第2章有理数运算（基础典型易错压轴）分类专项训练

第2章有理数运算（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·浙江宁波·七年级期末）近几年宁波市常住人口总量持续增长，根据第七次全国人口普查数据显示宁波市常住人口约为万人，万精确到（）A．十分位 B．百分位 C．百位 D．万位【答案】C【分析】根据万等于，找出3所在的位置即可得．【详解】解：万，因为3在百位，所以万精确到百位，故选：C．【点睛】本题考查了精确度，熟练掌握精确度的概念是解题关键．2．（2022·浙江杭州·七年级期末）下列式子：①（﹣3）+5；②（﹣6）×2；③（﹣3）×（﹣2）；④（﹣3）÷（﹣6），计算结果是负数的是(

)A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】先计算各个小问的结果，即可得到哪个选项是正确的．【详解】解：（3）+5=2，故①不符合题意；（6）×2=12，故②符合题意；（3）×（2）=6，故③不符合题意；（3）÷（6）=，故④不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．3．（2022·浙江丽水·七年级期末）在一个峡谷中，测得A地的海拔为11米，B地比A地高15米，则B地的海拔为（）A．4米 B．4米 C．26米 D．26米【答案】A【分析】根据有理数的加法运算法则直接列式进行计算即可得出答案．【详解】解：∵A地的海拔为11米，B地比A地高15米，∴B地的海拔是：11+15=4（米），故答案为：A．【点睛】本题主要考查了有理数的加法的应用，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键．4．（2022·浙江绍兴·七年级期末）计算下列各式，值为负数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据有理数加减和乘除的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】，即选项A符合题意；，即选项B不符合题意；，即选项C不符合题意；，即选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数加减和乘除运算的性质，从而完成求解．5．（2022·浙江宁波·七年级期末）计算＝（）A．2m+3n B．m2+3n C．2m+n3 D．2m+3n【答案】D【分析】由加法法则和乘法法则进行计算，即可得到答案．【详解】解：＝2m+3n．故选：D．【点睛】本题考查了有理数的加法、乘法和乘方，解题的关键是掌握运算法则进行计算．6．（2022·浙江宁波·七年级期末）2021年中央财政下达城乡义务教育补助经费是亿元，亿用科学记数法可表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】11．故选：D．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．7．（2022·浙江杭州·七年级期末）已知a＝﹣，b＝，c＝﹣，则下列各式结果最大的是(

)A．|a+b+c| B．|a+b﹣c| C．|a﹣b+c| D．|a﹣b﹣c|【答案】C【分析】根据有理数的加减法法以及绝对值的性质求出各个选项的值，再比较大小即可．【详解】解：|a+b+c|==，|a+bc|==，|ab+c|==，|abc|==，∵，∴结果最大的是|ab+c|．故选：C．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，有理数的加减法以及绝对值，掌握有理数的加减法法则是解答本题的关键．8．（2022·浙江杭州·七年级期末）（﹣2）4是（﹣2）2的(

)倍．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据幂的法则计算即可．【详解】解：（2）4÷（2）2=（2）2=4，故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握an表示n个a相乘是解题的关键．9．（2022·浙江台州·七年级期末）现有30个数，其中所有正数之和为10，负数之和为，这30个数的绝对值之和为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】所有负数的绝对值的和等于所有负数和的绝对值，所有正数之和的绝对值等于所有正数绝对值的和，从而可求得30个数的绝对值之和．【详解】所有负数的绝对值的和为，所有正数之和为10，则所有30个数的绝对值之和为：；故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法运算，关键掌握负数的和的绝对值等于负数的绝对值的和，正数的和的绝对值等于正数的绝对值的和．10．（2022·浙江金华·七年级期末）利用分配律计算时，正确的方案可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分配律简便运算，将转化为即可【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；B.，故该选项正确，符合题意；C.，故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了乘法分配律进行简便运算，正确的拆分带分数是解题的关键．11．（2022·浙江杭州·七年级期末）有三个实数，，满足，若，则下列判断中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先证明再求解再结合已知条件逐一分析即可.【详解】解：，，解得：故A，B，C不符合题意，D符合题意，故选D【点睛】本题考查的是相反数的含义，有理数的加法与乘法运算的符号确定，推导出是解本题的关键.12．（2022·浙江宁波·七年级期末）用2，0，2，2这四个数进行如下运算，计算结果最小的式子是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出结果，从而可以得到哪个式子的结果最小．【详解】解：A、2−0×2＋2＝2−0＋2＝4，B、2−0＋2×2＝2−0＋4＝6，C、2×0＋2−2＝0＋2−2＝0，D、2＋0−2×2＝2＋0−4＝−2，由上可得，2＋0−2×2的结果最小，故选：D．【点睛】本题考查有理数的混合运算、有理数的大小比较，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的运算法则和运算顺序．二、填空题13．（2022·浙江台州·七年级期末）某检修小组从A地出发，在东西方向的马路上检修线路，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中五次行驶记录如下（单位：）：，，，，．则收工时检修小组在A地______边______．【答案】

