2024-2025学年高中数学模块提升卷B含解析北师大版必修2

PAGE模块提升卷(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过点(2，－1)且与直线x＋y－5＝0垂直的直线的方程是()A．x＋y＋3＝0B．x－y＋3＝0C．x＋y－3＝0D．x－y－3＝0解析：因为所求的直线与直线x＋y－5＝0垂直，故所求直线的斜率为1.又直线经过点(2，－1)，故所求直线的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.答案：D2．直线ax＋by＋4＝0和(1－a)x－y－b＝0都平行于直线x＋2y＋3＝0，则()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2),b＝－3))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3),b＝－3))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2),b＝3))D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,2),b＝3))解析：∵直线ax＋by＋4＝0与直线x＋2y＋3＝0平行，∴eq\f(a,1)＝eq\f(b,2)且eq\f(b,2)≠eq\f(4,3)，①∵直线(1－a)x－y－b＝0与直线x＋2y＋3＝0平行，∴eq\f(1－a,1)＝eq\f(－1,2)且eq\f(－1,2)≠eq\f(－b,3)，②由①②得a＝eq\f(3,2)，b＝3.故选C.答案：C3．假如一个水平放置的图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A．2＋eq\r(2)B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2)D．1＋eq\r(2)解析：由题意得原平面图形是一个上底为1，下底为1＋eq\r(2)，高为2的直角梯形，∴它的面积S＝eq\f(1＋1＋\r(2),2)×2＝2＋eq\r(2)，故选A.答案：A4．长方体的一个顶点处的三条棱长之比为123，全面积为88，则它的对角线长为()A.eq\r(14)B．2eq\r(14)C．2eq\r(13)D.eq\r(13)解析：设长方体的三条棱长分别为k,2k,3k，则它的全面积S＝2(2k2＋3k2＋6k2)＝88，所以k2＝4，所以对角线的长为eq\r(14k2)＝2eq\r(14).答案：B5．设点P(a，b，c)关于原点对称的点为P′，则|PP′|＝()A.eq\r(a2＋b2＋c2)B．2eq\r(a2＋b2＋c2)C．|a＋b＋c|D．2|a＋b＋c|解析：P(a，b，c)关于原点对称的点为P′(－a，－b，－c)，则|PP′|＝eq\r([a－－a2]＋[b－－b]2＋[c－－c]2)＝2eq\r(a2＋b2＋c2).答案：B6．一正四面体木块如图所示，若P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为()A.eq\f(a2,2)B.eq\f(a2,3)C.eq\f(a2,4)D.eq\f(a2,5)解析：过P的截面为正方形，边长为eq\f(a,2)，所以面积为eq\f(a2,4).答案：C7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1A．平面DD1C1CB．平面AC．平面A1B1C1D1D．平面A1解析：连接A1D、B1C，如图．由ABCD－A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D，又A1B1∩A1D＝A1，故AD1⊥平面A1DCB答案：B8．如图所示，定圆半径为a，圆心为(b，c)，则直线ax＋by＋c＝0与直线x－y＋1＝0的交点在()A．第四象限B．第三象限C．其次象限D．第一象限解析：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by＋c＝0，,x－y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(b＋c,a＋b)，,y＝\f(a－c,a＋b).))由题意，知a>0，b<0，c>0，a<－b，a>c，－b>c，所以x＝－eq\f(b＋c,a＋b)<0，y＝eq\f(a－c,a＋b)<0.故交点在第三象限．答案：B9．设α表示平面，a、b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：①若a∥α，a⊥b，则b⊥α②若a∥b，a⊥α，则b⊥α③若a⊥α，a⊥b，则b∥α④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.其中为假命题的是()A．①③B．②③C．②④D．①③④解析：①中b还可能平行于α或与α斜交；③中b还可能在α内；②④是真命题．故选A.答案：A10．已知点P(x，y)满意(x＋2)2＋y2＝1，则eq\f(y,x)的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))B．[－eq\r(3)，3]C．(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))解析：(x＋2)2＋y2＝1表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆，过点(0,0)和P(x，y)的直线的斜率为eq\f(y,x).如图，可知这样的直线的倾斜角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).故eq\f(y,x)的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).答案：A11．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析：由题意知，半径为6的圆与x轴相切，且圆心在x轴上方．设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则b＝6，再由eq\r(a2＋32)＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.故选D.答案：D12．若直线y＝kx－1与曲线y＝－eq\r(1－x－22)有公共点，则k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．[0,1]解析：曲线y＝－eq\r(1－x－22)表示的图形是一个半圆，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k的取值范围是[0,1]，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如下图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积为________．解析：由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC，如图所示，则有BO＝OC＝1，AO＝2eq\r(2).故S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AO＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)14．已知点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是________．