与平行．

图中的，图中的，图中的，图中的，据此推测，图中的例8．（2023下·河南安阳·七年级统考期末）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．(1)【初步应用】生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题：①当，（即时，求的度数；②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由．（提示：三角形的内角和等于(2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数________；例9．（2023下·河南平顶山·七年级统考期中）我们知道，两条平行线被第三条直线所截，可以得到一些相等的角或者互补的角，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到将直线的位置关系转化为角的数量关系的作用．

问题初探：（1）如图1，，用等式表示之间的数量关系．分析：过点作，则有，因为，所以，所以，从而可以得到之间的数量关系．请你直接写出之间的数量关系______．类比再探：（2）如图2，，用等式表示之间的数量关系，并说明理由．拓展应用：（3）利用上面（1）、（2）得出的结论完成下题：已知，如图3，，与两个角的角平分线相交于点．①若，求的度数．②若的度数用表示，的度数用表示，则与的之间的关系式为______．课后专项训练1．（2023下·山西·七年级统考阶段练习）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（

）

A． B． C． D．2．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，当时，的度数为（）

A．55° B．70° C．60° D．35°3．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，直线，，则（

）A．150° B．180° C．210° D．240°4．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（

）

A． B． C． D．5．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为（

）A． B． C． D．6．（2022上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为．（用含n的式子表示）7．（2023上·云南昆明·八年级统考期末）如图，在五边形中满足，则图形中的的值是．

8．（2023下·山西吕梁·七年级统考期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为°．

9．（2023下·河北唐山·七年级统考期中）如图，，，，则．10．（2023下·甘肃·七年级校考期中）如图，，已知，．则度．

11．（2023下·山西临汾·七年级统考期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是．

12．（2023下·河南许昌·七年级统考期末）如图，于，交于点，交于点．若，．

13．（2023下·山东枣庄·七年级校考期中）如图，已知，，，，平分，则．

14．（2023·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，，则．

15．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，已知，若，，则α与β之间的数量关系为．

16．（2023下·辽宁铁岭·七年级统考期末）如图已知：，，平分，，有下列结论：①；②③；④，其中，正确的结论有．（填序号）

17．（2023下·河南安阳·七年级校考期中）图1是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图2的平面示意图，弹弓的两边可看成是平行的，即，活动小组在探索与，之间的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，则此次瞄准是否最准确？

18．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？

解：过点E作，得（____________），因为（____________），（所作），所以（____________）．得____________（____________）．所以______°（等式性质）．即______°，因为（已知），所以______°（等式性质）．19．（2023下·天津滨海新·七年级统考期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．

（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．20．（2023下·江西南昌·七年级校考期中）【课本再现】（1）①如图1，已知，直接写出，和满足的等式关系；②如图2，已知，直接写出，和满足的等式关系；【知识应用】（2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知，，写出，和满足的等式关系，并说明理由．

21．（2023·江西上饶·七年级统考期末）（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．22．（2023下·河南三门峡·七年级统考期末）下图所示的格线彼此平行，小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系，他先作出．(1)如图1，点O在一条格线上，当时，__________；(2)如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明；（可根据证明的需要用a，b，c，…来表示图中的格线）；(3)在图3中，记与图中一条格线形成的锐角为，小明作射线，使得，记与图中一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．

23．（2023下·山东淄博·七年级统考期中）阅读下列材料：如图，，，分别是，上的点，点在，之间，连接，我们可以通过作辅助线证明结论：．请你利用这个结论或证明思路，完成下列问题．已知，，分别是，上的点，点在，之