西

5【分析】将五次行驶的记录数据相加即可得到答案．【详解】∵，∴在A地西边5千米处．故答案为：西；5．【点睛】本题考查了有理数的加减法，能够将实际问题和有理数的加减相结合，并且能够准确计算出结果是解决本题的关键．14．（2022·浙江台州·七年级期末）计算：1﹣7＝_____．【答案】﹣6【分析】根据有理数的减法法则即可得．【详解】解：1﹣7＝1+（﹣7）＝﹣6．故答案为：﹣6．【点睛】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键．15．（2022·浙江金华·七年级期末）用四舍五入法对0.05049（精确到千分位）取近似值是______．【答案】0.050【分析】把万分位上的数字1进行四舍五入即可.【详解】解：0.05049（精确到千分位）取近似数是0.050．故答案为：0.050.【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字.16．（2022·浙江金华·七年级期末）我市某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是______℃．【答案】11【分析】温差等于最高气温减去最低气温，根据公式列式计算即可.【详解】解：8﹣（﹣3）＝8+3＝11（℃）答：这天的温差是11℃．故答案为：11．【点睛】本题考查的是有理数的减法的应用，理解题意，列出正确的运算式是解题的关键.17．（2022·浙江金华·七年级期末）第19届亚运会于2022年9月10日至25日在中国浙江杭州举行，根据规划，杭州亚组委共招募赛会志愿者约52000名，数字52000用科学记数法可以表示为_____________．【答案】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．【详解】．故答案为：【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．三、解答题18．（2022·浙江台州·七年级期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）将有理数的减法转化为有理数的加法再计算；（2）先算乘方，再算有理数的除法．(1)解：；(2)解：．【点睛】本题考查了有理数的加法与除法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2022·浙江衢州·七年级期末）计算：(1)5+（﹣6）﹣（﹣8）．(2)﹣14÷（﹣7）×．【答案】(1)7；(2)7【分析】（1）先把加减运算统一为省略加号的和的形式，再计算即可；（2）先计算除法运算，再计算乘法运算，即可得到结果．(1)解：(2)【点睛】本题考查的是加减混合运算，乘除混合运算，掌握按照从左至右的运算顺序进行运算是解本题的关键．20．（2022·浙江舟山·七年级期末）计算：(1)3+1215(2)【答案】(1)；(2)1【分析】（1）先把同号的两个负数先加，再计算异号的两数的加法即可；（2）利用乘法的分配律把括号外的数乘以括号内的每一个数，再把所得的积相加即可．（1）解：3+1215（2）【点睛】本题考查的是加减混合运算，乘法的分配律的应用，掌握“利用乘法的分配律进行简便运算”是解本题的关键．21．（2022·浙江台州·七年级期末）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山时，每登高1000米气温的变化量为6℃．今年元旦、七（2）班几位同学约好去登山，同一时间，得知山顶气温为1℃，山脚的气温为2.5℃．问这座山的高度有多少米？（结果精确到l米）【答案】这座山的高度大约有583米．【分析】根据题意列出算式[2.5（1）]÷6×1000，依此计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：[2.5（1）]÷6×1000=3.5÷6×1000=3500÷6=583（米）．故这座山的高度大约有583米．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2022·浙江宁波·七年级期末）计算：【答案】(1)15；【分析】（1）根据有理数的乘法运算律及运算法则计算即可；解：．23．（2022·浙江衢州·七年级期末）小红与小亮两位同学计算﹣32﹣6×（）的过程如图：请判断他们的解法是否正确（在相应的方框内打“√”或“×”），并写出你的解答过程．【分析】利用含乘方的有理数运算法则和乘法结合律计算即可．【详解】解：正确解答过程如下：原式．【点睛】本题考查含乘方的有理数运算和乘法结合律，解题的关键是掌握含乘方的有理数运算法则和乘法结合律，能够正确计算．