专题05 全等模型-对角互补模型(解析版)_第1页
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文档简介

专题05全等模型-对角互补模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位,也是学生必须掌握的一块内容,本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析,方便掌握。对角互补模型概念:对角互补模型特指四边形中,存在一对对角互补,而且有一组邻边相等的几何模型。思想方法:解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种:①过顶点做双垂线,构造全等三角形;②进行旋转的构造,构造手拉手全等。常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-(180°-2α)对角互补模型。模型1、旋转中的对角互补模型(90°--全等型)1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)条件:如图,已知∠AOB=∠DCE=90°,OC平分∠AOB.结论:①CD=CE,②.2)“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)条件:如图,已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D,∠AOB=∠DCE=90°,OC平分∠AOB.结论:①CD=CE,②.例1.(2022·绵阳市·八年级期中)如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E,F分别是AB,BC上的点,连接EF.若AE=4,CF=3,OE⊥OF,求EF的长.解:∵四边形ABCD是正方形,∴OB=OC,∠BOC=∠EOF=90°,∠ABO=∠ACB=45°,∴∠EOB=∠FOC,在△BOE和△COF中,,∴△BOE≌△COF(ASA),∴OE=OF.BE=CF=3,∵AB=BC,∴BF=AE=4,在Rt△BEF中,BF=4,BE=3,∴EF=5.例2.如图,,,,,垂足为.(1)求证:;(2)求的度数;(3)求证:.【解答】证明:(1),,,,在和中,,;(2),,,由(1)知,,,,,;(3)延长到,使得,,,在和中,,,,,,,,,,,,,在和中,,,,,.例3、在中,,,将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处,将此三角板绕点旋转,三角板的两直角边分别交射线、于点、点,图①,②,③是旋转得到的三种图形.(1)观察线段和之间有怎样的大小关系?并以图②为例,并加以证明;(2)观察线段、和之间有怎样的数量关系?并以图③为例,并加以证明;【解答】解:(1),理由如下:如图②,连接,是等腰直角三角形,为斜边的中点,,,,,又,,,在和中,,,;(2),理由如下:连接,如图③所示:同(1)得:,,,例4.(2022秋·江苏·八年级专题练习)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图1,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF、求证:△DEF是等腰直角三角形经过分析已知条件AB=AC,D为BC的中点.容易联想等腰三角形三线合一的性质,因此,连结AD(如图2),以下是某同学由已知条件开始,逐步按层次推出结论的流程图.请帮助该同学补充完整流程图.补全流程图:①,②∠EDF=(2)如果E、F分别为AB、CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形?请在备用图中补全图形、先作出判断,然后给予证明.【答案】(1)△BDE,△ADF,90°;(2)△DEF仍为等腰直角三角形,理由见解析【分析】(1)连接AD,根据∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,可以得到∠B=∠C=45°,AD⊥BC,,,从而可以证明△BDE≌△ADF(SAS),得到DE=DF,∠BDE=∠ADF,由∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°,可得∠ADE+∠ADF=90°,即∠EDF=90°,即可证明;(2)连接AD,同样证明△BDE≌△ADF(SAS),得到DE=DF,∠BDE=∠ADF,再由∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°,即可得到∠BDE+∠BDF=90°,即∠EDF=90°,即可证明.【详解】解:(1)如图所示,连接AD,∵∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,∴∠B=∠C=45°,AD⊥BC,,,∴∠B=∠BAD=∠CAD,在△BDE和△ADF中,,∴△BDE≌△ADF(SAS),∴DE=DF,∠BDE=∠ADF,∵∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°,∴∠ADE+∠ADF=90°,即∠EDF=90°,∴△DEF是等腰直角三角形;故答案为:△BDE,△ADF,90°;(2)△DEF仍为等腰直角三角形,理由如下:连接AD,∵∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,∴∠ABC=∠C=45°,AD⊥BC,,,∴∠FAD=180°-∠CAD=135°,∠EBD=180°-∠ABC=135°,∴∠FAD=∠EBD,在△BDE和△ADF中,,∴△BDE≌△ADF(SAS),∴DE=DF,∠BDE=∠ADF,∵∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°,∴∠BDE+∠BDF=90°,即∠EDF=90°,∴△DEF是等腰直角三角形.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,等腰直角三角形的性质与判定,解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件.