上海市徐汇中学2024-2025学年九年级上学期数学10月月考试卷（解析版）

2025届初三（上）数学巩固练习3一、选择题（每小题4分，共24分）1.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是()A.msin35° B.mcos35° C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据锐角三角函数定义可得sinA=，所以BC=,故选A.考点：锐角三角函数定义.2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是（）A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm【答案】A【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，∴BD=AD，∴CD+BD=8cm，∵，∴，解得：CD=3cm，BD=5cm，∴BC=4cm．故选：A．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．3.如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（）A.9米 B.28米 C.米 D.（14+2）米【答案】D【解析】【分析】延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点，根据三角函数进行求解即可；解：延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．DE=8sin30°=4（米）；CE=8cos30°=4（米）；∵测得1米杆的影长为2米．∴EF=2DE=8（米），∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=28+4（米），∴电线杆AB的长度是（28+4）=14+2米．故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．4.如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物CD的高为（）．A.a米 B.米C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在图形中利用辅助线构建直角三角形是解题的关键．作交的延长线于点E，构造直角三角形．用含的式子表示出，即可得出答案．解：作交延长线于点E，∴，∵，两建筑物的水平距离为a米，米，∴，∴，故选：D．5.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A.米2 B.米2 C.米2 D.米2【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，BC=AC×tan∠CAB=4tanθ，∴所需地毯的长度为AC+BC=4+4tanq（米）．面积为：（4+4tanq）×1=4+4tanθ（米2）．故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用．6.如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A.160m B.120m C.300m D.160m【答案】A【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，求得BD=AD•tan30°=120×=40m，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan60°=120×=120m，所以BC=BD+CD=160m．故答案选A．考点：解直角三角形应用.二、填空题（每题4分，共48分）7.已知线段AB=10cm，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则BC的长是______cm．【答案】15－5【解析】根据黄金分割点的性质可得：BC=AB=×10=15－5cm．故答案是：15－58.抛物线y=（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的图象经过原点，则m=_____．【答案】﹣2．【解析】解：∵抛物线y=（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的图象经过原点，∴0=m2﹣4，∴m=±2，当m=2时，m﹣2=0，∴m=﹣2．故答案为﹣2．9.已知地图比例尺为，地图上面积为10平方厘米，则实际面积为______平方千米．【答案】10【解析】【分析】本题考查的是比例尺，根据比例尺即可求出图上面积与实际面积之比，从而求出实际面积．解：比例尺为，图上面积与实际面积的比为，实际面积为，故答案为：10．10.抛物线与x轴有交点，则m范围是__________．【答案】且【解析】【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的定义，二次函数与x轴有交点，那么与二次函数对应的一元二次方程有实数根，据此根据一元二次方程的判别式结合二次项系数不为0进行求解即可．解：∵抛物线与x轴有交点，∴，∴且，故答案为：且．11.已知，如图，，，，，则__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，先根据两边成比例且夹角相等得出，可得出，进而求出，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．故答案为：．12.某人沿着坡度的山坡起点向上走了50米，则他离地面__________米高．【答案】25【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题、勾股定理，设某人沿着坡度的山坡走了米时的竖直高度为x米，则此时走的水平距离为米，然后根据勾股定理列方程求解即可．明确坡度的含义是解答此类题目的关键．解：设某人沿着坡度的山坡走了米时的竖直高度为x米，则此时走的水平距离为米，由勾股定理可得，，解得，（负值已舍去），故答案：25．13.如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______．【答案】（﹣，）【解析】【分析】首先过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．解：如图，过D作DF⊥AO于F，∵点B的坐标为（1，3），∴BC=AO=1，AB=OC=3，根据折叠可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3，在△CDE和△AOE中，，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，AE=CE，设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3﹣x）2=x2+12，∴x=，∴OE=，AE=CE=OC﹣OE=3﹣=，又∵DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，∴AE：AD=EO：DF=AO：AF，即：3=：DF=1：AF，∴DF=，AF=，∴OF=﹣1=，∴D的坐标为：（﹣，）．故答案为（﹣，）．【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质．