24．（2022·浙江金华·七年级期末）小明原有生活费50元，现靠勤工俭学的收入支付生活费，下面是小明一周内每天生活费的增减情况表（增加为正，减少为负，单位：元）：星期一二三四五六日增减+72+12601+6(1)求星期二结束时，小明有生活费多少元?(2)在这一周内，小明的生活费最多的一天比最少的一天多多少元?【答案】(1)星期二结束时，小明有生活费元(2)在这一周内，小明的生活费最多的一天比最少的一天多元【分析】（1）根据正负数的意义，以及有理数的加减法计算即可；（2）根据（1）的方法计算这周每天的生活费，将最多的减去最少的即可求解(1)解：星期一的生活费为：（元）星期二的生活费为：元答：星期二结束时，小明有生活费元(2)依题意，星期三的生活费为：，星期四的生活费为：，星期五的生活费为：，星期六的生活费为：，星期日的生活费为：，小明的生活费最多的一天是星期三有67元，最少的一天是星期二，有55元则（元），答：在这一周内，小明的生活费最多的一天比最少的一天多元．【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的加减法的应用，掌握正负数的意义是解题的关键．25．（2022·浙江绍兴·七年级期末）观察图，回答下列问题．(1)截至12月9日22时，绍兴地区有阳性感染者_____________例．(2)新冠肺炎的传染途径与方式非常复杂，假设阳性感染者第二天就能传染给他人，且1例阳性感染者在不知情的情况下平均每天传播使2个人感染阳性，如果不对阳性感染者进行隔离，那么截至12月12日22时，绍兴地区累计阳性感染者将会达到多少例?(3)事实上，截至12月12日，绍兴地区累计阳性感染者108例，请你说说政府采取了哪些有效的防疫措施?（请写出至少两条）【答案】(1)30(2)截至12月12日22时绍兴地区累计阳性感染者将会有810例(3)见解析（答案不唯一）【分析】（1）根据疫情关系图，即可求解；（2）根据题意先求出12月10日的感染人数，再求出12月11日的感染人数，即可求解；（3）有效的防疫措施有①坚持“四早”：早发现、早报告、早隔离、早治疗；②全员核酸检测；③及时隔离治疗病人；④以病人为中心，以报告的病例为源头，进行流行病学调查；等等，即可求解．(1)解：根据题意得：绍兴地区有阳性感染者30例；(2)解：12月10日：30+30×2=90例；12月11日：90+90×2=270例；12月12日：270+270×2=810例．答：截至12月12日22时绍兴地区累计阳性感染者将会有810例．(3)答：①坚持“四早”：早发现、早报告、早隔离、早治疗；②全员核酸检测；③及时隔离治疗病人；④以病人为中心，以报告的病例为源头，进行流行病学调查；等等．【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．【典型】一、单选题1．（2020·浙江温州·七年级期中）南山隧道工程是温瑞大道快速路的重要节点工程，该工程造价最终报价为376000000元，其中376000000用科学记数法可表示为（）A．37.6×108 B．3.76×108 C．3.76×109 D．37.6×107【答案】B【分析】根据科学记数法的定义：把一个数表示成的形式，其中，即可得出答案．【详解】．故选：B．【点睛】本题考查的是科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解决本题的关键．2．（2020·浙江温州·七年级阶段练习）某测绘小组的技术员要测量A，B两处的高度差（A，B两处无法直接测量），他们首先选择了D，E，F，G四个中间点，并测得它们的高度差如下表：根据以上数据，可以判断A，B之间的高度关系为（）A．B处比A处高 B．A处比B处高C．A，B两处一样高 D．无法确定【答案】B【分析】根据题意列出算式，A，B之间的高度差，结果大于0，则A处比B处高，结果小于0，则B处比A处高，结果等于0，则A，B两处一样高．【详解】根据题意，得：==将表格中数值代入上式，得∵1.5>0∴故选B．【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，根据题意列出算式，去括号时注意符号变号问题是本题的关键．3．（2020·浙江绍兴·七年级阶段练习）2019的倒数是（

）A．2019 B． C． D．【答案】C【分析】把乘积是1的两个数叫做互为倒数，根据倒数的概念即可求解．【详解】2019的倒数是，故选：C．【点睛】本题主要考查了倒数的相关概念，熟练掌握倒数的相关概念是解决本题的关键．4．（2019·浙江·高照实验学校一模）两个非零有理数的和为零，则它们的商是（