模型2、旋转中的对角互补模型(60°或120°--全等型)1)“等边三角形对120°模型”(1)条件:如图,已知∠AOB=2∠DCE=120°,OC平分∠AOB.结论:①CD=CE,②OD+OE=OC2)“等边三角形对120°模型”(2)条件:如图,已知∠AOB=2∠DCE=120°,OC平分∠AOB,∠DCE的一边与BO的延长线交于点D,结论:①CD=CE,②OD-OE=OC,.例1.已知OP平分∠AOB,∠DCE的顶点C在射线OP上,射线CD交射线OA于点F,射线CE交射线OB于点G.(1)如图1,若CD⊥OA,CE⊥OB,请直接写出线段CF与CG的数量关系;(2)如图2,若∠AOB=120º,∠DCE=∠AOC,试判断线段CF与CG的数量关系,并说明理由.【答案】(1)CF=CG;(2)CF=CG,见解析【分析】(1)结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.(2)结论:CF=CG,作CM⊥OA于M,CN⊥OB于N,证明△CMF≌△CNG,利用全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解:(1)结论:CF=CG;证明:∵OP平分∠AOB,CF⊥OA,CG⊥OB,∴CF=CG(角平分线上的点到角两边的距离相等);(2)CF=CG.理由如下:如图,过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,∵OP平分∠AOB,CM⊥OA,CN⊥OB,∠AOB=120º,∴CM=CN(角平分线上的点到角两边的距离相等),∴∠AOC=∠BOC=60º(角平分线的性质),∵∠DCE=∠AOC,∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º,∴∠MCO=90º-60º=30º,∠NCO=90º-60º=30º,∴∠MCN=30º+30º=60º,∴∠MCN=∠DCE,∵∠MCF=∠MCN-∠DCN,∠NCG=∠DCE-∠DCN,∴∠MCF=∠NCG,在△MCF和△NCG中,∴△MCF≌△NCG(ASA),∴CF=CG(全等三角形对应边相等);【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是掌握角平分线的性质的应用,熟练证明三角形全等.例2.如图,已知∠DCE与∠AOB,OC平分∠AOB.(1)如图1,∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E,∠AOB=∠DCE=90°,试判断线段CD与CE的数量关系,并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法:解:CD=CE.理由如下:如图1,过点C作CF⊥OC,交OB于点F,则∠OCF=90°,…请根据小宇同学的证明思路,写出该证明的剩余部分.(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.(3)若∠AOB=120°,∠DCE=60°.①如图3,∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时,(1)中的结论成立吗?为什么?线段OD、OE、OC有什么数量关系?说明理由.②如图4,∠DCE的一边与AO的延长线相交时,请回答(1)中的结论是否成立,并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系;如图5,∠DCE的一边与BO的延长线相交时,请回答(1)中的结论是否成立,并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系.解:(1)∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC=45°,且∠OCF=90°,∴∠OFC=45°=∠BOC,∴OC=FC,∵∠DCE=∠OCF=90°,∴∠DCO=∠ECF,且CO=CF,∠AOC=∠CFE=45°,∴△CDO≌△CEF(ASA)∴CD=CE(2)如图2,过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N,∴∠CMD=∠CNE=90°,又∵OC平分∠AOB,∴CM=CN,在四边形ODCE中,∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO=360°,又∵∠AOB=∠DCE=90°,∴∠CDO+∠CEO=180°,又∵∠CDO+∠CDM=180°,∴∠CEO=∠CDM,且∠CMD=∠CNE,CM=CN,∴△CMD≌△CNE(AAS),∴CD=CE.(3)①(1)中的结论仍成立.OE+OD=OC.理由如下:如图3,过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N,∴∠CMD=∠CNE=90°,又∵OC平分∠AOB,∴CM=CN,∠AOC=∠BOC=60°,在四边形ODCE中,∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO=360°,又∵∠AOB+∠DCE=60°+120°=180°,∴∠CDO+∠CEO=180°,又∵∠CEO+∠CEN=180°,∴∠CDO=∠CEN,且CM=CN,∠CMD=∠CNE,∴△CMD≌△CNE(AAS),∴CD=CE,DM=EN.∴OE+OD=OE+OM+DM=OE+OM+EN=ON+OM.∵∠AOC=60°,CM⊥AO,∴∠MCO=30°,∴,同理可得ON=OC,∴.②在图4中,(1)中的结论成立,OE﹣OD=OC,如图4,过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N,∴∠CMD=∠CNE=90°,又∵OC平分∠AOB,∴CM=CN,∠AOC=∠BOC=60°,∵∠COE+∠CEO+∠DCE+∠OCD=180°,∴∠OCD+∠CEO=60°,∵∠AOC=∠CDO+∠OCD=60°,∴∠CDO=∠CEN,且CM=CN,∠CMD=∠CNE,∴△CMD≌△CNE(AAS),∴CD=CE,DM=EN.