2024-2025学年新教材高中数学第七章统计案例7.2成对数据的线性相关性课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(四十七)成对数据的线性相关性1．下列数据x，y符合哪一种函数模型()x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3A．y＝2＋eq\f(1,3)x B．y＝2exC．y＝2eeq\s\up12(eq\f(1,x)) D．y＝2＋lnxD[分别将x的值代入解析式推断知满意y＝2＋lnx．]2．两个变量满意如下表关系．X510152025Y103105110111114则两个变量线性相关程度()A．较高B．较低C．不相关D．不确定A[eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))xi＝75，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))yi＝543，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1375，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))xiyi＝8285，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝59051，eq\x\to(x)＝15，eq\x\to(y)＝108.6．r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\r(\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up7(5),\s\do6(i＝1))y\o\al(2,i)－5\x\to(y)2))＝eq\f(8285－5×15×108.6,\r(1375－5×152)×\r(59051－5×108.62))≈0.9826．故两个变量间的线性相关程度较高．]3．对相关系数r，下列说法正确的是()A．r越大，相关程度越大B．r越小，相关程度越大C．|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大D．|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近0，相关程度越小D[|r|越接近于1，偏差越小，相关程度越大，|r|越接近于0，偏差越大，相关程度越小，故选D．]4．对变量X，Y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图①；对变量U，V有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图②．由这两个散点图可以推断()①②A．变量X与Y正相关，U与V正相关B．变量X与Y正相关，U与V负相关C．变量X与Y负相关，U与V正相关D．变量X与Y负相关，U与V负相关C[由题图①可知，各点整体呈递减趋势，X与Y负相关，由题图②可知，各点整体呈递增趋势，U与V正相关．]5．若回来直线方程中的回来系数b＝0，则相关系数为()A．r＝1 B．r＝－1C．r＝0 D．无法确定C[当b＝0时，有eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do6(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝0，故相关关系r＝0．]二、填空题6．某单位为了了解用电量Y(度)与气温X(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下比照表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864由表中数据得线性回来直线方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))中的eq\o(b,\s\up7(^))＝－2，预料当气温为－4℃时，用电量为________度．68[回来直线方程过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，依据题意得eq\x\to(x)＝eq\f(18＋13＋10＋－1,4)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(24＋34＋38＋64,4)＝40，将(10，40)代入eq\o(y,\s\up7(^))＝－2x＋eq\o(a,\s\up7(^))，解得eq\o(a,\s\up7(^))＝60，则eq\o(y,\s\up7(^))＝－2x＋60，当x＝－4时，eq\o(y,\s\up7(^))＝(－2)×(－4)＋60＝68，即当气温为－4℃时，用电量约为68度．]7．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回来分析，结果如下：eq\x\to(x)＝eq\f(7,2)，eq\x\to(y)＝71，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝79，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xiyi＝1481．eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(1481－6×\f(7,2)×71,79－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))\s\up12(2))≈－1.8182，eq\o(a,\s\up7(^))＝71－(－1.8182)×eq\f(7,2)≈77.36，则销量每增加1000箱，单位成本下降________元．1.8182[由已知可得，eq\o(y,\s\up7(^))＝－1.8182x＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.8182元．]8．在探讨教化与贫困两个因素之间的关系时，收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教化的百分比(X)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(Y)的数据，建立的回来直线方程如下：Y＝0.8X＋4.6，斜率的估计值等于0.8，说明________；成年人受过9年或更少教化的百分比(X)和收入低于正式的贫困线的人数占本州人数的百分比(Y)之间的相关系数________(填“大于0”或“小于0”)．[答案]一个地区受过9年或更少教化的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右大于0三、解答题9．测得10对父子身高(单位：英寸)如下：父亲身高(X)60626465666768707274儿子身高(Y)63.665.26665.566.967.167.468.370.170(1)对变量Y与X进行相关性检验；(2)假如Y与X之间具有相关关系，求回来直线方程；(3)假如父亲身高为73英寸，试估计儿子的身高．