专题42 二次函数中的特殊三角形问题(原卷版)

专题42二次函数中的特殊三角形问题【题型演练】一、单选题1．（2021·四川成都·一模）如图，二次函数图象的顶点为D，其图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，与y轴负半轴交于点C．在下面四个结论中：①；②；③只有当时，是等腰直角三角形；④使为等腰三角形的值可以有两个．其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（

）A．1＋ B．1－C．－1 D．1－或1＋3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（

）A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④4．（2022·浙江·温州绣山中学九年级期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．5．（2020·山东德州·二模）二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，，，…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为()A．20 B． C．22 D．6．（2022·浙江·杭州东方中学九年级阶段练习）小明发现，将二次函数的图象在x轴及其上方的部分向右平移得到，这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的logo．经测量，该图案两个顶点间的距离与底部跨度的比值为，点P是与的交点，若恰好为等腰直角三角形，则a的值为（

）A． B． C． D．7．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知点，，射线绕点A逆时针旋转30°，与轴交于点，则过，，三点的二次函数中，的值分别为（

）A．， B．， C．， D．，二、填空题8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_________．9．（2022·浙江·宁波市第七中学九年级阶段练习）已知：如图，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“优美三角形”．若抛物线的“优美三角形”的斜边长为4，求a的值______．10．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，抛物线的顶点为点P，当为直角三角形时，m的值为________．11．（2020·北京延庆·九年级期中）如图，正方形OABC的顶点B恰好在函数的图象上，若正方形OABC的边长为，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15°，则的值为_________．12．（2021·山东滨州·九年级期末）二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2021在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2021在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2020B2021A2021都为等边三角形，则△A2020B2021A2021的边长＝_____．13．（2022·山东·日照市高新区中学一模）二次函数的函数图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，A4，…在轴的正半轴上，点B1，B2，B3，B4，…在二次函数位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，△A3B4A4…，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则△A10B11A11的斜边长为__________．三、解答题14．（2022·广东·广州市第八十九中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过，两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点是直角斜边上一动点(点，除外)，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点、的坐标；(3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点的坐标；若不存在，说明理由．15．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A、C，交y轴于点B，.(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；(2)如图，连接，点M是对称轴上一点且在第四象限，若是以为底角的等腰三角形，求点M的坐标；16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为．(1)直接写出点A的坐标，点B的坐标；(2)求出二次函数的解析式；(3)如图1，在平面直角坐标系中找一点D，使得是以为斜边的等腰直角三角形，试求出点D的坐标．17．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．(1)求这个二次函数的关系解析式；(2)在平面直角坐标系中，是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其对称轴与轴交于点.(1)点的坐标为___________，点的坐标为___________；(2)连接，在线段上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；19．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)直线分别交直线和抛物线于点M，N，当是等腰三角形时，直接写出m的值．20．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点为与点，与轴交于点.(1)求此二次函数关系式和点的坐标；(2)在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.21．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线经过点、，与轴的另一个交点为，点在线段上，过点作轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)以为边在其左侧作等腰直角三角形，问点D能否落在抛物线上，若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．22．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．(1)求的面积；(2)如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；(3)若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点(1)二次函数的表达式为；(2)点在直线上，当为等腰三角形时，求点的坐标；24．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知点A的