∴OE﹣OD=ON+NE﹣(MD﹣OM)=ON+OM.∵∠AOC=60°,CM⊥AO,∴∠MCO=30°,∴,同理可得ON=OC,∴OE﹣OD=ON+OM=OC;在图5中,(1)中的结论成立,OD﹣OE=OC,如图5,过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N,∴∠CMD=∠CNE=90°,又∵OC平分∠AOB,∴CM=CN,∠AOC=∠BOC=60°,∵∠COA+∠CDO+∠DCE+∠OCE=180°,∴∠OCE+∠CDO=60°,∵∠NOC=∠CEO+∠OCE=60°,∴∠CDO=∠CEO,且CM=CN,∠CMD=∠CNE,∴△CMD≌△CNE(AAS),∴CD=CE,DM=EN.∴OD﹣OE=DM+OM﹣(EN﹣ON)=ON+OM.∵∠AOC=60°,CM⊥AO,∴∠MCO=30°,∴,同理可得ON=OC,∴OD﹣OE=ON+OM=OC;例3.(2023·山东·九年级专题练习)如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,把∠EDF绕点D旋转,使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F.(1)当DF⊥AC时,求证:BE=CF;(2)在旋转过程中,BE+CF是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由【答案】(1)证明见解析;(2)是,2.【分析】(1)根据四边形内角和为360°,可求∠DEA=90°,根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF,即可证BE=CF;(2)过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,如图2,易证△MBD≌△NCD,则有BM=CN,DM=DN,进而可证到△EMD≌△FND,则有EM=FN,就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【详解】(1)∵△ABC是边长为4的等边三角形,点D是线段BC的中点,∴∠B=∠C=60°,BD=CD,∵DF⊥AC,∴∠DFA=90°,∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°,∴∠AED=90°,∴∠DEB=∠DFC,且∠B=∠C=60°,BD=DC,∴△BDE≌△CDF(AAS)(2)过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°.∵∠A=60°,∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°.∵∠EDF=120°,∴∠MDE=∠NDF.在△MBD和△NCD中,,∴△MBD≌△NCD(AAS)BM=CN,DM=DN.在△EMD和△FND中,,∴△EMD≌△FND(ASA)∴EM=FN,∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识,通过证明三角形全等得到BM=CN,DM=DN,EM=FN是解决本题的关键.例4.四边形是由等边和顶角为的等腰排成,将一个角顶点放在处,将角绕点旋转,该交两边分别交直线、于、,交直线于、两点.(1)当、都在线段上时(如图1),请证明:;(2)当点在边的延长线上时(如图2),请你写出线段,和之间的数量关系,并证明你的结论;(3)在(1)的条件下,若,,请直接写出的长为.【答案】(1)证明见解析;(2).证明见解析;(3).【分析】(1)把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ,根据旋转的性质可得DM=DQ,AQ=BM,∠ADQ=∠BDM,然后求出∠QDN=∠MDN,利用“边角边”证明△MND和△QND全等,根据全等三角形对应边相等可得MN=QN,再根据AQ+AN=QN整理即可得证;(2)把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP,根据旋转的性质可得DN=DP,AN=BP,根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上,然后求出∠MDP=60°,然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等,根据全等三角形对应边相等可得MN=MP,从而得证;(3)过点M作MH∥AC交AB于G,交DN于H,可以证明△BMG是等边三角形,根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG,根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND,再根据两直线平行,内错角相等可得∠QND=∠MHN,然后求出∠MND=∠MHN,根据等角对等边可得MN=MH,然后求出AN=GH,再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=GE,再根据BG=AB-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG,从而得到BM的长.【详解】解:(1)证明:把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ,则DM=DQ,AQ=BM,∠ADQ=∠BDM,∠QAD=∠CBD=90°,∴点Q在直线CA上,∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°,∴∠QDN=∠MDN=60°,∵在△MND和△QND中,,∴△MND≌△QND(SAS),∴MN=QN,∵QN=AQ+AN=BM+AN,∴BM+AN=MN;(2):.