）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】首先根据条件判断这两个数是一对非零的相反数，由相反数的性质，可知它们符号相反，绝对值相等，再根据有理数的除法法则得出结果．【详解】∵

两个非零有理数的和为零，∴

这两个数是一对相反数，∴

它们符号不同，绝对值相等，∴

它们的商是．故选．【点睛】本题考查了相反数的定义、性质及有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．5．（2018·浙江省杭州第二中学七年级期末）若|m3|+|n+2|=0,则m·n的倒数是（

）A．6 B． C． D．6【答案】C【分析】根据非负数的性质列式求出ab的值,然后再代入代数式进行计算.【详解】根据题意得,m3=0,n+2=0,解得m=3,n=2,m·n的倒数是=.故选C.【点睛】本题主要考查了非负数的性质及倒数,其中几个非负数相加等于0,则每一个算式都等于0.6．（2018·浙江省杭州第二中学七年级期末）某市地铁2号线已开工，全长约382000m，将382000科学记数法表示应为（）A．0.382×106 B．3.82×105 C．38.2×104 D．382×103【答案】B【分析】根据科学记数法的定义可得答案.【详解】解:382000=3.82x105.所以B选项是正确的.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.7．（2019·浙江·临安市锦城第二初级中学七年级期末）下列各组数中，互为相反数的是(

)A．（1）与1 B．（－1）2与1 C．与1 D．－12与1【答案】D【分析】利用相反数的定义，两个数之和为零来判断．【详解】解：A，（1）与1不是相反数，选项错误，不符合题意；B，（－1）2与1不是互为相反数，选项错误，不符合题意；C，｜1｜与1不是相反数，选项错误，不符合题意；D，－12与1是相反数，选项正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相应的定义即两个数之和为零，这两个数互为相反数．二、填空题8．（2020·浙江温州·七年级阶段练习）已知|a+2|与（b3）2互为相反数，则ab=

_________．【答案】6【分析由相反数的定义和绝对值的意义，先求出a、b的值，再代入计算即可．【详解】∵|a+2|与（b3）2互为相反数，∴，∴，，∴，，∴ab=6；故答案为：6．【点睛】本题考查了相反数的定义，绝对值的意义，以及绝对值的非负性，乘方的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出a、b的值．9．（2018·浙江省杭州第二中学七年级期末）若x，y互为相反数，a、b互为倒数，则代数式16x+16y的值是_______．【答案】【分析】根据题意可得：x+y=0，ab=1，然后把以上代数式整体代入所求代数式即可.【详解】解：根据题意：x+y=0，ab=1，则代数式16x+16y=16（x+y）=，故答案：.【点睛】本题主要考查相反数、倒数的概念与性质及代数式求值.三、解答题10．（2020·浙江温州·七年级阶段练习）（1）比较下列各式的大小：|5|+|3|_________|5+3|，