解析：设Q(x0，y0)，因为点Q在直线x－y＋1＝0上，所以x0－y0＋1＝0①又直线x＋2y－5＝0的斜率k＝－eq\f(1,2)，直线PQ的斜率kPQ＝eq\f(y0＋1,x0)，所以由直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，得eq\f(y0＋1,x0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1②由①②解得x0＝2，y0＝3，即点Q的坐标是(2,3)．答案：(2,3)15．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．解析：先求弦心距，再求弦长．圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝eq\f(|2×3－4＋3|,\r(4＋1))＝eq\r(5)，所以弦长为2eq\r(r2－d2)＝2×eq\r(25－5)＝2eq\r(20)＝4eq\r(5).答案：4eq\r(5)16．已知正四棱锥O－ABCD的体积为eq\f(3\r(2),2)，底面边长为eq\r(3)，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．解析：本题先求出正四棱锥的高h，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解．∵V四棱锥O－ABCD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)h＝eq\f(3\r(2),2)，∴h＝eq\f(3\r(2),2)，∴OA2＝h2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＝eq\f(18,4)＋eq\f(6,4)＝6，∴S球＝4πOA2＝24π.答案：24π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)一几何体按比例绘制的三视图如图(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．解析：(1)直观图如图①.(2)解法一：由三视图可知该几何体是由长方体截去一个角而得到的，且该几何体的体积是以A1A、A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的eq\f(3,4)，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，如图②，则四边形AA1EB是正方形，∴AA1＝BE＝1m在Rt△BEB1中，BE＝1m，EB1＝1∴BB1＝eq\r(2)m.∴几何体的表面积S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＝1＋2×eq\f(1,2)×(1＋2)×1＋1×eq\r(2)＋1＋1×2＝(7＋eq\r(2))m2，几何体的体积V＝eq\f(3,4)×1×2×1＝eq\f(3,2)m3.∴该几何体的表面积为(7＋eq\r(2))m2，体积为eq\f(3,2)m3.解法二：该几何体可看成以四边形AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同解法一，V直四棱柱D1C1CD－A1B1BA＝Sh＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1×1＝eq\f(3,2)m3.∴该几何体的表面积为(7＋eq\r(2))m2，体积为eq\f(3,2)m3.18．(12分)(2024·福建八县一中联考)已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|＝|OB|，求k的值．解析：(1)有两种证法．证法一：直线l的方程可化为y－1＝k(x－2)，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)．证法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1－2k＝0对随意k∈R恒成立，即(x0－2)k－y0＋1＝0恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－2＝0，,－y0＋1＝0，))解得x0＝2，y0＝1，故直线l总过定点(2,1)．(2)因为直线l的方程为y＝kx－2k＋1，则直线l在y轴上的截距为1－2k，在x轴上的截距为2－eq\f(1,k)，依题意1－2k＝2－eq\f(1,k)>0，解得k＝－1或k＝eq\f(1,2)(经检验，不合题意)，所以所求k＝－1.19．(12分)(2024·保定高一检测)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB求证：(1)AC⊥BC1.(2)AC1∥平面B1CD.证明：(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC所以CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1所以AC⊥BC1.(2)设BC1与B1C的交点为O，连接OD因为BCC1B1为平行四边形，所以O为B1C又D是AB的中点，所以OD是△ABC1的中位线，OD∥AC1，又因为AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：平面PMC⊥平面PCD.证明：(1)如图，取PD的中点E，连接EN，AE.∵N是PC的中点，∴EN綊eq\f(1,2)DC，又∵AM綊eq\f(1,2)DC，∴EN綊AM，∴四边形AENM是平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA＝AD，E是PD的中点，∴AE⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.∵AE平面PAD，∴AE⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD.又∵AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.∵MN平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD.21．(12分)已知圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值．解析：(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，因为此方程表示圆，所以5－m>0，即m<5.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x－4y＋m＝0，,x＋2y－4＝0，))消去x得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y＋m＝0，化简得5y2－16y＋m＋8＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(16,5)，①,y1y2＝\f(m＋8,5).②))由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0，所以16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.将①②两式代入上式得16－8×eq\f(16,5)＋5×eq\f(m＋8,5)＝0，解之得m＝eq\f(8,5).22．(12分)已知：以点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(2,t)))为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的