理由如下:如图,把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP,则DN=DP,AN=BP,∵∠DAN=∠DBP=90°,∴点P在BM上,∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°,∴∠MDP=∠MDN=60°,∵在△MND和△MPD中,,∴△MND≌△MPD(SAS),∴MN=MP,∵BM=MP+BP,∴MN+AN=BM;(3)如图,过点M作MH∥AC交AB于G,交DN于H,∵△ABC是等边三角形,∴△BMG是等边三角形,∴BM=MG=BG,根据(1)△MND≌△QND可得∠QND=∠MND,根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN,∴∠MND=∠MHN,∴MN=MH,∴GH=MH-MG=MN-BM=AN,即AN=GH,∵在△ANE和△GHE中,,∴△ANE≌△GHE(AAS),∴AE=EG=2.1,∵AC=7,∴AB=AC=7,∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8,∴BM=BG=2.8.故答案为:2.8【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质,根据等边三角形的性质,旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键,(3)作平行线并求出AN=GH是解题的关键,也是本题的难点.模型3、旋转中的对角互补模型(2α或180°-2α--全等型)1)“2α对180°-2α模型”条件:四边形ABCD中,AP=BP,∠A+∠B=180°结论:OP平分∠AOB注意:①AP=BP,②∠A+∠B=180°,③OP平分∠AOB,以上三个条件可知二推一。2)“蝴蝶型对角互补模型”条件:AP=BP,∠AOB=∠APB结论:OP平分∠AOB的外角。例1.(2023秋·广东广州·八年级统考期末)如图,BN为∠MBC的平分线,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,∠APC+∠ABC=180°,给出下列结论:①∠MAP=∠BCP;②PA=PC;③AB+BC=2BD;④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍,其中结论正确的个数有()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】A【分析】过点P作PK⊥AB,垂足为点K.证明Rt△BPK≌Rt△BPD,△PAK≌△PCD,利用全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解:过点P作PK⊥AB,垂足为点K.∵PK⊥AB,PD⊥BC,∠ABP=∠CBP,∴PK=PD,在Rt△BPK和Rt△BPD中,,∴Rt△BPK≌Rt△BPD(HL),∴BK=BD,∵∠APC+∠ABC=180°,且∠ABC+∠KPD=180°,∴∠KPD=∠APC,∴∠APK=∠CPD,故①正确,在△PAK和△PCD中,,∴△PAK≌△PCD(ASA),∴AK=CD,PA=PC,故②正确,∴BK﹣AB=BC﹣BD,∴BD﹣AB=BC﹣BD,∴AB+BC=2BD,故③正确,∵Rt△BPK≌Rt△BPD,△PAK≌△PCD(ASA),∴S△BPK=S△BPD,S△APK=S△PDC,∴S四边形ABCP=S四边形KBDP=2S△PBD.故④正确.故选A.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,角平分线的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.例2.(2023·浙江金华·校考三模)如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM﹣ON的值不变;(3)△OMN的周长不变;(4)四边形PMON的面积不变,其中正确的序号为_____.【答案】(1)(4)【分析】如图作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.只要证明△POE≌△POF,△PEM≌△PFN,即可一一判断.【详解】解:如图作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.∵∠PEO=∠PFO=90°,∴∠EPF+∠AOB=180°,∵∠MPN+∠AOB=180°,∴∠EPF=∠MPN,∴∠EPM=∠FPN,∵OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,∴PE=PF,在△POE和△POF中,∴Rt△POE≌Rt△POF(HL),∴OE=OF,在△PEM和△PFN中,∴△PEM≌△PFN(ASA),∴EM=NF,PM=PN,故(1)正确,∴S△PEM=S△PNF,∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值,故(4)正确,∵OM﹣ON=OE+EM﹣(OF﹣FN)=2EM,不是定值,故(2)错误,∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值,在旋转过程中,△PMN是等腰三角形,形状是相似的,因为PM的长度是变化的,所以MN的长度是变化的,所以△OMN的周长是变化的,故(3)错误,故答案为:(1)(4).【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.例3.(2022·江苏常州·统考一模)如图,已知四边形的对角互补,且,,.过顶点C作于E,则的值为(

)A. B.9 C.6 D.7.2【答案】B【分析】要求的值,主要求出AE和BE的长即可,注意到AC是角平分线,于是作CF⊥AD交AD的延长线于点F,可以证得两对全等三角形,结合已知数据可以求得AE和BE的长,从而解决问题.【详解】解:作CF⊥AD交AD的延长线于点F,则∠CFD=90°,∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,∴∠CFD=∠CEB=90°,∵∠BAC=∠DAC,∴AC平分∠BAD,∴CE=CF,∵四边形ABCD对角互补,∴∠ABC+∠ADC=180°,又∵∠CDF+∠ADC=180°,∴∠CBE=∠CDF,在△CBE和△CDF中,∴△CBE≌△CDF(AAS),∴BE=DF,在△AEC和△AFC中,∴△AEC≌△AFC(AAS),∴AE=AF,设BE=a,则DF=a,