|5|+|3|_________|（5）+（3）|，|5|+|3|_________|（5）+3|，

|0|+|5|_________|0+（5）|；（2）通过（1）的比较、观察，请你猜想归纳：当a，b为有理数时，|a|+|b|_________|a+b|（填入“≥”“≤”“>”或“<”）；（3）根据（2）中你得出的结论，求当|x|+|2|=|x2|时，直接写出x的取值范围．【答案】（1）=，=，＞，=；（2）≥；（3）x≤0【分析】（1）将绝对值化简，然后比较大小即可；（2）根据第一问结果，即可以归纳为“≥”；（3）根据（1）中第二、四个式子，推测出x的取值范围．【详解】（1）|5|=5，|3|=3，|5+3|=8，因此|5|+|3|=|5+3||5|=5，|3|=3，|（5）+（3）|=8，因此|5|+|3|=|（5）+（3）||5|=5，|3|=3，|（5）+3|=2，因此|5|+|3|＞|（5）+3||0|=0，|5|=5，|0+（5）|=5，因此|0|+|5|=|0+（5）|；故答案为=，=，＞，=；（2）由（1）得：|a|+|b|≥|a+b|故答案为≥；（3）根据（1）中第二、四个式子，得：x≤0故答案为x≤0．【点睛】本题考查了绝对值的化简，和绝对值方程，根据第一问和第二问总结规律，掌握细节是本题的关键．【易错】一．选择题（共14小题）1．（2021秋•衢江区期末）衢州市体育中心占地面积62500平方米，可容纳三万人．其中数62500用科学记数法表示为（）A．6.25×105 B．62.5×104 C．0.625×105 D．6.25×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：62500＝6.25×104．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．2．（2021秋•湖州期末）如图是湖州市某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高（）A．7℃ B．﹣70℃ C．3℃ D．﹣3℃【分析】根据温差＝最高气温﹣最低气温，列式计算．【解答】解：根据题意得：5﹣（﹣2）＝5+2＝7（℃）．故选：A．【点评】本题主要考查了有理数减法，熟练掌握有理数减法法则，根据题意列出式子是解题关键．3．（2021秋•杭州期末）根据浙江省统计局发布的最新数据，2021年前三季度杭州市GDP达到13151亿元，是前三季度全国14座GDP达到1万亿元的城市之一．数13151用科学记数法可以表示为（）A．1.31514 B．1.3151×104 C．0.13151×105 D．13151×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：13151＝1.3151×104．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（2021秋•余姚市期末）2021年12月9日备受瞩目的中国空间站第一课“天宫课堂”，通过架设在太空3600万米的中继卫星与地面之间顺利开讲．其中3600万用科学记数法可表示为（）A．3.6×105 B．3.6×106 C．3.6×107 D．3.6×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：3600万＝36000000＝3.6×107，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（2021秋•西湖区校级期中）2021年10月16日，中国神舟十三号载人飞船的长征二号F运十三运载火箭在中国酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，截至2021年11月2日，“神舟十三号”载人飞船已在轨飞行18天，距离地球约63800000千米，用科学记数法表示63800000千米为（）A．6.38×106千米 B．6.38×107千米 C．6.38×108千米 D．6.38×109千米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：63800000千米＝6.38×107千米．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．6．（2020秋•嘉兴期末）2020年12月4日，我国量子计算原型机“九章”问世，它求解数学算法高斯玻色取样只需200秒，而目前世界最快的超级计算机要用600000000年，数“600000000”用科学记数法表示为（）A．6×109 B．6×108 C．0.6×109 D．0.6×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：600000000＝6×108．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．7．（2020秋•江干区期末）太阳的中心温度是1550万℃，用科学记数法可表示为（）A．1.55×106℃ B．15.5×106℃ C．1.55×107℃ D．0.155×108℃【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：1550万℃＝15500000℃＝1.55×107℃，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．（2021秋•瓯海区月考）2021年12月6日，国家统计局公布2021年粮食总产量达到13657亿斤，其中数13657亿用科学记数法表示为（）A．13657×108 B．1.3657×108 C．13657×1012 D．1.3657×1012【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】×1012．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．9．（2021秋•瑞安市月考）下列各式中，数值不相等的是（）A．（﹣2）2和﹣22 B．（﹣2）2和22 C．（﹣2）3和﹣23 D．|﹣2|3和|﹣23|【分析】根据有理数的乘方、绝对值的知识点进行解答，即可判断．【解答】解：A、（﹣2）2＝4，﹣22＝﹣4，故（﹣2）2≠﹣22，符合题意；B、（﹣2）2＝4，22＝4，故（﹣2）2＝22，不符合题意；C、（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，则（﹣2）3＝﹣23，不符合题意；D、|﹣2|3＝8，|﹣23|＝8，故|﹣2|3＝|﹣23|，不符合题意；故选：A．【点评】此题考查了有理数的乘方及绝对值的知识，确定底数是关键，要特别注意﹣2n和（﹣2）n的区别．10．（2021秋•诸暨市期中）下列各组数中，互为倒数的是（）A．1与 B．﹣1或1 C．2与 D．0.2或0.8【分析】分别计算各选项中两个数的乘积，根据倒数的概念，如果积为1，那么这两个数互为倒数．【解答】解：A、1×＝1，故此选项符合题意；B、﹣1×1＝﹣1，故此选项不符合题意；C、2×（﹣）＝﹣1，故此选项不符合题意；D、0.2×0.8＝0.16，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，要求掌握并熟练运用．11．（2021•涟源市三模）2021的倒数是（）A．2021 B． C． D．﹣2021【分析】根据倒数的定义即可得出答案．倒数：乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：2021的倒数是，故选：C．【点评】本题主要考查倒数的定义，关键是要牢记倒数的定义．12．（2021秋•西湖区校级期中）有理数95000000用科学记数法表示为（）A．9.5×106 B．9.5×107 C．9.5×108 D．9.5×109【分析】较大的数的科学记数法的一般形式为：a×10n，在本题中a应为9.5，10的指数为整数数位8﹣1＝7．【解答】解：95000000＝9.5×107．故选：B．【点评】本题考查了科学记数法，将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．13．（2021秋•拱墅区期中）下列说法：①0是最小的整数；②最大的负整数是﹣1；③正有理数和负有理数统称为有理数；④立方等于它本身的数只有0，1．其中正确的是（）A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．②【分析】根据有理数以及有理数的乘方解答即可．【解答】解：①没有最小的整数，故①说法错误；②最大的负整数是﹣1，故②说法正确；③正有理数、0和负有理数统称为有理数，故③说法错误；④立方等于它本身的数只有﹣1，0，1，故④说法错误．故其中正确的说法是②．故选：D．【点评】本题考查了有理数的乘方及有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．14．（2021秋•诸暨市校级月考）某城市某一天的最高气温是10℃，最低气温是﹣2℃，则这一天的温差是（）A．8℃ B．10℃ C．12℃ D．﹣12℃【分析】用最高温度减去最低温度，再根据有理数的减法运算法则即可求出答案．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．【解答】解：这一天的温差为：10﹣（﹣2）＝10+2＝12（℃），故选：C．【点评】本题考查有理数的减法，解题的关键是熟练运用有理数的减法运算法则，本题属于基础题型．二．填空题（共2小题）15．（2021秋•新昌县期中）﹣690000000用科学记数法表示．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：﹣690000000＝﹣6.9×108．故答案为：﹣6.9×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．16．（2021秋•上城区期末）﹣2022的倒数是．【分析】直接利用倒数的定义得出答案．【解答】解：﹣2022的倒数是：﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确掌握倒数的定义是解题的关键．【压轴】一、单选题1．（2020·浙江杭州·七年级期末）某信用卡上的号码由17位数字组成，每一位数字写在下面的一个方格中，如果任何相邻的三个数字之和都等于20，则x+y的值等于（

