2025版高中数学一轮复习课时作业梯级练十三变化率与导数导数的计算课时作业理含解析新人教A版

PAGE课时作业梯级练十三改变率与导数、导数的计算1.设函数f(x)=1+sin2x,则QUOTE= ()A.-2 B.0 C.3 【解析】选D.因为f′(x)=2cos2x,所以QUOTE=QUOTE=f′(0)=2.2.曲线y=x2+QUOTE在点(1,2)处的切线方程为 ()A.y=-x+3 B.y=x+1C.y=-2x+4 D.y=2x【解析】选B.设y=f(x),则f′(x)=2x-QUOTE,所以f′(1)=2-1=1,所以在(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1.3.(2024·泸州模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导数,f(x)=f′(1)·2x+x2,则f′(2)= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.-2【解析】选C.因为f′(x)=f′(1)·2xln2+2x,所以f′(1)=f′(1)·2ln2+2,解得f′(1)=QUOTE,所以f′(x)=QUOTE·2xln2+2x,所以f′(2)=QUOTE×22ln2+2×2=QUOTE.4.(2024·西安模拟)函数f(x)=QUOTE的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为f′(x)=QUOTE,则k=f′(0)=1,则倾斜角为QUOTE.5.设函数f(x)在R上可导,f(x)=x2f′(1)-2x+1,则f(a2-a+2)与f(1)的大小关系是A.f(a2-a+2)>f(1) B.f(a2-a+2)=f(1)C.f(a2-a+2)<f(1) D.不确定【解析】选A.由题意,f′(x)=2f′(1)x-2,则f′(1)=2f′(1)-2,可得f′(1)=2,则f(x)=2x2-2x+1,由二次函数性质可知,函数f(x)在QUOTE上单调递增,因为a2-a+2=QUOTE+QUOTE>1>QUOTE,所以f(a2-a+2)>f(1).6.将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每一个旋转角θ,曲线C都仍旧是一个函数的图象,则α的最大值为 ()A.π B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时,当且仅当其随意切线的倾斜角小于等于90°时,其图象都依旧是一个函数图象,因为当x≥0时,y′=QUOTE是减函数,且0<y′≤1,当且仅当x=0时等号成立,故在函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象的切线中,x=0处的切线倾斜角最大,其值为QUOTE,由此可知αmax=QUOTE.7.已知函数f(x)=x2+2xf′(1),则f(-1)与f(1)的大小关系是 ()A.f(-1)>f(1) B.f(-1)=f(1)C.f(-1)<f(1) D.不能确定【解析】选A.由函数的解析式可得:f′(x)=2x+2f′(1),令x=1可得:f′(1)=2+2f′(1),则f′(1)=-2,故函数的解析式为f(x)=x2-4x,据此可知f(-1)=5,f(1)=-3,故f(-1)>f(1).【学问拓展】对抽象函数求导的解题策略在求导问题中,常涉及一类解析式中含有导数值的函数,即解析式类似为f(x)=f′(x0)x+sinx+lnx(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数,其导数值为0.因此先求导函数f′(x),令x=x0,即可得到f′(x0)的值,进而得到函数解析式,求得所求的导数值.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2024·全国Ⅱ卷)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.

【解析】y′=QUOTE,k=QUOTE=2,所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.答案:y=2x【加练备选·拔高】(2024·潮州模拟)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为.

【解析】函数的导数为f′(x)=3lnx+1+x×QUOTE=3lnx+4,所以在(1,1)的切线斜率为k=4,所以切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.答案:4x-y-3=09.(2024·丽江模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满意关系式f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,则f′(2)=.

【解析】因为f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,所以f′(x)=2x+3f′(2)+QUOTE,所以f′(2)=4+3f′(2)+QUOTE=3f′(2)+QUOTE,所以f′(2)=-QUOTE.答案:-QUOTE10.已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),F(x)=QUOTE,若F(x)的图象在x=0处的切线方程为y=-2x+c,则b=,函数f(x)的最小值是.

【解析】因为f′(x)=2x+b,所以F(x)=QUOTE.所以F′(x)=QUOTE.又F(x)的图象在x=0处的切线方程为y=-2x+c.所以QUOTE解得b=c=4.故f(x)=(x+2)2≥0,则f(x)min=0.答案:401.(5分)下列结论正确的是 ()A.在曲线y=f(x)上某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义相同B.与曲线只有一个公共点的直线肯定是曲线的切线C.QUOTE′=cosQUOTED.[ln(-x)]′=QUOTE【解析】选D.对于A,曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线,点P在曲线上,而过点P(x0,y0)的切线,点P可以在曲线外.对于B,如图所示,直线与曲线只有一个公共点,但不是切线.对于C,QUOTE′=0,D正确.2.(5分)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1【解析】选D.令f(x)=aex+xlnx,则f′(x)=aex+lnx+1,f′(1)=ae+1=2,得a=QUOTE=e-1.f(1)=ae=2+b,可得b=-1.3.(5分)(2024·太原模拟)已知点P是直线y=2x-4上的动点,点Q是曲线y=x+ex上的动点,则|PQ|的最小值为 ()A.5 B.QUOTEC.e+3 D.QUOTE【解析】选B.设曲线y=x+ex上切点为M(x0,x0+QUOTE),y=x+ex⇒y′=1+ex,k=1+QUOTE=2⇒x0=0⇒M(0,1),M(0,1)到直线y=2x-4的距离为QUOTE,即|PQ|的最小值为QUOTE.4.(10分)已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点.(1)在曲线y=x2上分别求过点P,Q的切线方程.(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.【解析】(1)因为y′=2x,所以过点P,Q的切线斜率分别为-2,4,所以过点P的切线方程为:y-1=-2(x+1);即y=-2x-1;过点Q的切线方程为:y-4=4(x-2);即y=4x-4.(2)设切点为QUOTE,kPQ=QUOTE=1,因为切线和直线PQ平行,且切线的斜率为2x0,所以2x0=1,所以x0=QUOTE,所以切点为QUOTE,所以切线方程为y-QUOTE=x-QUOTE,即y=x-QUOTE.5.(10分)已知点M是曲线y=QUOTEx3-2x2+3x+1上随意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角α的取值范围.【解析】(1)y′=x2-4