∵AB=15,AD=12,∴12+2a=15,得,∴AE=12+a=,BE=a=,∴,故选B.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质,解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系.例4.如图,四边形ABCD中,∠ABC+∠D=180°,AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD.试说明:(1)△CBE≌△CDF;(2)AB+DF=AF.【分析】(1)根据角平分线的性质可得到CE=CF,根据余角的性质可得到∠EBC=∠D,已知CE⊥AB,CF⊥AD,从而利用AAS即可判定△CBE≌△CDF.(2)已知EC=CF,AC=AC,则根据HL判定△ACE≌△ACF得AE=AF,最后证得AB+DF=AF即可.【解答】证明:(1)∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD∴CE=CF∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠EBC=180°∴∠EBC=∠D在△CBE与△CDF中,∴△CBE≌△CDF;(2)在Rt△ACE与Rt△ACF中,∴△ACE≌△ACF∴AE=AF∴AB+DF=AB+BE=AE=AF.课后专项训练1.如图,为等边三角形,以为边向外作,使,再以点C为旋转中心把旋转到,则给出下列结论:①D,A,E三点共线;②平分;③;④.其中正确的有(

).A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【分析】①设∠1=x度,把∠2=(60-x)度,∠DBC=∠4=(x+60)度,∠3=60°加起来等于180度,即可证明D、A、E三点共线;②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE,判断出△CDE为等边三角形,求出∠BDC=∠E=60°,∠CDA=120°-60°=60°,可知DC平分∠BDA;③由②可知,∠BAC=60°,∠E=60°,从而得到∠E=∠BAC.④由旋转可知AE=BD,又∠DAE=180°,DE=AE+AD.而△CDE为等边三角形,DC=DE=DB+BA.【详解】解:如图,①设∠1=x度,则∠2=(60-x)度,∠DBC=(x+60)度,故∠4=(x+60)度,∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度,∴D、A、E三点共线;故①正确;②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE,∴CD=CE,∠DCE=60°,∴△CDE为等边三角形,∴∠E=60°,∴∠BDC=∠E=60°,∴∠CDA=120°-60°=60°,∴DC平分∠BDA;故②正确;③∵∠BAC=60°,∠E=60°,∴∠E=∠BAC.故③正确;④由旋转可知AE=BD,又∵∠DAE=180°,∴DE=AE+AD.∵△CDE为等边三角形,∴DC=DB+DA.故④正确;故选:D.【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识,要注意旋转不变性,找到变化过程中的不变量.2.(2023·广东·八年级专题练习)如图所示,为等边三角形,边长为4,点为边中点,,其两边分别交和的延长线于,,求的值.【答案】6【分析】过点O作OC∥AB交AD于点C,根据等腰三角形的性质就可以得出△OCF≌△OBE,就可以得出CF=BE,进而可以得出结论.【详解】过点O作OD∥AB交AC于点D,∴∠CDO=∠A=∠ACB=∠ABC=60°,∴∠DOC=60°,∠ADO=∠BOD=120°.∴△CDO是等边三角形,∴DO=CO,∴DO=BO=AD.∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC.∠CAB=∠ABC=∠C=60°,∴∠OBE=120°,∴∠ODF=∠OBE.∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°,∠DOF+∠FOB=∠BOD=120°∴∠FOD=∠EOB.在△DOF和△BOE中,,∴△DOF≌△BOE(ASA).∴FC=EB.OF=OE.∵AE=AB+BE,∴AE=AB+DF,∴AE=AB+AD+AF,∴AE-AF=AB+AD.∵AB+AD=AB,∴AE-AF=AB.∵AB=4,∴AE-AF=6.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,线段中点的性质的运用,解答时正确作辅助线证明三角形全等是关键.3.(2023·广西·八年级专题练习)如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180°.【答案】见解析【分析】先在线段BC上截取BE=BA,连接DE,根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠EBD,根据,可判定△ABD≌△EBD,根据全等三角形的性质可得:AD=ED,∠A=∠BED.再根据AD=CD,等量代换可得ED=CD,根据等边对等角可得:∠DEC=∠C.由∠BED+∠DEC=180°,可得∠A+∠C=180°.【详解】证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD,在△ABD和△EBD中,,∴△ABD≌△EBD(SAS),∴AD=ED,∠A=∠BED.∵AD=CD,∴ED=CD,∴∠DEC=∠C.∵∠BED+∠DEC=180°,∴∠A+∠C=180°.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质.4.五边形ABCDE中,,,,求证:AD平分∠CDE.【答案】见解析【分析】延长DE至F,使得,连接AC,易证△ABC≌△AEF,得到,然后证明△ADC≌△ADF即可解决问题.【详解】延长DE至F,使得,连接AC.∵,,∴∵,,∴△ABC≌△AEF.∴,∵,∴,∴△ADC≌△ADF,∴即AD平分∠CDE.