）．A．18 B．11 C．7 D．4【答案】B【分析】由任何相邻的三个数字之和都等于20，可先求出x前面和后面的数，然后可得x的值，再根据任何相邻的三个数字之和都等于20求出y即可．【详解】解：如图，由题意知：9＋a＋b＝20，∴a＋b＝11，∵a＋b＋c＝20，∴c＝9，∵e＋f＋2＝20，∴e＋f＝18，∵d＋e＋f＝20，∴d＝2，又∵c＋x＋d＝20，∴x＝9，同理可得：y＝2，∴x+y＝11，故选：B．【点睛】本题考查了有理数的加法运算，主要利用相邻三个数的和为20，逐步推出x左右相邻的两个数，进而解决问题．2．（2019·浙江·七年级期末）已知，，的积为负数，和为正数，且，则的值为()A． B．，2 C．，， D．，，，【答案】A【分析】先判断出的符号，再化简绝对值运算即可得．【详解】的积为负数的符号为三负或两正一负的和为正数的符号为两正一负因此，分以下三种情况：（1）当时（2）当时（3）当时综上，的值为0故选：A．【点睛】本题考查了绝对值的化简，依据已知条件，判断出的符号是解题关键．3．（2019·浙江杭州·七年级期末）2019减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据题意列出式子，先计算括号内的，再计算乘法即可解答．【详解】解：由题意得：===1故选：B．【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，并发现算式的特征．二、填空题4．（2020·浙江杭州·七年级期末）如果有4个不同的正整数a、b、c、d满足，那么的值为________．【答案】8076【分析】根据是四个不同的正整数可知四个括号内的值分别是:

±1,

±3,据此可得出结论．【详解】解：∵是四个不同的正整数,∴四个括号内的值分别是：±1，±3,∴2019+1=2020，20191=2018，2019+3=2022，2193=2016,∴=

2020+2018+2022+2016

=

8076故答案为：8076【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，根据题意得出四个括号中的数是解答此题的关键．5．（2020·浙江·金华市丽泽书院七年级期中）黑板上写有1，，，，…，共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取2个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+1，则经过_____次操作后，黑板上只剩下一个数，这个数是_____．【答案】