解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．14.如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B'C'交CD边于点G．连接BB'、CC'．若AD=7，CG=4，AB'=B'G，则=__（结果保留根号）．【答案】【解析】解：连接AC，AG，AC'，由旋转可得，AB=AB'，AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'，∴，∴△ABB'∽△ACC'，∴=，∵AB'=B'G，∠AB'G=∠ABC=90°，∴△AB'G是等腰直角三角形，∴AG=AB'，设AB=AB'=x，则AG=x，DG=x﹣4，∵Rt△ADG中，AD2+DG2=AG2，∴72+（x﹣4）2=（x）2，解得x1=5，x2=﹣13（舍去），∴AB=5，∴Rt△ABC中，AC===，∴==．故答案为．15.如图，在中，已知为边上的高，正方形的四个顶点分别在上，，，__________．【答案】【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，由四边形是正方形可得，进而证明，由对应线段成比例可得，即可求解．解：如图，设与交于点K，四边形是正方形，，即，，，，，设，则，，，，故答案为：．16.在中，，，，则的面积为_______．【答案】或【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点B作交直线于D，再分点D在上，点D在的延长线上两种情况，先解求出，再利用勾股定理求出，，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．解：过点B作交直线于D，如图所示，当点D在上时，在，，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴；如图所示，当点D在的延长线上时，同理可得，∴，∴；综上所述，的面积为或，故答案：或．

17.如图，已知中，分别为边上的高，过D作的垂线交于E，交于G，交延长线于H．，，则__________．【答案】2【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．证明，，再利用相似三角形对应边的比相等建立线段之间的关系，进而求解即可．解：如图，∵分别为边上的高，过D作的垂线交于E，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为：2．18.如图，中，，，于点D，将绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么的正切值是___________．【答案】##【解析】【分析】由题意画图如下，过A作于Q，过D作于P，于H，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，，，利用三角形的面积公式求得，进而利用勾股定理和锐角三角函数求得，，，则，由旋转性质和矩形的判定与性质证明四边形是矩形得到，，则，利用平行线性质证得，求解即可求解．解：由题意画图如下，过A作于Q，过D作于P，于H，∵，，∴，，则，由得，∴，∵，，∴，，则，由旋转性质得，，，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用锐角三角函数寻求边角关系是解答的关键．三、解答题（本大题7题，满分78分）19.计算：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可．解：．20.如图，已知中，，，点D在边AB上，．（1）求的值．（2）在图中求作向量：在、方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）过点D作于点E．易证，即得出，结合题意又可得出．设，则，从而可求出．根据，可求出，最后根据求解即可；（2）过点C作于点E，过点A作交的延长线于点F．再根据分向量的概念即可得解．【小问1】解：如图，过点D作于点E．∵，，∴，∴，．∵，∴．设，则，∴．∵，∴，∴，∴；【小问2】如图，过点C作于点E，过点A作交的延长线于点F．∴在、方向上的分向量分别为、．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，解直角三角形，平面向量的相关知识．利用数形结合的思想是解题关键．21.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．【答案】．【解析】【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题．如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．在RT△BDN中，BD=30，BN：ND=1：，∴BN=15，DN=，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=，在RT△ABM中，tan∠ABM=，∴AM=，∴AC=AM+CM=．【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念．22.如图，表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东，在M的南偏东方向上有一点A，以A为圆心、为半径的圆形区域为居民区．取上的另一点B，测得的方向为南偏东．已知，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区．【答案】输水管道会穿过居民区【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作于C，由题意得，，设，解直角三角形得到，，则可得方程，解方程即可得到答案．解：如图所示，过点A作于C，由题意得，，设，在中，，在中，，∵，∴，解得，∵，∴，∴，∴输水管道会穿过居民区．23.如图，在中，E是的中点，和相交于点F，过点F作，交于点G．（1）求证：；（2）若，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定；（1）先由平行四边形的性质得到，再证明，得到，根据线段中点的定义推出，进而得到，再证明，得到，则，即；（2）根据已知条件可以设，，则，．通过证，得到对应角．然后易证，所以，即可求解．【小问1】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∵E是的中点，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即；【小问2】证明：设，，则，，∴，，∴．又∵，∴，∴．∵，；∴，，∴．又∵，∴，∴，∴．24.如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）（1，2），；（3）不存在，理由见解析．【解析】解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组解得：∴抛物线的解析式为（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4∴P1若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD=4∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）（3）如图设点E，则①当P1(-1,4)时，S四