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题关键.5.(2023•西城区校级期中)已知,如图,在四边形ABCD中,BC>BA,∠A+∠C=180°,DE⊥BC,BD平分∠ABC,试说明AD=DC.【解答】证明:如图,过D作DF⊥AB,交BA的延长线于点F,∵DE⊥BC,BD平分∠ABC,∴DE=DF,∠F=∠DEC=90°,∵∠BAD+∠C=180°,且∠BAD+∠DAF=180°,∴∠DAF=∠C,在△ADF和△CDE中∴△ADF≌△CDE(AAS),∴AD=CD.6. 在等边△ABC中,点D是线段BC的中点,∠EDF=120º,射线DE与线段AB相交于点E,射线DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图1,若DF⊥AC,直接写出DE与AB的位置关系;(2)如图2,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F,求证:DE=DF;(3)在∠EDF绕D顺时针旋转过程中,直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.【解答】(1)DE⊥AB;(2)见解析;(3)【解析】(1)∵DF⊥AC,∴∠AFD=90º,∵∠A=60º,∠EDF=120º,∴∠AED=360º-∠A-∠AFD-∠EDF=90º,∴∠DE⊥AB;(2)连接AD,过点D作DM⊥AB于点M,作DN⊥AC于点N,如图所示:∵点D是BC的中点,∴AD是∠BAC的角平分线,∴DM=DN,∵∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90º,∠A=60º,∴∠MDN=360º-60º-90º-90º=120º,∵∠EDF=120º,∴∠MDE=∠NDF,∴△EMD≌△FND,∴DE=DF;(3)过点D作DM⊥AB于点M,作DN⊥AC于点N,如图所示:在△BOM与△CDN中,,∴BM=CN,DM=DN,∵∠EDF=120º=∠MDN,∴∠EDM=∠NDF,在△DME与△NDF中,,∴△EDM≌△FDN,∴ME=NF,∴BE-CF=BM+EM-(FN-CN)=2BM=BD=.7. 如图,在正方形ABCD中,AC是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动,另一边交DC于Q.(1)如图1,当点Q在DC边上,猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系,并加以说明;(2)如图2,当点Q落在DC延长线上时,猜想并写出PB与PQ满足的数量关系,请证明你的猜想.【解答】(1)PB=PQ;(2)PB=PQ【解析】(1)过点P作PE⊥BC,PF⊥CD,如图所示:∵P、C为正方形对角线AC上的点,∴PC平分∠DCB,∠DCB=90º,∴PF=PE,∴四边形PECF为正方形,∵∠BPE+∠QPE=90º,∠QPE+∠QPF=90º,∴∠BPE=∠QPF,∴△PQF≌△PBE,∴PB=PQ;(2)过点P作PE⊥BC,PF⊥CD,如图所示:证明过程参考(1),通过证△PQF≌△PBE即可得到PB=PQ8. 如图所示,一副三角板按如图放置,等腰直角三角形固定不动,另一个的直角顶点放在等腰三角形的斜边中点D处,且可以绕点D旋转,在旋转过程中,两直角边与AB、CB的交点为点G、H.(1)当三角板DEF旋转至图1所示时,探究BG与CH的大小关系,并说明理由;(2)若在旋转过程中,两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上,AB=BC=4,在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变,若不变,求出它的值,若改变,求出它的取值范围;(3)当三角板旋转至如图2所示时,三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时,(1)中的结论仍成立吗?并说明理由.【解答】(1)BG=CH;(2)面积不变,始终是4;(3)仍成立,理由见解析.【解析】(1)连接BD,如图所示:∵等腰直角三角形ABC,点D为AC的中点,∴DB=DC=DA,∠DBG=∠DCH=45º,BD⊥AC,∵EDF=90º,∴∠ADG+∠HDC=90º,∵∠BDC=∠BDA=90º,∴∠BDG+∠ADG=90º,∴∠BDG=∠HDC,∴△BDG≌△CDH(ASA),∴BG=CH;(2)在等腰直角△ABC中,∵AB=BC=4,∴△ABC的面积为8,∴∠A=∠C=45º,∴∠A=∠DBH,∵BD⊥AC,∠BDG=∠CDH,∴∠BDH=∠ADG,又∵BD=AD,∴△BDH≌△ADG(SAS),由(1)可得△BDG≌△CDH,∴,∵DA=DC=DB,BD⊥AC,,∴在旋转过程中四边形GBHD的面积不变,始终是4;(3)连接BD,如图所示:∵BD⊥AC,AB⊥BH,ED⊥DF,∴∠BDG=90º-∠CDG,∠CDH=90º-∠CDG,∴∠BDG=∠CDH,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠DBC=∠BCD=45º,∴∠DBG=∠DCH=135º,∴△DBG≌△DCH,∴BG=CH,∴结论仍然成立.9.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的点,点E在AB上,且PA=PE.(1)求证:PC=PE;(2)求∠CPE的度数;(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系,并说明理由.【分析】(1)先证出△ABP≌△CBP,得PA=PC,由于PA=PE,得PC=PE;(2)由△ABP≌△CBP,得∠BAP=∠BCP,进而得∠DAP=∠DCP,由PA=PC,得到∠DAP=∠E,∠DCP=∠E,最后∠CPE=∠EDF=90°得到结论;(3)借助(1)和(2)的证明方法容易证明结论.