99

【分析】将所给数化为＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…，＝﹣，再根据题意可知，在操作的过程中，这100个数都要求和，操作99次后剩余一个数，则可得黑板最后剩下的是+99＝．【详解】解：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…，＝﹣，每次取两个数a，b，删去a，b，并在黑板上写上数a+b+1，∵这100个数的和是1++++…+=1+1﹣﹣﹣﹣＝2﹣＝，则黑板上的数求和后，每次再加1，每次都是去掉2个数，添加一个数，故黑板最后剩一个数，则操作99次，∴黑板最后剩下的是+99＝．故答案为：99；．【点睛】本题考查数字的变化规律以及有理数的加法等知识，理解题意并将所给式子进行拆项相加是解题的关键．6．（2019·浙江杭州·七年级期末）若！是一种数学运算符号，并且，，，，……，则________．【答案】【分析】根据“！”的意义，把分子、分母分别转化为乘法式子后，约分计算即可．【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了有理数的乘法、除法、学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“！”这种数学运算符号是解决此题的关键．7．（2019·浙江杭州·七年级期末）点从距原点8个单位的点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，则第4次跳到点，则到原点的距离为___________；第次跳到点，则到原点的距离为___________．【答案】

，

【分析】根据第一次跳动到的中点处，则，第二次从跳到的中点处，可得出，同理可得出，进而发现的规律．【详解】解：由于OM=8，∴第一次跳动到的中点处，则，第二次从跳到的中点处，则，第三次从点跳到的中点处，则∴第四次跳到点，则到原点的距离，……第次跳到点，则到原点的距离故答案为：，【点睛】本题主要考查数轴上点的运动问题，这是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解答本题的关键是找出各个点跳动的规律．三、解答题8．（2020·浙江杭州·七年级期末）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”．初步探究（1）直接写出结果：________；（2）关于除方，下列说法错误的是_________．①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式_______；_______．（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于___________；（5）算一算：________．【答案】（1）；（2）②③；（3），；（4）；（5）【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；（2）利用题中的新定义分别判断即可；（3）利用题中的新定义计算即可表示成幂的形式；（4）根据题干和（1）（2）（3）的规律总结即可；（5）将算式中的除方部分根据（4）中结论转化为幂的形式，再根据有理数的混合运算法则计算即可．【详解】解：（1）；（2）当a≠0时，a2=a÷a=1，因此①正确；对于任何正整数n，当n为奇数时，，当n为偶数时，，因此②错误；因为34=3÷3÷3÷3=，而43=4÷4÷4=，因此③错误；负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，因此④正确；故答案为：②③；（3），==；（4）由题意可得：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于；（5）===【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题中除方的运算法则是解本题的关键．9．（2020·浙江·七年级期末）【阅读理解】求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作5③，读作“5的圈3次方”，记作（－8）④，读作“的圈4次方”一般的把记作aⓝ，读作“的圈次方”．（1）直接写出计算结果：（－6）④＝__________；[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：（2）（）ⓝ_________；（）ⓝ=____________．（且为正整数）；[实践应用]（3）计算①（－）④×（－4）⑤－（）④÷②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（）ⓝ（其中）【答案】（1）；（2）7n2；an2；（3）①；②【分析】（1）根据所给定义计算即可；（2）根据所给定义计算即可；（3）①②根据前两问得到除方的规律，从而分别计算．【详解】解：（1）由题意可得：（－6）÷（－6）÷（－6）÷（－6）=（－6）×（－）×（－）×（－）=；（2）（）ⓝ=÷÷÷...÷=×7×7×...×7=7n2；（）ⓝ=÷÷÷...÷=×a×a×...×a=an2；（3）由题意可得：有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式等于，①（－）④×（－4）⑤－（）④÷====；②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（）ⓝ=设S=，则5S=，5SS=4S==∴S=，∴原式=．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，充分理解新定义是解题的关键．