参考数据：eq\x\to(x)＝66.8，eq\x\to(y)＝67.01，eq\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝44794，eq\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝44941.93，eq\x\to(x)2＝4462.24，eq\x\to(y)2＝4490.34，eq\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))xiyi＝44842.4，[解](1)r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))y\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))))≈0.9804，因为r≈0.9804特别接近于1，所以Y与X之间具有较强的线性相关关系．(2)设回来直线方程为Y＝bX＋a，eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)≈0.4646，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)≈35.97，所以回来直线方程为Y＝0.4646X＋35.97．(3)x＝73时，y＝69.9，所以父亲身高为73英寸时，儿子的身高约为69.9英寸．10．下面的数据是年龄在40到60岁的男子中随机抽出的6个样本，分别测定了心脏的功能水平Y(满分100)，以及每天花在看电视上的平均时间X(小时)．看电视的平均时间x4.44.62.75.80.24.6心脏功能水平y525369578965(1)求心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间X之间的相关系数r；(2)求心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间X的线性回来方程，并探讨方程是否有意义；(系数保留两位小数)(3)估计平均每天看电视3小时的男子的心脏功能水平．[解]n＝6，eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(4.4＋4.6＋2.7＋5.8＋0.2＋4.6)≈3.716，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(52＋53＋69＋57＋89＋65)≈64.1667，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)－6eq\x\to(x)2＝(4.42＋4.62＋2.72＋5.82＋0.22＋4.62)－6×3.7162≈19.7980，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))yeq\o\al(2,i)－6eq\x\to(y)2＝(522＋532＋692＋572＋892＋652)－6×64.16672≈964.8333，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xiyi－6eq\o(x,\s\up7(－))eq\o(y,\s\up7(－))＝(4.4×52＋4.6×53＋…＋4.6×65)－6×3.716×64.1667≈－124.3607．(1)心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间X之间的相关系数：r＝eq\f(－124.3607,\r(19.7980×964.8333))≈－0.8998．(2)eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(－124.3607,19.7980)≈－6.28，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)＝87.50，心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回来方程为Y＝－6.28X＋87.50．因为|r|＝0.898，所以有相当大的把握认为Y与X之间有线性关系，这个方程是有意义的．(3)将x＝3代入线性回来方程，可得y＝68.66，即平均每天看电视3小时，心脏功能水平约为68.66．11．两个变量Y与X的回来模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是()A．模型1的相关系数r为0.98B．模型2的相关系数r为0.80C．模型3的相关系数r为0.50D．模型4的相关系数r为0.25A[在两个变量Y与X的回来模型中，它们的相关系数|r|越近于1，模拟效果越好，在四个选项中A的相关系数最接近1，所以拟合效果最好的是模型1．]12．已知两个变量X和Y之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回来的方法求得回来直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发觉对变量X的观测数据的平均数都为s，对变量Y的观测数据的平均数都是t，则下列说法正确的是()A．l1与l2肯定有公共点(s，t)B．l1与l2相交，但交点肯定不是(s，t)C．l1与l2必定平行D．l1与l2必定重合A[由于回来直线Y＝bX＋a恒过(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))点，又两人对变量X的观测数据的平均值为s，对变量Y的观测数据的平均值为t，所以l1和l2恒过点(s，t)．]13．(多选题)下列说法中正确的是()A．线性相关系数r∈[－1，1]B．在线性回来分析中，偏差越小，线性相关系数的肯定值越大C．相关系数r越小，说明变量之间的线性相关程度越小D．在散点图中，若n个点在一条直线上，|r|＝1ABD[由线性相关系数的定义知，只有C不正确．]14．(一题两空)某市居民2015～2024年家庭年平均收入X(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：年份20152024202420242024收入X11.512.11313.315支出Y6.88.89.81012依据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________相关关系(填“正”或“负”)．13正[中位数是13．由相关性学问，依据统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正相关关系．]15．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若全部样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲线y＝bx2－eq\f(1,2)旁边波动．经计算eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xi＝12，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))yi＝14，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xeq