【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,在△ABP和△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PA=PE,∴PC=PE;(2)解:由(1)知,△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∵PA=PE,∴∠PAE=∠PEA,∴∠CPB=∠AEP,∵∠AEP+∠PEB=180°,∴∠PEB+∠PCB=180°,∴∠ABC+∠EPC=180°,∵∠ABC=90°,∴∠EPC=90°;(3)∠ABC+∠EPC=180°,理由:解:在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP,在△ABP和△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴∠BAP=∠BCP,∵PA=PE,∴∠DAP=∠DCP,∴∠PAE=∠PEA,∴∠CPB=∠AEP,∵∠AEP+∠PEB=180°,∴∠PEB+∠PCB=180°,∴∠ABC+∠EPC=180°.10.(2022·湖北武汉·八年级校考期末)已知在四边形中,,.(1)如图1.连接,若,求证:.(2)如图2,点分别在线段上,满足,求证:;(3)若点在的延长线上,点在的延长线上,如图3所示,仍然满足,请写出与的数量关系,并给出证明过程.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)【分析】(1)根据已知条件得出为直角三角形,再根据证出,从而证出;(2)如图2,延长DC到K,使得CK=AP,连接BK,通过证△BPA≌△BCK(SAS)得到:∠1=∠2,BP=BK.然后根据证明得,从而得出,然后得出结论;(3)如图3,在CD延长线上找一点K,使得KC=AP,连接BK,构建全等三角形:△BPA≌△BCK(SAS),由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得:△PBQ≌△BKQ,则其对应角相等:∠PBQ=∠KBQ,结合四边形的内角和是360度可以推得:∠PBQ=90°+∠ADC.【详解】(1)证明:如图1,∵,∴在和中,∴∴(2)如图2,延长至点,使得,连接∵∴∵∴∵,,∴∴,,∵,,∴∵,,∴∴∴(3)如图3,在延长线上找一点,使得,连接,∵∴∵∴在和中,∴∴,∴∵∴在和中,∴∴∴∴∴.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质.在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形.11.(2023·山东青岛·八年级统考期中)[问题]如图①,点是的角平分线上一点,连接,,若与互补,则线段与有什么数量关系?[探究]探究一:如图②,若,则,即,,又因为平分,所以,理由是:_______.探究二:若,请借助图①,探究与的数量关系并说明理由.[结论]点是的角平分线上一点,连接,,若与互补,则线段与的数量关系是______.[拓展]已知:如图③,在中,,,平分.求证:.

【答案】探究一:角的平分线上的点到角的两边距离相等;探究二:AD=CD;理由见解析;[结论]:AD=CD;[拓展]:见解析.【分析】探究一:根据角平分线的性质定理解答;探究二:作于,作交的延长线于,证明,根据全等三角形的性质证明结论;[理论]根据探究结果得到答案;[拓展]在上取一点,使,作角的延长线于,于,证明,得到,根据等腰三角形的性质得到,等量代换得到,结合图形证明结论.【详解】解:探究一:平分,,,,理由是:角平分线上的点到角的两边的距离相等,故答案为:角平分线上的点到角的两边的距离相等;探究二:作于,作交的延长线于,平分,,,,,,,在和中,,;[理论]综上所述,点是的角平分线上一点,连接,,若与互补,则线段与的数量关系是,故答案为:;[拓展]在上取一点,使,作角的延长线于,于,.平分,,,,,,,,,,,.在和中,,,,,,,,.,.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.12.问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论.【类比引申】如图(2),四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足关系时,仍有EF=BE+FD.【探究应用】如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AE⊥AD,DF=40(﹣1)米,现要在E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据:=1.41,=1.73)【答案】【发现证明】证明见解析;【类比引申】∠BAD=2∠EAF;【探究应用】109.2米.【详解】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE,则GF=BE+DF,只要再证明△AFG≌△AFE即可.【类比引申】延长CB至M,使BM=DF,连接AM,证△ADF≌△ABM,证△FAE≌△MAE,即可得出答案;【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形,则BE=AB=80米.把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG,根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE,则GF=BE+DF,只要再证明△AFG≌△AFE即可得出EF=BE+FD.解:如图(1),∵△ADG≌△ABE,∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,又∵∠EAF=45°,即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°,∴∠GAF=∠FAE,在△GAF和△FAE中,AG=AE,∠GAF=∠FAE,AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS).∴GF=EF.又∵DG=BE,∴GF=BE+DF,∴BE+DF=EF.【类比引申】∠BAD=2∠EAF.