10．（2020·浙江·新昌县拔茅中学七年级阶段练习）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题：（1）；；（2）（a≠0），（其中a＞0，b≠0）；（3）若abc≠0，试求的所有可能的值．【答案】（1）1，﹣1；（2）1或﹣1，2或0；（3）的所有可能的值为±4，0．【分析】（1）根据绝对值的定义即可得到结论；（2）分类讨论：当a＞0时，当a＜0时，当b＞0时，当b＜0时，根据绝对值的定义即可得到结论；（3）分类讨论：①当a＞0，b＞0，c＞0时，②当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，③当a，b，c三个字母中有一个字母大于0，其它两个字母小于0时，④当a＜0，b＜0，c＜0时，根据绝对值的定义即可得到结论．【详解】解：（1），，故答案为：1，﹣1；（2）当a＞0时，，当a＜0时，；a＞0当b＞0时，1+1＝2；当b＜0时，1﹣1＝0；故答案为：1或﹣1，2或0；（3）①当a＞0，b＞0，c＞0时，1+1+1+1＝4，②当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0，，③当a，b，c三个字母中有一个字母大于0，其它两个字母小于0时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，，④当a＜0，b＜0，c＜0时，，综上所述，的所有可能的值为±4，0．【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数的除法，解题的关键是讨论a，b，c的取值情况．11．（2020·浙江杭州·七年级期末）若a、b互为相反数，若，并且m的立方等于它本身．（1）求出m的值，并把b，m的位置标在数轴上；（2）化简；（3）请思考：x为有理数时，是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最值，若不存在，请说明理由．【答案】（1），数轴表示见解析（2）（3）存在最大值和最小值，最大值为，最小值为2【分析】（1）根据立方、相反数的意义可得，且与互为相反数，从而可以将，的位置标在数轴上；（2）在（1）的基础之上并结合数轴可以判断出，，，从而根据绝对值的代数意义化简绝对值，然后再合并同类项即可得解；（3）将代入，再根据绝对值的意义化简绝对值，求出代数式的值即可得解．【详解】解：∵，的立方等于它本身∴∵、互为相反数，∴∴把，的位置标在数轴上，如图：（2）∵结合数轴根据题意得，，，，∴；（3）∵∴∴①当时，；②当时，；③当时，∴当为有理数时，存在最大值和最小值，最大值为，最小值为2．故答案是：（1），数轴表示见解析（2）（3）存在最大值，最大值为，最小值为2【点睛】本题考查了数轴、相反数、立方以及绝对值的意义，能根据绝对值的代数意义化简绝对值号是解题的关键．12．（2019·浙江杭州·七年级期末）某自行车厂一周计划生产2100辆自行车，平均每天生产300辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减（辆）+624+1310+169（1）这周最后三天共生产多少辆自行车？（2）这一周产量最多的一天比产量最少的关多生产多少辆自行车？（3）①若该厂实行“每日计件工资制”，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；少生产一辆扣15元，则该厂工人这一周的工资总额是多少元？②若将①中的“每日计件工资制”改为“每周计件工资制”，其他条件不变，间：这一周该厂是实行“每日计件工资制”工人的工资高，还是实行“每周计件工资制”工人的工资高？请说明理由．【答案】（1）897辆；（2）26辆；（3）①105475元；②实行“每周计件工资制”工人的工资高【分析】（1）根据题意，由表格列出算式，计算即可得到结果；（2）求出产量最多与最少的辆数，相减即可得到结果；（3）①根据计划的工资加上奖励的工资再减去扣罚的工资，可得答案．②求出实行“每周计件工资制”工人的工资，与①比较即可得到结果．【详解】解：（1）根据题意得：300×310+169=897（辆），则这一周最后三天共生产897辆自行车；（2）根据题意得：(300+16)(30010)=26（辆），则这一周产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆自行车；（3）①每日计件工资制：2100×50+(6+13+16)×(10+50)(2+4+10+9)×(15+50)=105475（元），∴该厂工人这一周的工资总额是105475元；②每周计件工资制：(6+13+16)(2+4+10+9)=10（辆），2100×50+10×(10+50)=110100（元）∵110100＞105475，则这一周该厂实行“每周计件工资制”工人的工资高．【点睛】此题考查了正负数的应用，以及有理数的混合运算的应用，根据题意正确列出算式是解本题的关键．13．（2019·浙江杭州·七年级期末）（小卷《第一章综合复习》改编）若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题：（1）①．数轴上表示2和5两点之间的距离是___________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为_______．②．若表示一个有理数，且，则_______．③．当时，求的最大值和最小值．（2）实数、、满足，且，求的最小值．【答案】（1）①3，；②4；③的最大值是，最小值是；（2）【分析】（1）①直接利用距离公式即可得答案；②表示x与2之间的距离，表示x与2之间的距离，画出数轴即可得出两者距离之和为4；③将等式变形为，可