理由如下:如图(2),延长CB至M,使BM=DF,连接AM,∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABM=180°,∴∠D=∠ABM,在△ABM和△ADF中,AB=AD,∠ABM=∠D,BM=DF,∴△ABM≌△ADF(SAS),∴AF=AM,∠DAF=∠BAM,∵∠BAD=2∠EAF,∴∠DAF+∠BAE=∠EAF,∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF,在△FAE和△MAE中,AE=AE,∠FAE=∠MAE,AF=AM,∴△FAE≌△MAE(SAS),∴EF=EM=BE+BM=BE+DF,即EF=BE+DF.故答案是:∠BAD=2∠EAF.【探究应用】如图3,把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG,连接AF.∵∠BAD=150°,∠DAE=90°,∴∠BAE=60°.又∵∠B=60°,∴△ABE是等边三角形,∴BE=AB=80米.根据旋转的性质得到:∠ADG=∠B=60°,又∵∠ADF=120°,∴∠GDF=180°,即点G在CD的延长线上.易得,△ADG≌△ABE,∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,又∵∠EAG=∠BAD=150°,∴∠GAF=∠FAE,在△GAF和△FAE中,AG=AE,∠GAF=∠FAE,AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS).∴GF=EF.又∵DG=BE,∴GF=BE+DF,∴EF=BE+DF=80+40(﹣1)≈109.2(米),即这条道路EF的长约为109.2米.“点睛”此题主要考查了四边形综合题,关键是正确画出图形,证明△AFG≌△AEF.此题是一道综合题,难度较大,题目所给例题的思路,为解决此题做了较好的铺垫.13、在等边中,点D为的中点,点F在延长线上,点E在射线上,.(1)如图1,当点E与点B重合时,则与的数量关系是_________;(2)当点E在线段上时,(1)中的结论是否仍然成立?请结合图2说明理由;(3)如图3,当点E在的延长线上时,,请直接写出的长.【答案】(1)DE=DF;(2)DE=DF,理由见解析;(3)4【详解】(1)∵△ABC是等边三角形,D点为AC的中点∴∠DBC=30゜∵∠EDF=120゜∴∠F=180゜―∠DBC―∠EDF=30゜∴∠DBC=∠F∴DE=DF故答案为:DE=DF(2)仍有DE=DF;理由如下:过点D作DG∥BC交AB于点G,如图2所示则∠AGD=∠ABC∵△ABC是等边三角形∴AB=AC,∠A=∠ABC=∠ACB=60゜∴∠AGD=∠A=60゜∴△AGD是等边三角形∴∠ADG=∠AGD=60゜,AD=GD∴∠DGE=∠GDC=120゜∴∠EDF=∠GDC=120゜∵∠GDE+∠EDC=∠EDC+∠CDF∴∠GDE=∠CDF∵D点是AC的中点∴AD=DC=GD∵∠ACB=60゜∴∠DCF=120゜∴∠DGE=∠DCF在△DGE和△DCF中∴△DGE≌△DCF(ASA)∴DE=DF(3)过点D作DG∥BC交AB于点G,如图3所示与(2)同理有:△DGE≌△DCF∴GE=CF设BC=a,则CF=8-a,∴由GE=CF,得:解得:a=414、已知:如图,在等边△ABC中,点O是BC的中点,∠DOE=120°,∠DOE绕着点O旋转,角的两边与AB相交于点D,与AC相交于点E.(1)若OD,OE都在BC的上方,如图1,求证:OD=OE.(2)在图1中,BD,CE与BC的数量关系是.(3)若点D在AB的延长线上,点E在线段AC上,如图2,直接写出BD,CE与BC的数量关系是.【答案】(1)见解析;(2);(3)【解析】(1)证明:取AB的中点F,连接OF.∵△ABC是等边三角形,∴,∵点O与点F分别是BC与AB的中点,∴,∴△BOF是等边三角形,∴,,∴,∴,∵在△DOF和△EOC中,,∴,∴.(2)解:结论:.理由:∵,∴,∴,∵是等边三角形,∴,∵,∴.故答案为:;(3)结论:.理由如图2中,取的中点F,连接OF.同(1)中的方法可证是等边三角形,,∴,∴,∵,∴15.如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,且与点B,C不重合,连接AD.作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF.(1)若AB=AC,∠BAC=90°①当点D在线段BC上时,试探讨CF与BD的数量关系和位置关系;②当点D在线段BC的延长线上时,如图2,①中的结论是否仍然成立,请说明理由;(2)若AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC.上,且CF⊥BD时,如图3,试求∠BCA的度数.【答案】(1)①,;②存在,详见解析(2)45°【解析】(1)①∵∠BAC=90°,△ADF是等腰直角三角形,∴∠CAF+∠CAD=90°,∠BAD+∠CAD=90°,∴∠CAF=∠BAD,在△ACF和△ABD中,,∴△ACF≌△ABD(SAS),∴CF=BD,∠ACF=∠ABD=45°,∵∠ACB=45°,∴∠FCB=90°,∴CF⊥BD;②CE=BD,CF⊥BD,理由如下:如图2,∵∠BAC=90°,△ADF是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠DAF=90°,∴∠CAF=∠BAD,在△ACF和△ABD中,,∴△ACF≌△ABD(SAS),∴CF=BD,∠ACF=∠ABD=45°,∵∠ACB=45°,∴∠FCB=90°,∴CF⊥BD;(2)如图,过点A作AE⊥AC交BC于E,∵∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=90°∵AE⊥AC∴∠AEC+∠BCA=90°∴∠ACF=∠AEC∵∠CAF+∠CAD=90°,∠EAD+∠CAD=90°,∴∠CAF=∠EAD,在△ACF和△AED中,,∴△ACF≌△AED(AAS),∴AC=AE,∴∠ACE=45°,∴∠BCA=45°16.已知点D是△ABC外一点,连接AD,BD,CD,.(1)【特例体验】如图1,AB=BC,α=60

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